सदिशावकाश उर्फ व्हेक्टर स्पेसेस

If then I find myself writing, not mathematics, but ‘about’ mathematics,

 it is a confession of weakness, 

for which I may rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous mathematicians.

- Prof. G.H. Hardy

खरेतर मी "म्याट्रिक्सचा जन्म" असा विषय घेऊन लिहायाला सुरुवात केली आणि मग जाणवले की तत्पूर्वी खूप सारी तयारी करावी लागेल. आणि मग लिनियर स्पेसेस, लिनिअर म्याप हे डोळ्यांसमोर नाचू लागले. एक न धड भरभर चिंध्या होण्या ऐवजी विचार केला, एक एक विषय घेऊन निट लिहावे नि म्यट्रिक्सच्या जन्माची कहाणी अखेरीस निरुपावी! त्या दृष्टीने हा पहिला लेख. माझ्या अनेक फिजिक्सच्या मित्रांची व्हेक्टर स्पेस वरील लेखाची विनंती म्हणूनही या लेखाकडे पाहता येईल!  हा लेख म्हणजे काही "पेशल" लोक, ज्यांनी आम्हाला गणिती मिती-अवकाश असे शब्द वापरून पिडले आहे, त्यांच्या मेंदूस खाद्य म्हणूनही पाहता येईल (त्यांना हा सहन व्हावयाचा नाही, ही कल्पना आहे तरीही…)!

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी ५मिरच्या
 लेख वाचण्यासाठी १०-१२वी तील व्हेक्टर, संचांचे कार्तेशियान प्रोडक्ट ठावूक हवे. 

सदिशावकाश (Vector Space):

   म्याट्रीक्सचा जन्म कसा होतो, हे पाह्यचे असेल तर, दोन अतिशय महत्वाच्या संकल्पना आधी पाहणे गरजेचे आहे त्याम्हणजे: सांतमितीय सदिशावकास नि त्यांवरील रेषीय फलने. सांत मितीय  सदिश अवकाश म्हणजे आपल्या मराठीमध्ये Finite dimensional vector space नि रेषीय फलन म्हणजे linear map. फिजिक्स-इंजिनियरिंगमध्ये linear mapला linear transformation किंवा नुसतेच transformation म्हणतात. व्हेक्टर स्पेस आणि लिनिअर म्याप ह्या केवळ या म्यट्रिक्सच्या जन्माकथेसाठीच नाही तर तर एरवीच गाणितामधील अत्यंत महत्वाच्या संकल्पना आहेत. आपण या लेखात मुलत्वेकरुन फ़ायनाईट-डिमेन्शनल-"रियल"-व्हेक्टर स्पेसेसचा म्हणजेच वास्तव सांत-मितीय-सदिश-अवकाशाचा विचार करणार आहोत. लिनिअर म्याप म्हणजे दोन व्हेक्टर स्पेसेस न जोडणारा पूल होय. या पुलाबद्दल पुढील लेखात लिहीन. चला, बरीच भिती घालून झाली. ही इतकी मोठी आणि जड जड नवे वाचूनही इथून पोबारा न केलेल्यांना आता या बाबी नेमक्या काय आहेत हे सांगतो. आधी शब्दभेद पाहू, कसा आहे तो.

अवकाश म्हणजे अवकाश! पण इथे अवकाश हा शब्द संच किंवा साठा या अर्थाने आला आहे. सदिश म्हणजे आपण सातवी-आठवीत शिकलेल्या सदिश राशी, ज्या राशींचे वर्णन करण्यासाठी त्यांची दिशा आणि वजन या दोहोंची  गरज असते अशा बाबी. उदाहरणार्थ फोर्स=बल, संवेग= मोमेण्टम इ. सदिश अवकाश म्हणजे (एकाच प्रकारच्या) सदिशांचा संच, i.e. set of vectors (of same type).

सांत= स+अंत थोडक्यात काय तर अनंत नसणाऱ्या, finite.

मितीय हा शब्द मिती = dimension वरून बनवलेला आहे.

सांत मितीय म्हणजे ज्यांच्या मिती अनंत नाहीत ते थोडक्यात finite dimensional.

आणि सांत-मितीय-सदिश-अवकाश म्हणजे सदिश राशींचा संच/ साठा आणि या साठ्याची मिती मोजेबल ;) आहेत, म्हणजेच a bunch of vectors such that the bunch has finit dimension. वास्तव सांत-मितीय-सदिशावकाश म्हणजे जे अवकाश बनवताना वास्तव संख्यांचा=real numbers, वापर केला आहे ते. आपण  "R" हे चिह्न वास्तव संख्यांचा संच दर्शवण्याकरिता वापरू नि V हे व्हेक्टर स्पेससाठी. चाणाक्ष वाचकांना आता कल्पना आली असेल की आपण फिजिक्स मधल्या व्हेक्टर या संकल्पनेचा गणितीय अभ्यास करणार आहोत. 

आब्स्ट्र्याक्ट म्यथेम्याटिक्स मध्ये सात-आठ गृहीतके वापरून रिअल व्हेक्टर स्पेसची= वास्तव सदिश अवकाशाची व्याख्या करतात. एक संच घेऊन त्यातील घटकांवर बेरीज आणि वास्तव संख्याने गुणणे अशी दोन ऑपेरशन टाकतात. या बेरजेचे आणि गुणाकाराचे काही गुणधर्म असतात. अशा या संचास गणितामध्ये वास्तव सदिश अवकाश असे म्हणतात. जिज्ञासूना इथे टीचकी मारून विकीवर ही व्याख्या सविस्तर पाहता येईल. ज्यांना तांत्रिकतेमध्ये जाण्याची गरज वाटत नाही, त्यांनी स्पेस म्हणजे सेट थिअरितील सेट आणि व्हेक्टर ही नित्याची भौतिकशास्त्राच्या पुस्तकातली व्हेक्टर, हे असे सध्या गृहीत चला. रिअल व्हेक्टर स्पेस म्हणजे "एकाच प्रकारच्या" वास्तव सदिशांचा संच. ह्या संचात शुन्य हवाच नि कोणत्याही दोन सदिशांची:

१. बेरीज करता आली पाहिजे, २. वजाबाकी करता आली पाहिजे, 

३. कोणत्याही व्हेक्टरला वास्तव संख्येने गुणता आले पाहिजे 

आणि हे केल्यानंतर जे उत्तर येईल ती सदिशाही याच संचामध्ये हवी. 

शिवाय गुणाकार आणि बेरजेने एकमेकांचा आदर करायला हवा, उदा.  (a + b)v = av + bv अशी डिस्ट्रिब्यिटिव्हिटी इ. 

"एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर" म्हणजे एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले i.e. different forces acting on SAME point किंवा एकाच वस्तूचे विविध संवेग. परंतु दोन वेगळे वेगळे बिंदू असतील (two distinct points) तर त्यांवर कार्यान्वित होणार्या दोन बलांना आपण "एकाच प्रकारचे व्हेक्टर" या क्याट्यागिरीत टाकणार नाही. किंवा एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारे बल नि त्या बिंदूचा संवेग ह्यासुद्धा एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर मानल्या जाणार नाहीत.

एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर

वर म्हटले तसे व्हेक्टर स्पेस मध्ये शुन्य नामक व्हेक्टर असायलाच हवी. ही व्हेक्टर म्हणजे काय, हे भौतिकशास्त्राच्या उदाहरणात पहायचे असेल तर, एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले, हे उदाहरण पहा (वरील चित्र). शुन्य बल म्हणजे काहीच बल नाही, ही संकल्पना बिंदूचे स्थान सांगते. म्हणजेच ज्या बिंदूवर ह्या व्हेक्टर कार्यान्वित होताहेत त्या बिंदूचे स्थान देते. म्हणजेच सर्व बलांचे (गणिती) उगमस्थान. याच कारणामुळे आब्स्ट्र्याक्ट व्हेक्टर स्पेसमध्ये शुन्य सदिशला (झिरो व्हेक्टरला) origin किंवा center of vector space म्हटले जाते.
एक तपासण्याजोगी बाब अशी की जर संचामध्ये=स्पेसमध्ये एक शून्येतर सदिश असेल तर त्यात अनंत सदिश येतात. कारण v ही शून्येतर सदिश असेल तर प्रत्येक a εR वास्तव संख्येसाठी av ही सदिश या संचामध्ये असेल. R अनंत असल्याने {av} हा संचही अनंत असेल. म्हणजेच जर V ही वास्तव व्हेक्टर स्पेस असेल आणि त्यात एक अशुन्य घटक असेल तर तीत कायमच अनंत घटक असतात. हा मुद्दा असा प्रश्न निर्माण करतो की अशा मोठ्या संचाचा अभ्यास कसा करायचा? कारण (एरवी) अनंत म्हटले की सारेच काही किचकट होऊन जाते. यावरील एक जालीम  उपाय म्हणजे "मिती"ची संकल्पना! मितीकडे वळण्यापुर्वी सदिशावाकाशांची उदाहणे पाहू.

उदा१: R चा स्वतःसोबत दोन वेळा कार्तेशियान गुणाकार RXR= {(a, b): a नि b वास्तव संख्या} असे दिसणारा संच हा एक वास्तव सदिश अवकाश आहे. त्यावर (a, b)+(c, d)= (a+c, b+d) आणि r(a, b)= (ra, rb) अशी बेरीज नि गुणाकार देऊन वरील सर्व गुणधर्म तपासता येतात. या सदिशावकाशास R^२ असे लिहितात. हे म्हणजे आपले फ़ेमस वास्तव प्रतल= real plane हे ओळखलेच असेल. (थोडे बाजूला जाऊन: रिअल प्लेन असेल तर त्याची मिती किती? तर दोन, हे फार पहिल्या पासून आपण शिकत आलोय. बरोबर? हिच संकल्पना जास्त रीगारासली पहायाचीये!).
कार्तेशियन गुणाकार माहीत नसल्यास या ओळीवर टिचकी मारा.

उदा२: अशाच प्रकारे  RXRXR= R^३वर वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि कंसाच्या आत घुसून गुणाकार केला तर R^३ सुद्धा वास्तव सदिश अवकाश होते.

उदा३: नि इन जनरल जर "न" ही नैसर्गिक संख्या† (natural nuber=  ०,१,२,३,…) असेल तर,  RXRX… न वेळा गुणाकार = R^न  ही सुद्धा वरील प्रक्रारे बेरीज-गुणाकार केल्यास वास्तव सदिश अवकाशे आहेत.

पाया नि मिती (Basis आणि dimension):

   आता एक छोटीशी आकडेमोड. समजा R^२ मधील एक सदिश (a, b) घेतली, तर बेरीज नि वास्तव संख्येने केलेला गुणाकार वापरून 

(a, b)= a(१, ०) + b(०, १) 

हे सहज पाहता येइल. किंवा R^न मधील

 (a,b,...n) = a(१,०…०)+ b(०,१,०,…०)+...+n(०,…०,१)

हे ही अगदीच उघड आहे. म्हणजे केवळ एकाच ठिकाणी एक आणि इतरत्र शुन्य असे दिसणाऱ्या सदिश नि वास्तव संख्या वापरून कोणतीही सदिश लिहिता येते.  R^२ मध्ये अशा दोनच सदिश असतात की ज्या आणि रिअल नंबर वापरून R^२ चे सर्वच व्हेक्टर लिहिता येतात, R^३ मध्ये अशा तीन आणि R^न मध्ये "न" इतक्या असतात. कारण R^न च्या व्हेक्टर मध्ये ( _, _, _,…, _) "न" कप्पे आहेत. म्हणजेच १ ठेवता येतो अशी "न" ठिकाणे उपलब्ध आहेत, इतरत्र शुन्य ठेवून द्या. ज्या व्हेक्टर मध्ये पहिल्या ठिकाणी एक येतो आणि इतरत्र शुन्य तिला e_१ म्हणतात, जीमध्ये दुसर्या ठिकाणी एक येतो तिला e_२ , … इ. 

एक थोडेसे किचकट काम म्हणजे हे सिद्ध करणे की जर e_१, e_२,… e_न यातील एकही व्हेक्टर काढली तर मात्र सर्वच्या सर्व व्हेक्टर वरील प्रमाणे लिहिता येत नाहीत. आता आपण व्हेक्टर स्पेसचा पाया म्हणजे काय ते पाहू:

व्याख्या: सदिशावकाश V चा पाया म्हणजे असा संच की ज्यातील व्हेक्टर वापरून V मधील इतर सर्व व्हेक्टरस् बेरीज नि वास्तव संख्यांनी केलेला गुणाकार वापरून करता येतात आणि या संचातील कोणतीही व्हेक्टर काढली असता V मधील निदान एक तरी व्हेक्टर अशा प्रकारे लिहिता येत नाही.

बरेच काही कष्ट करून आता एक बाब सिद्ध करता येते की प्रत्येक व्हेक्टर स्पेसला पाया असतो! आणि खरेतर शून्येतर स्पेसला एक नाही, दोन नाही तर तर "अनंत" पाया असतात. वरील उदाहरणांत दिल्याप्रमाणे पाया हा अतिशय छोटासा संच असतो आणि तो या सर्व अवकाशाचे वर्णन करू शकतो. पायाला इंग्रजीत basis of the vector space. शिवाय जर V मध्ये असे दोन पाया दिले असतील तर दोन्ही पायांमधील व्हेक्टर्सची संख्या सामानाच असते! म्हणजे  R^२ साठी {(१, ०), (०, १)} हा पाया आहे, हे आपण पहिलेच. पण जर R^२ चा इतर कुठलाही पाया घेतला तर त्यात दोन आणि दोनच व्हेक्टर असतील, ना कम ना ज्यादा! 

आता येते ती म्हणजे मिती. सदिशावकाश V ची मिती म्हणजे एखादा पाया दिला असता त्यामध्ये किती व्हेक्टर आहेत ती संख्या. 

 उदा४. 

  R^२ साठी (१, ०), (०, १) या दोनच सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^२ची मिती २ आहे.

  R^३ चा  (१, ०, ०), (०, १,०) नि (०, ०,१) या तीन सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^३ची मिती ३ आहे.

  R^न साठी (१,०…०), (०,१,०,…०),...,(०,…०,१) या न सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^न ची मिती "न" आहे.

जर पायामध्ये अनंत व्हेक्टर असतील तर V ला अनंत मितीय वास्तव सदिशावकाश = infinite dimensional vector space, म्हणतात.

 उदा५.   RXRX…अनंत वेळा. वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि गुणाकार देऊन हे एक सदिशावकाश होते.

थोडे इकडे तिकडे:

हा सदिशावाकाशांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला लिनियर अल्जेब्रा म्हणतात. लिनियर म्हणजे रेषीय. सदिशावकाशास फिजिक्समध्ये रेषीय अवकाश= Linear space असेही म्हणतात. याचे कारण म्हणजे या अवकाशांची भौमितिक रचना. या अवकाशाचा अभ्यास करताना रेषा हे मुलभुत एकक ठरते. 

 हे आपणास माहीतच आहे की वास्तव संख्यांचा संच R म्हणजे रेषा. मात्र   वरील बरीज आणि वजाबाकी सदिशावाकासाच्या व्याख्येतील सर्व गुणधर्म पळते. यामुळे R स्वतः एक वास्तव सदिशावकाश बनते, त्याचा (एक) पाया {१} नि मिती एक आहे. हे अवकाश दिसते कसे? तर R म्हणजे रेषा! हे आपण पूर्वीपासूनच शिकत आलोय. मग R^२म्हणजे काय, तर रेषेचा रेषेसोबत कार्तेशियान गुणाकार, तो येतो द्विमित प्रतल. हाच गुणाकार तीन वेळा केला की आपली युक्लिडियन स्पेस म्हणजे रोज जगतो ते त्रिमित अवकाश बनते! त्याच प्रमाणे पुढील उच्च मितीय (सदिश) अवकाशे बनतात. मात्र त्यांची सर्वांचीच चित्रे§ काढणे जमंत नाही. अस्तु. व्हेक्टर स्पेस मध्ये स्केलर प्रोडक्ट (आदिश गुणाकार) टाकले की तिला इनर प्रोडक्ट स्पेस म्हणतात. आपण १०वीत शिकलेली सर्व भूमिती करता येते. मिती वाढवली की या स्पेस मध्ये हायर डिमेन्शनल जिओमिट्रिक शेप्स मिळतात. 

आणि आता एक सिद्धांत सांगून गणित थांबवतो! 

सिद्धांत: समजा V ही वरील ऍब्स्ट्रक्ट व्याख्या वापरून मिळवलेली वास्तव व्हेक्टर स्पेस आहे. जर V ची मिती "न" इतकी असेल तर V ही मुळात R^न  च असते.

म्हणजेच आपण वर जी उदाहरणे पहिली R^२ , R^३ , … केवळ तेच वास्तव सदिशावकाश असते. इतर सर्व सदिशावाकाशे तशीच दिसतात! हा फार महत्वाचा सिद्धांत आहे. आणि तो सिद्ध करणे फारसे अवघडही नाही.

अनंत फांदी इष्टाईल, मात्र, गद्य फटका:

आईन्स्टाईन आणि त्याने केलेला उच्च मितींचा वापर, हा तत्वज्ञानाच्या लोकांचा आणि रिलेटिव्हिटीवरील एखादे एकही गणित/ सिद्धांत नसणारे पुस्तक वाचून रिलेटिव्हिटी एक्स्पर्ट बनलेल्या लोकांना उच्च मिती आणि त्या कशा अॅब्स्ट्रॅक्ट आहेत यावर टोळक्यात प्रवचन द्यायला नि खर्या फिजीक्स-गणिताच्या पोरांना आव आणायला नक्कीच आवडते! त्यावर हा एक शेरा:  R चे भूमितीय स्परूप म्हणजे रेषा हे सिद्ध करणे म्हणजे R या अल्जेब्राच्या संकल्पनेतुल रेषा नामक भौमितिक संकल्पनेत जाणे. हे सिद्ध करण्याकरिता संशोधकांना १८००चा शेवट उजाडला. मग त्यांनी R^२ हे प्रतलासारखे दिसते, R^३ हे त्रिमित अवकाशाचे गणितीकरण आहे असे रिझल्ट वरील व्हेक्टर स्पेस ची संकल्पना वापरून सिध्द केले. फिजिक्समध्ये याचा फायदा हा झाला की रोजच्या जीवनातील घटनांची/ प्रयोगांची म्याथेम्यटिकल मॉडेल  बनवणे खूप सोपे झाले. आईन्स्टाईनने (खरेतर त्याच्या पूर्वीही काहीजणांनी) एखादी घटना त्रिमित अवकाशात घडत असेल तर  ज्या ठिकाणी घडते त्या ठिकाणाचे कुऑर्डीनेट म्हणजे  (a, b, c) आणि जर ती t वेळी घडली असेल तर काळ दर्शवणारा कुऑर्डीनेट टाकून, ती घटना= event दर्शवण्यासाठी चार कुऑर्डीनेटस (a, b, c, t) वापरले. त्यामुळे त्याचे मॉडेलमध्ये R^४ मध्ये गेले. इथे केवळ मोडेलिंग साठी गणित वापरलेय. विश्वाला मिती अशा नाहीत! कोणतीही वस्तू आपले कुऑर्डीनेट (अ,ब,क,…) असे काही आहेत असे म्हणून येत नाही! त्यामुळे विश्वाची मिती ही  फिजिक्सच्या गणिती मॉडेल वापरलेल्या "व्हेक्टर स्पेस" ची मिती असते! विश्वोत्पात्तीच्या असंख्य सिद्धान्तांपैकी एका मॉडेल मध्ये २२ कुऑर्डीनेट वापरलेत! तिथे विश्व २२मितींचे आहे! पण त्याचा रोजच्या जीवनात काही अर्थ होत नाही. यामुळे स्ट्रिंग थिअरित १०+१ =११ मितींचे विश्व आहे म्हणून ती  सिद्धान्ताहून भारी आहे, अशी खुळचट विधाने किंवा प्रवचनामध्ये विश्व हे इतक्या मितींचे आहे असे काही म्हणून शब्दच्छल करणे हा निव्वळ हास्यास्पद प्रकार आहे! शिवाय शास्त्रीय लिखाणामध्ये space म्हणजेच अवकाश हा शब्द set म्हणजेच संच या गणिती अर्थाने वापरला जातो. त्यात सदिशावाकाशाची व्याख्याच मुळात इतकी अब्स्ट्रक्ट आणि गणिती आहे की या तात्विक चर्चा ऐकणे हा भौतिक-गणिताच्या लोकांना एकतर मनस्तप असतो किंवा करमणूक! जर इथून पुढे असा कोणी नग दिसला तर त्याला न चुकता Herstein चे अल्जेब्राचे†† पुस्तक किंवा हा लेख द्या!

"पेशल" लोक

∆  ∆

† जर आपणास कर्डिन्यलीटीची संकल्पना ठावूक असेल तर न म्हणजे केवळ नैसर्गिक संख्या न घेता, कोणताही कर्डीनल नंबर घेऊ शकता. इन्फ़यनाईट सुद्धा. संपूर्ण लेखामध्ये असे वापरले तरी चालेल. 
§ गणितीय संकल्पनेचे चित्र काढता येणे म्हणजे ती कल्पना वास्तववादी = real आहे, असे मनण्याचा एक पॉप-साय (Pop-Scie) लोकांचा नियम आहे. त्यामुळे हायर-डिमेन्शनल स्पेसेस कायमच त्यांचा वादाचा आवडीचा विषय असतो. पण हे म्हणजे, मला जर कळले तरच ते विधान सत्य, अशा कुपमंडूक प्रवृत्तीचे प्रदर्शन आहे!

†† हा  अतिशय सुंदर नि रोचक विषय आहे. याचे अप्लीकेशानाही प्रचंड आहेत. यावरील काही सुंदर पुस्तके:

•  हाल्मोस पा., व्हेक्टर स्पेसेस
•  हॉफमन आणि कुंझ, लिनिअर अल्जेब्रा
•  लॅंग स., लिनिअर अल्जेब्रा 

हा लेख लिहीताना प्रद्युम्नने त्याचा बराच वेळ दिला आणि पहिला ड्राफ्ट अगदी टाकून द्यायला लावला. जर लेख चांगला झाला असेल, तर त्याच्या टिप्पण्यांस श्रेय जाते! :) धन्यवाद पद्या!

उजळणी "एक दोन तीन…" ची

मुलांच्या लहानपणी सर्वांच्या आयांना झालेला एक त्रास म्हणजे, मुलांना अंकालीपितून पाढे शिकवणे. 'बे चे पाढे' नावाचा महान प्रकार तर दूरची गोष्ट, पण एक-दोन-तीन शिकवतानाही माझ्या आईने मला आठवडाभर शिक्षा दिल्याचे मला आठवतेय. माझी गाडी एक दोन पासून सुरु होऊन ४८ पर्यंत मस्त यायची, पण ४८ नंतर थोडावेळ विचार करून मी पुन्हा "एक" म्हणायचो! आईने यासाठी मला शिक्षा म्हणून एकदा रात्रीचे जेवणही दिले नव्हते! माझ्या कित्येक भावंडांची आणि मित्रांची गत काही वेगळी नव्हती, असे आत्ता कळते. पण खरेच अठ्ठेचाळीस नंतर जर एक आला असता तर किती शिक्षा वाचल्या असत्या माझ्या!  हाच माझा बालपणीचा प्रश्न घेऊन या लेखामध्ये "मोजण्याच्या" वेगवेगळ्या पद्धतींवर मी बोलणार आहे.
या व्यतिरिक्त, डिजिटल इलेक्ट्रोनिक किंवा कम्प्युटिंग मध्ये १+१=० का, असा प्रश्न जर स्वतःला कधी विचारला असेल तर या लेखामधे त्याचे उत्तर आहे.

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५पैकी ३ मिरच्या
पण जर ६चा पाढा येत असेल नि थोडा धीर असेल तर फार तिखट नाय!
धीराने वाचा

माझी आई माझा अभ्यास घेतानाचे एक सुंदर :/ चित्र

तथाकथित उच्च शिक्षण घेत असताना मला झालेले एक ज्ञान म्हणजे माझी ४८ नंतर १ म्हणण्याची चूक (?) आणि आठवड्याचे वार मोजणे या दोन प्रक्रियांचा जवळच्या संबंध आहे. वरवर पाहता या दोन्ही गोष्टी फारच दूरच्या आहेत म्हणा; पण हा संबंध काय ते पाहू.

 समजा मला दिवस मोजयचे आहेत, पण पहिला दिवस, दुसरा दिवस, तिसरा दिवस,… असे न मोजता वारांच्या भाषेत दिवस  मोजयाचेत. म्हणजे सोमवार, मंगळवार,…  असे. असे मोजत गेल्यास शेवटी येईल शनिवार नि रविवार; आणि पुढे? पुढे खरेतर काही नाही, असं म्हणाल. पण काळ तर थांबत नाही. पुन्हा सोमवार येतो. आणि मग पुन्हा तेच चक्र चालू असते. हे झालं आपणा सामान्यांचे लॉजिक. पण हेच जर गणिती भाषेत मांडलं, तर फार मोलाची कल्पना सापडते!

आपण सोमवारला सोमवार ऐवजी एक म्हणू, मंगळवारला दोन, … शनिवारला सहा आणि रवीवारला शुन्य (खरेतर रवीवारला  तुम्ही सात असाही म्हणू शकता, पण शुन्य म्हटले तर पुढील गणित थोडे सोपे होईल). आता मंगळावर नंतर दोन दिवसांनी कोणता वार येतो, तर मंगळवार +२= गुरुवार किंवा बुधवार नंतर तीन दिवसांनी कोणता वार येतो तर बुधवार+३ = शनिवार. जर मंगळवार  = २ आणि गुरुवार = ४ टाकले किंवा बुधवार=३ आणि शनिवार = ६ टाकले, तरीही या बेरजा नित्याच्या नियामांप्रमाणे होतात. म्हणजे मंगळवार +२= २+२= ४ =गुरुवार आणि बुधवार+३ = ३+३= ६ =शनिवार. जर वजाबाकी करायची असेल तर हे उदारण पहा: मंगळवार आधी कोणता वार? तर मंगळवार - १ = सोमवार या ठिकाणी ही मंगळवार = २ आणि सोमवार =१ टाकले तर मंगळवार - १ = २-१ =सोमवार. गणित बरोबर जुळते! वाह!

म्हणजे आपण वार घेऊन एक मोजण्याची पद्धती, म्हणजेच काऊंटींग सिस्टीम बनवलीये, असे दिसतेय. या सिस्टीम मध्ये सात आकडे आहेत ०, १, २,…६ असे. पण ही सिस्टीम परीपुर्ण दिसत नाही. कारण, ६+६ म्हणजे किती हे इथे सरळ सरळ दिसत नाहीये.  बेरीज जर ६ हून जास्त असेन किंवा वजाबाकी ० हून कमी तर वरील पद्धतीने मोजणे शक्य होत नाही. कारण ६ हून मोठा आकडा आपल्याकडे नाही आणि शुन्याहून लहान अंक नाही. कारण काय तर आपल्या सिस्टिमला ०,१, २,…, ६ इतकेच अंक माहित आहेत. यावर काय करावे? यावर एक नैसर्गिक उपाय पुढील प्रमाणे आहे: यावर्षी (२०१४) गणपती सोमवारी बसले. ह्यावर्षी अधिक महिनाही नाही, तर अनंत चतुर्दशी कोणत्या वारी येईल? थोडी आकडेमोड केल की लक्षात येईल, की ती बुधवारी असेन. वरील प्रमाणे वारांना आकडे दिले तर सोमवारनंतर दहा दिवसांनी कोणता वार येईल, असा प्रश्न ईथे होता. म्हणजे आपल्या सिस्टीमच्या भाषेत १+ १० बरोबर किती असा प्रश्न होता आणि उत्तर आले सोमवार+ १० = १+१०= ३ = बुधवार. अशीच इतर उदाहरणे म्हणजे मंगळवारानंतर पाच दिवसांनी कोणता दिवस येईल, तर रविवार. म्हणजे २+५=०. मंगळवारनंतर सहा दिवसांनी कोणता दिवस येईल तर सोमवार म्हणजेच २+६=१. या सर्व बॆरजा केल्या, तर खालील तक्ता बनवता येईल:

बेरजेचा तक्ता

हा तक्ता पाहिले की लक्षात येते की केवळ ०,१,…,६ हेच आकडे वापरून आपण बेरीज केली आहे. 'बेरीज' या गणिती प्रक्रीयेचे स्वतःचे काही महत्वाचे नियम आहेत. हे महत्वाचे नियम म्हणजे,

१. अ +० = ० + अ =अ 

 २. अ+(ब+क)=(अ+ब)+क 

हे होत. तुम्ही तपासले तर लक्षात येईल की हे दोन्ही नियम या सिस्टीममध्ये पाळले जातात. 

पण इथे बेरीज नेमकी करायची कशी? त्याचे एखादे सूत्र आहे का? होय! बेरीज करण्याचा एक नियम आहे. तो म्हणजे:

 विधान१: बेरीज करण्याचा सोपा उपाय म्हणजे संख्यांची बेरीज करायची आणि ती साताहून मोठी असेल तर सातने भाग लावून केवळ बाकी घ्यायची.

आता ऋणत्वाची संकल्पना या सिस्टीममध्ये आहे का हे पाहू. एखाद्या संख्येची ऋण संख्या म्हणजे काय ते पाहू. समजा "क्ष" ही पूर्णांक† सख्या असेल तर या संख्येची ऋण किंमत म्हणजे अशी संख्या की जी क्ष मध्ये मिळवली असता उत्तर शुन्य येते. तिला आपण -क्ष म्हणतो.उदाहरणार्थ १+ (-१) = ० इ. आपल्या वरील सिस्टीम मध्ये शुन्य आहेच. एक मजा आधीच सांगतो, की इथे संख्यांना ऋण केले की भरपूर मजा येणारेय! उदाहरणार्थ -१ शोधु. वर म्हटल्याप्रमाणे -१ ही अशी संख्या असेल की -१+१ = १+(-१) = ० येईल. वरील कोष्टक पहा. एकात सहा मिळवले किंवा सहात एक मिळवला की उत्तर शुन्य येते. त्यामुळे या सिस्टीम मध्ये -१=६ होतात! असाच शोध घेतला की कळेल,

 -०=०  -१=६ -२=५  -३=४  -४=३  -५=२  -६=१

   भारी की नाय? आता -(-क्ष) = क्ष, हा नियम आपल्याला माहितीच आहे. या सिस्टीम मधेही हा नियम पाळला जातो. जसे वरील उदाहरणात -(-१) = -६=१.

    शोध घेण्याजोगी एक बाब म्हणजे सिस्टीम मध्ये वाजाबाकी करत येते का? चला शोध घेऊ.
पहिल्या परिच्छेदात काही वजाबाक्या केल्या आहेत. इन जनरल वजाबाकी कशी करायची, हे पाहू.
"वजाबाकी " असे स्पेशल ऑपरेशन खरेतर गणितामध्ये नाही. गणितामध्ये १-२ म्हणजे काय, तर १+ (-२) होय. त्यामुळे जर ऋण संख्या सिस्टीम मध्ये असेल तर वजाबाकी होते. थोडक्यात काय तर दोन संख्यांची वजाबाकी म्हणजे एकीमध्ये दुसरीची ऋण किंमत मिळवणे होय! आपल्याकडे सर्वांच्या ऋण किमती आहेत नि बेरीजही आहे. त्यामुळे आपल्या सिस्टीममध्ये वजाबाकी ही करता येते! जसे १-२ = १+ (-२) = १+ ५ = ६ किंवा सोमवारच्या दोन दिवस आधी कोणता वार येतो तर शनिवार! सेम सेम उत्तरे! बेरीज वजाबाकीसाठी आपली सिस्टीम दणकट आहे!

या सिस्टीम मध्ये गुणाकारही करता येतो. कारण धनपूर्णांक संख्यांमध्ये गुणाकार बेरजेच्या भाषेत लिहिता येतो. कसा तर:

२ X ४ := २+ २+ २+२ =४ +४  

अथवा

अ गुणिले ब := अ+अ+ … "ब" वेळा = ब+ब+ … "अ" वेळा

   हिच युक्ती आपण आपल्या गुणाकारासाठी वापरु शकतो. आपल्या सिस्टीममध्ये ऋण चिह्नाला फारशी किंमत नसल्याने वरील सूत्रे थेट गुणाकारासाठी वापरता येतात. आपल्या सिस्टीममध्ये गुणाकाराची अजून एक सोपी पद्धत म्हणजे, विधान १ मध्ये दिल्याप्रमाणे संख्यांचा गुणाकार करायचा आणि मग सातने भाग लावून बाकी उचलयची. या दोन्ही पद्धती सारख्याच आहेत.

गुणाकाराचा तक्ता

   आता राहिला प्रश्न भागाकाराचा. इथे कोणत्याही दोन संख्यांचा भागाकार करता येतो का?

मी थेट उत्तर देणार नाही पण काही हिंट देतो. जसे आपण बेरजेचे केले, तसे आता १ हा आकडा वापरून आधी भागाकार म्हणजे काय, ते गुणाकाराच्या भाषेत ठरावा आणि मग २ ला ३ने भाग लागतोय का ते पहा :)

   सारांश  असा की {०,१,२,३,४,५,६} या संचावर आपण नित्याच्या बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार या क्रिया थोडाफार बदल करून वापरल्या आणि बे-व-गु या सर्व क्रिया नि त्यांचे महत्वाचे गुणधर्म§ पळणारी नवी सिस्टीम तयार होते. चाणाक्ष वाचकांच्या लक्षात आलेच असेल की इथे सात हा आकडा महत्वाचा नाही. {०,१,…,क्ष} असा कोणताही पूर्णांक संख्यांचा संच घेतला तरी ही सूत्रे चालतील.

याचा वापर कुठे होतो?
   इन्फोसिस, कोग्निझण्ट अशा कंपन्या किंवा स्पर्धा परीक्षांचा अभ्यास करताना बुद्धिमत्ता चाचणी केलेल्यांना लक्षात आले असेल कि दिवस-वार यांची गणिते सोडवण्याची जी पद्धत आहे, तिच्याच वर मी बोललोय! फक्त आकडे वापरलेत. या चर्चेत "आठवडा" ही संकल्पना महत्वाची नाही. समजा प्रत्येक महिन्यात ३० दिवस असतात. नि आज १ जानेवारी असेल, तर आज पासून ५००व्या दिवशी कोणती तारीख येईल? हे सोडवायला तुम्ही ५०० ला ३० ने भागल नि आलेल्या बाकीला तारीख म्हणाल. मीही तसेच केलेय. महिन्याच्या उदाहरणात {०,१,२,…,२९} ह्या संचासाठी वरच्याप्रमाणे तक्ता बनवता येईल. आणि ही सिस्टीमही बेरीज-गुणाकार-वजाबाकी करण्यासाठी समर्थ असेल. 

{०,१,…,अ} हा संच आणि बे-गु-व  करणाऱ्या या सिस्टिमला गणितामध्ये "finite cyclic ring of order अ" म्हणतात. 

तिच्यासाठी Z/अZ हे चिह्न वापरतात*. आपण ring साठी अंगठी शब्द वापरू. तर तर ही अ संख्यांची सांत= स+अंत (finite) चक्रीय अंगठी आहे.

जर गुणाकार काढला, संच आणि बे-व करणाऱ्या या सिस्टिमला गणितामध्ये "finite cyclic group of order अ" म्हणतात,

नि Z/अZ याच चिह्नाने दर्शवतात. आपण group साठी संघ शब्द वापरू.

   यांचा वापर केवळ बुद्धिमत्ता चाचणीसाठी होतो? खासच नाही! मुलभुत गणितामध्ये अतिशय महत्वाच्या अशा ह्या संकल्पना आहे. संख्याशास्त्रामध्ये पूर्णांकासाठी जर एखादा प्रश्न सोडवायचा असेल तर ताळा म्हणून आधी तो प्रश्न या सांत चक्रीय सिस्टिम्स मध्ये सोडवून पाहतात. पूर्णांकांमध्ये अनंत संख्या असल्याने मोजणी करणे अवघड असते. इथे मात्र सांत संख्याच असतात. त्यामुळे आकडेमोड सोपी पडते.
कम्प्युटिंग मधील {०,१} हा संच घ्या. १ म्हणजे फुल सिग्नल नि ० म्हणजे शुन्य सिग्नल. इथे ०+०=०, १+०=०+१=१ असते पण १+१=० का? हा प्रश्न जर स्वतःला कधी विचारला असेल तर या लेखात त्याचे उत्तर आहे. कारण {०,१} या संचाला गणितीय दृष्ट्या इथे finite cyclic group of order २ म्हणजेच Z/२Z म्हणून पाहतात नि सिग्नल प्रोसेसिंग करतात. त्यामुळे एरवी १+१=२ पण Z/२Z मध्ये २=० होतो!

    ज्या नॉन-एम्प्टी सिस्टीम्समध्ये बेरीज व वजाबाकी करता येते तिला गणितामध्ये ग्रुप=संघ म्हणतात. उदाहरणार्थ पुर्णान्कांचा संच हा बे-व अव्हेलेबल असल्याने केवळ संच नाही तर एक ग्रुप आहे. सुसम बहुभूजाकृतींच्या सममिती (symmetries of regular n-gon, उदा- त्रिकोण, चौरस, सुसम पंचकोन) या ग्रुप बनवतात आणि जर त्या बहुभूजाकृतीस "अ" बाजू असतील तर Z/अZ हा तिच्या काही सिमेट्री देतो. शेवटाकडे जाण्यापूर्वी, खास गणिताच्या विद्यार्थ्यांसाठी एक अतिशय महत्वाचा सिद्धांत सांगतो. सांत नि आबेलचा गुणधर्म पाळणाऱ्या संघांच्या वर्गीकाराणाचा सिद्धांत (Structure theorem for finite abelian groups) सांगतो की 

कोणताही आबेलिअन सांत संघ हा Z/अZ किंवा Z/अZ यांची डिरेक्ट सम असतो.

   …तर अशी आहे ४८ नंतर १ येण्याची कहाणी. आजकाल माझ्या छोट्या भाच्या-पुतण्यांच्या अभ्यास घेते आई. आणि तो दहा नंतर विचार करून पुन्हा "एक" म्हणतो तेव्हा त्याला ती ओरडण्यापुर्वीचा मी म्हणतो, "अगं, काय विद्वान आहे हा… आत्ताच Z/११Z मध्ये मोजदाद करतोय!"††.

∆   ∆

 या लेखातील सर्व चित्रे ©रोहित दिलीप होळकर

† Z = { …,-३, -२, -१, ०, १, २, ३,…} या संचास पुर्णान्कांचा संच असे म्हणतात.

   N = {०, १, २, ३,…}  या संचास नैसर्गिक संख्यान्चा संच असे म्हणतात

§ महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे या पानावारील Definition and illustration विभागातील ३. व्यतिरीक्त इतर सर्व गुणधर्म

* इथे "/" हे चिह्न वापरण्यामागे विधान १ मधील भागाकार कारणीभूत आहे.
† † माझे सर, फर्ग्युसनच्या गणित विभागाचे सध्याचे प्रमुख, एक अतिशय विद्वान गणित प्राध्यापक नि एक माजी गणिती डॉ. वि. वि. आचार्य यांनी finite cyclic group चे रोजच्या जीवनातील एक उदाहरण म्हणून मला आठवड्याच्या वारांची गणती सांगितली होती. तीच मेन थीम करून मी हे लिहिलंय. शिवाय शेवटचा तळटीप दिलेला किस्सा हा माझ्यासोबत नाही पण आचार्य सरांसोबत घडलेला खरोखरीचा किस्सा आहे! बाकी १-४८ ही माझी खरीखुरी कथा आहे!

रहस्यकथा एका नेपोलिअनिक(?) योद्ध्याची

"उत्तर जर्मनीतील ग्योटींगेनने प्यारीसला हरवले. युरोपमध्ये ब्रिटीश नि फ्रेंचांचे वर्चस्व लयास जाऊन जर्मनांचा जयजयकार होऊ लागला. खवळलेल्या फ्रेंचांनी नेपोलिअनची शपथ घेतली आणि ३र्या नेपोलिअनच्या एका सरदाराला आपला नेता केले- जनरल बुर्बाकी अखेरीस पुन्हा युद्धभूमीवर परत आला नि सुरु झाले एक शीतयुद्ध!…"

पहिल्या किंवा दुसर्या महायुद्धाताला शोभेलसा प्रसंग. आज याच प्रसंगाचे सांगोपांग वर्णन करायचा घाट घातला आहे मी! गणिताच्या लेखामालांत युद्धकथा कुठून आली? असा प्रश्न पडला असेल तर (उत्तर न देता) उत्कंठा जरा अजून वाढवतो… ही केवळ युद्धकथा नाही तर एक रहस्यकथाही आहे. यामध्ये राजकारण नि अंतर्गत भेदही आहेत. इतकेच नाही तर जगाच्या इतिहासाला नाही तरी निदान, शास्त्रीय इतिहासास धक्का लावणारे बदल या घटनेने केले आहेत. आणि ही गणिताच्या इतिहासातील एक अविस्मारणीय घटना आहे. चला फार तिखट मीठ-लावले, आता मूळ कथेकडे वळतो…  

या लेखामध्ये काहीच मिरच्या नाहीत. हाती चहाचा पेला घेऊन वाचा!
या लेखामध्ये मुक्तहस्ताने संकेतस्थळे दिली आहेत. काहीं अडल्यास त्या नावांवर टिचकी मारा आणि योग्य ते संकेतस्थळ उघडेल.

    युरोपातील महायुद्धे आपल्याला परिचितच आहेत; पानिपाताच्या युद्धांहून जास्त आवडीने आपल्याला पाठ्यपुस्तक मंडळ ते शिकवते. हा युरोप जरी फर्स्ट वर्ल्ड असला तरी अंतर्गत हेवेदेवे त्याला नवे नाहीत. संशोधन क्षेत्रही या हेव्यादेव्यांतून सुटले नाही. आधुनिक शास्त्राचा काळ ढोबळमानाने, सुरुवातीस इटलीने (गॅलिलिओ), मग इंग्रजांनी (न्यूटन प्रभृती) आणि मग फ्रेंच-जर्मन-इंग्रज या देशांनी गाजवाला. मात्र पहिल्या महायुद्धात फ्रेंच नि इंग्रजांनी एका अख्ख्या पिढीतील बरेच संशोधक गमावले, त्या उलट खूप कमी जर्मन संशोधक कामी आले. या काळामध्ये गणित नि भौतिकशास्त्रामध्ये जर्मनांचा अगदीच वरचष्मा होता.

   जर्मनीमधे किंचीत उत्तरेला, हानोफर शहराजवळ ग्योटींगेन नावाचे अतिछोटे गाव आहे. गणितामध्ये या ग्योटीङ्गेनने पाहिल्या महियुद्धापुर्वी एक नवी लाट आणली होती. ती लाट दुसरे महायुद्ध संपेस्तोवर टिकली. १७०० च्या अगदी शेवटच्या काळात गाउस नामक अतिप्रसिद्ध गणित्याने ग्योटिंगेनची वैभवशाली परंपरा सुरू केली नि नंतर हिल्बर्ट-एमी नॉयादर-लाण्डाऊ  यांच्या पिढीने एक क्रांती घडवली होती. अमेरिकेतीलही हुशार विद्यार्थीसुद्धा या गावत गणित शिकायला येण्याचे स्वप्न पाहत. मात्र अनेक हुशार ज्यू गणित्यांना पळवून लावून आणि गणितसंशोधनाऐवजी शस्त्रास्रनिर्मितीला प्राधान्य देउन, हिटलरने ग्योटीङ्गेनची वैभवशाली परंपरा लयास नेली.

  या महायुद्धांच्या पार्श्वभूमीवर, आपली कथा झगमगत्या पॅरीसमधे घडते.  या जर्मन- इंग्रज वरचष्म्याच्या काळातच अचानक १९३०- १९३५ च्या दरम्यान प्यारीस मधील "हरमन" प्रकाशनाने "Éléments de mathématique = गणिताचे घटक" अशा नावाची एक ग्रंथमालिका प्रकाशित करावयास सुरुवात केली. काही काळातच, ह्या मालिकेतील पुस्तके फ्रान्समधील सर्वच मोठे गणिती 'आधुनिक गणित शिकवण्याचे आदर्श ग्रंथ' म्हणून, वापरु लागले. ही पुस्तके फ्रेंच मध्ये लिहीली होती आणि सुरुवातीस इतर कोणत्याच भाषांत भाषांतरित केली गेली नव्हती. पण फ्रेंच अवगत असणारे इतर गणिती हे ग्रंथ पाहून आवक झाले! कोणी विचारही केला नसावा इतक्या अधिकारवाणीने हे लिखाण केले होते. पुस्तकांच्या लेखकाने स्वतःचे नवे, तोंडात बोटे घालायला लावणारे संशोधनही या पुस्तकांत टाकले होते.

    कोण होता हा लेखक? त्याचे नाव होते "न. बुर्बाकी". मागाहून 'न' म्हणजे निकोला= Nilolas असे जाहीर केले गेले. लेखकाबद्दल हरमनच्या प्रकाशकांनी कोणतीही माहिती दिली नव्हती. गमतीची बाब अशी की निकोला बुर्बाकी नावाचा कोणीही गणितीच काय, पण साधा गणिताचा विद्यार्थीही युरोपात त्यावेळी कोणास ठाऊक नव्हता! काही काळानंतर हळूहळू बुर्बाकीने आपल्या अस्तित्वाचे पुरावे द्यायला सुरुवात केली. तो पत्रे प्रकाशित करू लागला. देओदेने, कार्टन सारख्या महान फ्रेंच गाणित्यांना  तो भेटू लागला.

     बुर्बाकीच्या म्हणण्याप्रमाणे, तो एक रशियन गाणिताभ्यासक होता. रशियामध्ये निघून तो युरोपात हिंडून मग प्यारीसामध्ये स्थिरावला होता. त्याच्या अवलीपणामुळे तो काही काळ तुरुङ्गताही होता. त्याच्या अवलीपणाचा नमुना म्हणजे: त्याला काही काळ तुरूंगात डांबले होते, असे तो एक पत्रात म्हणतो. आणि याच पत्रात तो लिहितो की, एकांतावासामध्ये ठेवले असल्याने सतवायला कोणी नाही, इथे काम करायला किती भरपूर वेळ मिळतोय. मी अतिशय आनंदी आहे!

बुर्बाकीचा पहिला खंड

    बुर्बाकीच्या Éléments de mathématique लिहिण्यामागे बरेच हेतू होते. त्या काळापर्यंत बरेच गणिताचे लोक भौतिकशास्त्राला पुरक विषय म्हणून गणिताचा अभ्यास करत. जे असे करत नसत ते त्यांच्या गणितातील बरीच उदाहरणे, संज्ञा भौतिक शास्त्रातून प्रेरित झालेल्या होत्या. कित्येकदा गणितामधील व्याख्यासुद्धा, हे लोक भौतिकशास्त्राच्याच भाषेत मांडत. हे सर्व प्रकार बंद करून गणिताला एक स्वतंत्र शास्त्र म्हणून त्याला उदयास आणायचे होते. गणिताची सर्व चिह्ने, संकल्पना नि संज्ञा यांची निव्वळ गणिती प्रेरणेने पुनर्रचना  त्याला करावयाची होती. हिल्बर्टच्या सैद्धांतिक पद्धतीला = Axiomatic method, पुढे न्यायचे होते. हे सर्व होण्यासाठी त्याकाळातील सर्वच गणित नवीन भाषेमध्ये पुन्हा एकदा लिहून काढणे गरजेचे होते. गणिताभ्यासासाठी उत्तम, असा पुस्तक संच त्याला बनवायचा होता की, जो गणिताचा सर्वोत्तम संदर्भ म्हणून वापरला जाऊ शकेन.

   बुर्बाकीला भेटलेले सर्वच फ्रेंच गणिती अतिशय थक्क होते. ओंद्रे वेईने बुर्बाकीचा परिचय प्रथमतः प्यारीस आकादामी ऑफ सायन्सला करून दिला तेव्हा त्याने म्हटले की "क्याफ़ेटेरीया मला भेटलेले श्री. बुर्बाकी हे अतिशय हुशार अवलिया आहेत . त्यांच्या गणिताच्या ज्ञानाने मी अतिशय प्रभावित झालो आहे." ओंद्रे वेई , दिओदुने, शेव्हाले, कार्टन अशा महान लोकांनी त्याच्यासाठी प्रकाशक आणि विद्यापीठांकडे पत्रे लिहिली. 'आम्ही ज्या प्रश्नावर महिनाभर काम करतोय, तो याने झटक्यात सोडवला', 'बुर्बाकीचे विचार इतके रीगरस नि तर्कशुध्द आहेत की विचारता सोय नाही', अशा प्रतिक्रिया गणित क्षेत्रातील या मातब्बरांच्या होत्या! पण हे फ्रेंच लोक सोडून तो कुणालाच भेटत नसे. बुर्बाकी अतिशय माणूसघाणा आहे. तो फार एक्कलकोंडा आहे, वगैरे वगैरे मते त्याच्या स्वभावाबद्दल त्याला भेटलेले लोक देत असत. बुर्बाकीनेही अशी ग्वाही एकदा पत्रामार्फत दिली. त्याने आपले युरोपप्रवासवर्णनही थोडक्यात लिहिलेले सापडते. आपले गणित सोडवलेले कागद नि त्यावरील चिह्ने पाहून आपल्याला फिनीश पोलिसांनी हेर म्हणून कसे अटक केले, याची वर्णने त्याने भरभरून लिहिली.  त्याची काही खाजगी पत्रेही उपलब्ध होती. पण त्याला भेटणे कोणालाही जमले नाही. खाजगी नाते संबंध नसले तरी बुर्बाकीचे गणित संशोधन क्षेत्रातील संबंध वाढत होते. क्लाउडे शाबु,डिक्समिअर, थोम , डी र्ह्याम याही लोकांनी त्यांच्या बुर्बाकी भेटीचे अनुभव सांगायला सुरुवात केली. बुर्बाकीचे लिखाण आणि संशोधन जगभर मान्य नि प्रसिद्धी पावत होते!

ओंद्रे वेई

   आता मात्र जर्मन नि खासकरून इंग्रज लोक इरीला पेटले. खुद्द फ्रेंचमध्ये(च) लिहिणारा, इतका हुशार, गणिताचे स्वरूप बदलू इच्छिणारा अन खरेच तशी क्षमता असणारा हा आहे तरी कोण… अशी हवा तापू लागली. शिवाय बुर्बाकी सर्वच विषयामध्ये निष्णात होता. गणिताच्या सर्वच शाखांचे सांगोपांग ज्ञान ह्या माणसाला होते. पत्रकारांनी त्याचा शोध घेण्याचा प्रयत्न सुरु केला. सुरुवातीचे काही प्रयत्न अयशस्वी ठरले नि अचानकच बुर्बाकीच्या अस्तित्वाचा पत्ता लागला! कोण होता हा निकोला बुर्बाकी?

   पहिल्या महायुद्धानंतर प्यारीसाच्या ईकोल इन्स्टिट्युटमधील वाइल, दिओदुने असे गणित्यांचे टोळके एकत्र आले. फ्रेंचाना गणितामध्ये कोणी तारणहार नाही नि फ्रेंच गणित आता पूर्वीसारखे राहिले नाही, हे या टोळक्यातील सर्वांचेच मत होते. ही स्थिती वाईट आहे नि ती सुधारलीच पाहिजे यावर त्याचं एकमत झालं. त्यांनी गणितात कोणते बदल हवे आहेत यावर विचार विनिमय करून स्वतःसाठी काही मार्गदर्शक तत्वे स्वीकारली. आणि मग आपल्या स्वप्नातील गणित कागदावर लिहिण्यास त्यांनी सुरुवात केली… त्यांनी पुस्तके लिहायला घेतली… त्यांनी Éléments de mathématique लिहायला घेतले भाषाप्रेमाचा तीव्र पडसाद म्हणून त्यांनी ही पुस्तके फ्रेंच मधेच लिहायची असे ठरवले.

   गाउस किंवा हिल्बर्ट सारखी एक कोणीतरी 'फादर फिगर' फ्रेंच गाणितासही असावी म्हणून त्यांनी जन्म दिला- "न. बुर्बाकी"ला! हे नाव कुठून आले? एखादे फारसे प्रसिद्ध नसलेले नाव उचलायचे म्हणून त्यांनी तिसर्या नेपोलिअनच्या एका फारशा न गाजलेल्या एका जनरलचे, चार्ल्स डेनिस बुर्बाकीचे आडनाव उचलले. त्याच्या नावाऐवजी आधी केवळ N असे आद्याक्षर वापरले. मागाहून "न =N" साठी  काहीतरी नाव ठरवावे लागेल म्हणून निकोल = Nokolas असे ठरवले! तिसर्या नेपोलिअनचा हा लष्करी अधिकारी नक्की "जनरल" होता की "कर्नल" ह्याची मला खात्री नाही. विकीपिडीया तो जनरल होता असे, म्हणते तर ज्व्यां पाउल पिअर तो मार्शल होता म्हणतो. पण विकीपेक्षा जास्त खात्रीशीर म्हणून मी पिअरचा संदर्भ मान्य करतोय.

   युक्लीडला आधुनिक गणिताचा प्रेरक मानून त्यांनी आपल्या लेखनमालिकेचे नाव युक्लिडच्या "Elements" या ग्रंथावरून "Éléments" असे ठेवले. ह्या टोळक्याने मग एकत्र बसून आपल्या मार्गदर्शक तत्वांनुसार लिहायला सुरुवात केली.

   प्यारीस अकादमी आणि इकोल इंन्सिट्युट मध्ये या काल्पनिक निकोल बुर्बाकीला अतिशय प्रसिद्ध केले गेले नि हरमन कडून त्याची पुस्तके छापून घेतली गेली. पुढे विषयाचा आवाका वाढू लागल्यावर त्यांनी इतर अतिहुशार फ्रेंच गणित्यांना आपल्या या गुप्त संघामध्ये ओढायला सुरुवात केली. त्यामुळे आम्ही बुर्बाकीला भेटलो आहोत असे म्हणणारी संशोधक माणसेही वाढू लागली. शिवाय लिखाणामधील विषयांचा आवाका वाढला! जणू काही सारे फ्रांस एका छत्राखाली एकत्र येउन आपल्या वैज्ञानिक उन्नतीसाठी मातृभाषेमध्ये संशोधन करत होते! मागून जॉ कुलोंब सारखे प्रतिष्ठित भौतिक शास्त्रज्ञही या टोळक्यात काही काळ सामील झाले. आता ह्या संघातील लोकांना Bourbakis म्हणतात.

   हे लोक कधी प्यारीस इकोलमध्ये चर्चेसाठी भेटत तर कधी प्यारीस इन्स्टिट्युटमध्ये. मनात आल्यास ते शेजारच्या गावांत नि शेतांमध्ये भेटत. आपल्या कल्पना नि गणिती संज्ञा खरडलेल कागदी चिटोरे घेऊन ते चर्चा करत. संघटनेच्या नियमांप्रमाणे त्यांच्यामध्ये प्रमुख कोण, असे ठरवले जाणार नव्हते. सर्वच जण समान असतील. तरीही वाइल सुरुवातील मार्गादर्शकासारखा होता. नंतरच्या काळात दिओदुने सर्वाधिक प्रभावी (नि हट्टी) ठरला.

या लोकांची चर्चा क्वचितच 'चर्चा' असे. सारे जण आधीच फ्रेंच, त्यात गणिती, त्यात (खरेखुरे) विद्वान… असे असल्यावर काय विचारता! आपापली मते जोरदार मांडली जात. कोणाचा दृष्टीकोन जास्त योग्य, कोणता विषय जास्त महत्वाचा यावर हमारीतुमरी होई. आपले कागद वाचायला दिला तर समोरचा तो थेट बोळा करून भिरकावून देई! दुओदुनेला तर काहीच मान्य नसे! या बुर्बाकींपैकी काही जणांच्या बायकांनी ह्या चर्चा पाहिल्या आहेत आणि त्या म्हणतात की, कित्येकदा असे वाटे की, हे एकमेकांची टाळकी फोडणार किंवा दुओदेने टेबल उचलून फेकणार! पण घनघोर 'तात्विक चकमक' या पुढे कधीच हे वाद गेले नाहीत. ना त्यांची मैत्री संपली. या चकमकी पाहणारे म्हणतात की इतके सारे होऊन त्यातून इतकी चांगली पुस्तके कशी बाहेर पडली हे आश्चर्याच आहे! कागदाचे कपटे नि आरडओरडा सोडून यातून काही बाहेर पडेल असे आम्हाला वाटले नव्हते!

दुसर्या महायुद्धानंतरच्या काळात, या टोळीमध्ये सेर्र, ग्रोथेण्डिक सारखे महान गणिती अवलिये सामील झाले. प्रसिद्ध गणित लेखक सर्ज ल्यांग हाही काही काळ ह्या संघाटनेमधे होता. वयाच्या पन्नाशी नंतर या संघातून निवृत्त व्हायचे असा नियम होता. सर्वानीच तो पाळला. मग, नवे लोक भारती करून घेतले जात. १९८० पर्यंत बुर्बाकींनी भरीव कामगिरी केली. आत्ता २०१२ साली अल्जेब्रा चा १२वा धडा त्यांनी लिहिला.

१९३८च्या एका बैठकीतील बुर्बाकीजन

  

आता शेवटची एक फ्रेंचांनाच शोभणारी गंमत सांगतो-- बुर्बाकीचा रहस्याभेद होऊनही दिओदुने सारख्या कट्टर लोकांनी बुर्बाकीचे अस्तित्व अमान्य केले नाही. एक घटना अशी की ब्रिटानिकाच्या विश्वकोशाचे काम चालू असताना "नि. बुर्बाकी" च्या मथळ्याखाली एका ज्या लेखकाने "ही एक फ्रेंच गणित्यांची गुप्त संघटना आहे" असे लिहिले. हे लिहीणार्या या लेखकविरोधात "बुर्बाकीने" लेखी पत्र लिहून तक्रार तर केलीच केली, पण मागाहून बुर्बाकीने आणि त्याच्या गणिततातील 'मित्रांनी ' मिळून हा पत्रकाराच "स्वतः कसा अस्तित्वात नाही", तो काल्पनिक आहे, त्याच्या नावे एक गुप्त संघटना कशी काम करतीये नि ब्रिटानिकावाले त्या संघटनेला कसे वापरून घेताहेत असे उलट लेख लिहायला सुरुवात केली!

मात्र आता हे सर्वमान्य झाले आहे की हि एक गुप्त संघटनाच होती, ती आता जगजाहीरपणे एक संस्था म्हणूनच काम करते. तिच्या संकेतस्थळासाठी इथे टिचाकी द्या. 

हा बुर्बाकी किती यशस्वी झाला, त्याचे रहस्य उघडल्यावर त्याला स्वीकारले गेले की नाही आणि मान्यवरांची याबाबतची मते काय… हे सर्व पुढील लेखात! :)

∆  ∆

संदर्भ:
१. ज्व्यां पाउल पिअरचा लेख
२. मायकल आतीयाचे बुर्बाकीच्या पुस्तकांवरील रसग्रहण
३. विकीदादा
४. बीबीसीची A Brief History of Mathematics  मालिका
५. गणिती मित्र, शिक्षक-प्राध्यापक आणि फ्रेंच प्राध्यापक नि सहाध्यायांसोबाताच्या गप्पा.  

सर्व छायाचित्रे विकिपीडिया वरून घेतली आहेत. त्यावर माझे स्वामित्व नाही नि मला तसे म्हणायचे ही नाही. 

प्रश्न (नैसर्गिक) संख्यांच्या अस्तित्वाचा

God gave us the integers, all else is the work of man
- Kronecker 

(मागील लेखावरून पुढे चालू)
मागे बरीच तात्विक चर्चा झाली. पण युद्ध आणि पीएच. डी. केल्याशिवाय त्याचा अर्थ कळत नाही, असा म्हणतात, कदाचित गणिताचेही तसेच आहे. गणित केल्याविना त्याचा अर्थ कळणे शक्य नाही. मी या लेखामध्ये "नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात असतात"  ( :-o ) हे सिद्ध करतोय. या साठी केवळ संच सिद्धांत आणि लॉजिक वापरतोय. शक्य तितक्या वाचकांना कळेलसा प्रुफ देण्याचा प्रयत्न आहे. या सिद्धातेमागिल विचार आणि तत्वज्ञान पूर्वीच्या लेखात सांगितले आहे आणि ते ध्यानात ठेऊन वाचले तर नक्कीच तुम्हाला वाचताना बोअर  होणार नाही, उलट "गणित कळल्याचा" आनंदच होईल, हे मी खात्रीने सांगतो! तर, हा आनंद उपभोगण्यासाठी मागील  लेखातील विचार हवे आणि मागील लेख नेमका कळण्यासाठी थोडे गणित हवे… रोजच्या आकडेमोडीसाठी ०,१,२,... अशा संख्या आपण वापरतो. त्यांचा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. या संख्या आपण वापरताना त्यांचं अस्तित्व आपल्यासाठी अगदीच स्पष्ट असतं. मात्र गणिती मात्र प्रश्न विचारतात की संच सिद्धांत नि तर्कशास्त्र वापरून अशी (संचीय+तर्कीय :P) सिस्टीम बनवता येईल का, की जीमधे नैसर्गिक संख्यांचे सर्व गुणधर्म असतील?
 लेखामध्ये अशील संचीय+तर्कीय सिस्टीम अस्तित्वात आहेत याची गणिती सिद्धता मी देतोय. याच सिस्टीमला नैसर्गिक संख्याचा संच म्हणतात.
चटपटीत भाषेत सांगायचं, तर "नैसर्गिक संख्यांच्या अस्तीत्वाची" गणिती सिद्धता मी देतोय.
तर करूयात सुरुवात… 

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी २ मिरच्या

(नैसर्गिक) संख्या म्हणजे नेमकं काय?

     गणिताच्या खेळाचे नियम पाळूत मुळापासून विचार करू. खेळाची पहिली अट आहे  की प्रत्येक संख्या संचांच्या भाषेत 

लिहिता आले पाहिजे आणि प्रत्येकाची संचीय व्याख्या असायला हवी. इथे पहिला प्रश्न उभा राहतो तो असा की १ म्हणजे नेमके काय? किंवा २ म्हणजे काय? किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणजे काय?

१=एक सफरचंद, २= दोन सफरचंद,…?

१ म्हणजे "एक सफरचंद" काय? पण तसे असेल तर "एक आंबा" ही संकल्पना दाखवण्यासाठी वेगळे चिह्न वापरले पाहिजे. शिवाय सफरचंद, आंबा ह्या संकल्पना संचाच्या भाषेत लिहिणे अशक्य आहे! त्यामुळे मुळ प्रश्न बाजूला ठेवून पहिला प्रश्न सोडवावा लागेल, तो म्हणजे नैसर्गिक संख्यांची योग्य अशी व्याख्या करणे. मग संख्या दिल्या की दोन संख्यांची बेरीज कायची म्हणजे नेमके काय करायचे हे ठरवणे. आणि मग आपले विधान सिद्ध करणे आले. चला तर मग, नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय हे संचांच्या राज्यामध्ये शोधूयात….!

                                                           १. नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या

नैसर्गिक संख्यांचा वापर मुळात मोजण्यासाठी होतो. त्यामुळे त्यांची व्याख्या देताना हा त्यांचा गुणधर्म लक्षात ठेवणे गरजेचे आहे. दुसरी बाब अशी की नैसर्गिक संख्यामध्ये क्रमवारीतेचा गुणधर्म (= वेल डिफ़ायिण्ड ऑर्डरिंग) असतो. म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्या दिल्या तर त्यामधील लहान कोणती, मोठी कोणती ते सांगता येते. शिवाय दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते†. खरेतर, साधे सुधे काउण्टिङ्ग करताना केवळ आणि केवळ नैसर्गिक संख्यांच्या मुलभुत गुणधार्माचाच वापर होतो. अजून एक सांगायची बाब अशी की नैसर्गिक संख्या म्हणजे {१, २, ३, … } असे आपल्याला सांगितलेले असते, मात्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ्यांनी {०, १, २, ३, … } यांना नैसर्गिक संख्या म्हटले होते, आणि आज गणितामधेही यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात. याची काही महत्वाची कारणे आहेत (जिज्ञासुंनी  मेल लिहून कळवा, उत्तर दिले जाईल). आपणही ० ला घेणार आहोत. तर पहिले ठरवू ० म्हणजे काय.  याचे उत्तर सोपे आहे. जर ० म्हणून मला संच वापरायचा असेल तर नक्कीच मी रिक्त संच (एम्प्टी सेट) वापरेन! म्हणजेच रिक्त संचास नेहमी आपण ∅ असे लिहितो, ते आज ० म्हणून लिहायचे. तर,

० := ∅ 

मग प्रश्न येतो तो १ म्हणजे काय असा. इथे थोडे डोके लावावे लागेल. कारण १ साठी पण एक संचच लिहिण्याचा मानस आहे. आणि मग सारे नैसर्गिक आकडे मी असेच संच म्हणून लिहित जाईन. त्यांची बेरीज म्हणजे या संचांचा योग संच घेणे (युनियन घेणे)  अस विचार आहे. पण तो कितीपत यशस्वी ठरेल हे माहिती नाही. आता १ साठी कोणता संच घ्यायचा ते ठरवायचं आहे. पण संच सिद्धांतामध्ये फक्त एकाच संच "देवाने" दिला आहे, तो म्हणजे रिक्त संच ∅! नवे संच बनवायला नवी सिम्बल घ्यावी लागतील आणि मग ती सिम्बल्स काय आहेत हे सांगण्यासाठी नवी गृहीतके घ्यावी लागतील. हे तर आपल्याला नको आहे. म्हणून मग, ∅ वापरूनच नवे सिम्बल बनवावे लागेल. ते कसे बनवायचे? एक युक्ती आहे, तिला म्हणतात सक्सेसर सेट. दिलेल्या संचाचा सक्सेसर सेट म्हणजे तो संच आणि त्यामधील सारे घटक असणारा संच.  उदा. अ चा सक्सेसर संच = अ ∪ {अ}. 

तसेच,

∅ चा सक्सेसर संच =  ∅ ∪ {∅} = {∅}

लक्षात घ्या की ∅ आणि {∅} वेगळे आहेत. ∅ रिक्त आहे आणि {∅} मध्ये एक घटक आहे, त्यामुळे तो रिक्त नाही.

उत्तम, आता हिच क्लुप्ती वापरून नवे संच बनवू, 

म्हणजेच रिक्त संच, रिक्त संचास इनक्लुड करणारा संच, रिक्त संच आणि या मागील संचास इनक्लुड करणारा संच, … इत्यादी.

आता हे लिहिणे सुटसुटीत व्हावे म्हणून त्यांना नावे देवूयात, 

∅ ला नाव दिलेच आहे, शुन्य. 

∅ चा सक्सेसर संच =  {∅}  याला एक म्हणू 

{∅}  चा सक्सेसर संच = {∅,  {∅} } याला दोन म्हणू, 

. 

. 

आणि असेच पुढे. 

थोडक्यात काय तर 

०  := ∅

१  := {∅} 

 २ := {∅,  {∅} } ={ ०, १}

३ := {∅,  {∅},  {∅,  {∅}}  } = {०, १, २}

.

.

.

आणि असेच पुढे.

     ही झाली ० ,१ , २ ची संचीय व्याख्या. नैसर्गिक संख्यांचा अतिमहत्वाचा एक गुणधर्म म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्यांची तुलना करता येते, म्हणजेच कोणती मोठी कोणती लहान हे सांगता येते. या सन्चीय व्याख्येमध्ये ही तुलना शक्य आहे का? तर होय! कसे? ते असे:

     न आणि म हे वरील प्रमाणे संच नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील दोन संच  (म्हणजेच दोन नैसर्गिक संख्याच ) घ्या. जर "न" हा "म" चा उपसंच असेल तर आपण न < म असे म्हणायचे . म्हणजेच "न" पुर्णपणे "म" च्या आत बसला असेल तर न हा म पेक्षा लहान आहे. ही व्याख्या फारच स्वाभाविक आहे. जसे पहा ∅ हा प्रत्येकच संचाचा उपसंच असतो, त्यामुळे ० = ∅ हा प्रत्येकच नैसर्गिक संख्येपेक्षा लहान ठरतो. तर १ = {∅} हा ∅ मध्ये नाहीये, त्यामुळे ० हा १ पेक्षा मोठा नाही. पण, १={∅} हा {∅,  {∅} } = २ चा उपसंच आहे. त्यामुळे  १ हा २ पेक्षा लहान होतो. त्यामुळे आपली व्याख्या बरीच योग्य आहे असे दिसते.

     आता वळू बेरजेकडे. संचाची युती म्हणजे बेरीज म्हणणे खूप स्वाभाविक वाटते, पण ते शक्य नाही. कारण ० ∪ १ = १ म्हणजेच ० + १ = १ किंवा ० ∪ २ = २ येते खरे, मात्र कोणत्याही संचाची त्याच्याच सोबत युती केली असता तोच संच परत मिळतो. त्यामुळे कोणतीही संख्या स्वतःमध्ये मिळवली असता आपल्याला तीच संख्या माघारी मिळेल! निसर्ग अशी बेरीज करत नाही! त्यामुळे दुसरे काहीतरी शोधणे भाग पडते.

२. संख्यांची बेरीज:

बरेच खटाटोप केल्यावर असे ध्यानात आले की,  सरळ सरळ बेरीज करणे शक्य नाही. सर्वच्या सर्व बेरजा देण्याऐवजी केवळ काही ठरावीक बेरजांची व्याख्या आपण करू नि मग त्यावरून इतर बेरजा करणे शक्य होईल. पहिली व्याख्या: शून्यासाठी नियम  ठरवायचा की ० +१ = १.  इतर संख्यांचे काय करायचे? आपण सक्सेसर वापरून संख्या बनवल्या आहेत. त्यामुळे ही बेरजेची व्याख्याही सक्सेसर वापरून करता आली तर गृहीतकं कमी होतील. एक छोटे निरीक्षण असे करता येईल की नित्याच्या आयुष्यात ०+१=१, १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असते. सक्सेसरची संकल्पना वापरून असे दिसेल की

१+१ := १ चा सक्सेसर संच = {० ,१} = २ . 

१+२ := २ चा सक्सेसर संच = ३

. 

.  

१+  न := न चा सक्सेसर = न+१

. 

. 

म्हणजेच कोणत्याही नैसर्गिक संख्येमध्ये १ मिळवायचा म्हणचे त्या संख्याशी निगडीत संचाचा सक्सेसर घ्यायचा. अरेरे, पण आत्ता खूपच जास्त (म्हणजे, खरेतर, अनंत) व्याख्या झाल्या! इतकी अझम्पशन्स बरी नाहीत. परंतु, नीट पहिले असता ध्यानात येईल की ह्या व्याख्या जरी अनंत दिसत असल्या तरी त्या एका ओळीमध्ये लिहिता येतात. त्या अशा की " शुन्येतर नैसर्गिक संख्या न साठी १+  न = न चा सक्सेसर". 

ही केवळ एकाच व्याख्या झाली! ही व्याख्या वापरून कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते, गुणकारही करता येतो! दोन संख्या  न आणि  म दिल्या असता त्यांची बेरीज  न + म = १+१+ … +१ (न वेळा) + म,  असे करून मग १+म  अशी बेरीज करता करता मूळ बेरीज काढता येईल. आणि न x म = न  वेळा म  ची बेरीज असे करता येईल.

     म्हणजेच महत्वाची आकडेमोड आपल्याला संच वापरून करता येतेय!

म्हणजे आपण सिद्ध केले की नैसर्गिक संख्या म्हणजे काही संचांचा बनलेला संच आहे, आणि क्रमवारीता, बेरीज, गुणाकार ही सर्व संचीय ऑपरेशनस आहेत! मातृभाषा इंग्रजीमध्ये ;) बोलायचे तर Set of natural numbers is a set which consists of some other sets. The operations: comparison, addition and multiplication of two natural numbers are also given by set theoretic operations.

३. तात्पर्य:

आता जर तुमचे डोके ठिकाणावर असेल तर, या सर्व द्राविडी प्राणायामाचे तात्पर्य  सांगतो. 

• पहिली बाब अशी की केवळ मुलभुत चिह्ने वापरून आपण  नैसर्गिक "संख्या" म्हणजे काय याचे उत्तर दिले.
• संख्या म्हणजे काय, हे ठरवल्यावर आपण लहान मोठी संख्या सांगू शकलो. 
• संख्यांचा बेरीज-गुणाकारही या मुलभुत स्वरुपात करता आला.
• इंग्रजी-मराठी भाषा, पेरू-आंबा ही फळे अशा बाबी न वापरता अतिशय रिगरसली पक्की थिअरी बनवता आली, केवळ संच आणि लॉजिक वापरल्याने, या थिअरीचा वापर यंत्रे करू शकतात (कारण यंत्रांना सेट आणि लॉजिकच कळते).
• गणित या शास्त्राची गृहीतके खूप कमी दिसत असली तरी निदान नित्याची आकडेमोड केवळ ही गृहीतके वापरून करता येते हे, सिद्ध झाले. त्यामुळे हे गणित नावाचे शास्त्र empty नाही हे सिद्ध होते ! :)

 ४. थोडीशी गंमत  

नैसर्गिक संख्या नावाची जी सिस्टीम एरवीच वापरली जाते, तिच्या अस्तीत्वासाठी जरा जास्तच गृहीतकं लागतात. म्हणजे की, प्रत्येक संख्या अस्तीत्वात असायलाच हवी (हे खरंतर खुप मोघम गृहीतक आहे. कारण संख्या अनंत आहेत नि कंटीनम हायपोथीसीस शिकलेल्यांना माहीतच असेल की अनंतची भानगड फार अंगाशी येणारी आहे!), शिवाय त्यांची बेरीज करताना १+१=२च हवे (१+१=० किंवा १ चालणार नाही). ही दोन गृहीतकंच या सिस्टीमच्या वापरावर मोठी बंधने आणतात (वापर म्हणजे कंप्युटींग किंवा संशोधनात इतरत्र). आपल्या रचनेमधे मात्र आपण अतिशय कमी गृहीतकं वापरली आहेत.

इथे सांगण्याची गंमत अशी की व्याख्येप्रमाणे १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असले तरी ३+४=७ हे इथे सिद्ध करावे लागते नि ते सिद्धही करता येते. कसे, तर

३+४ =(२+१)+४ =(१+१)+(१+४) =१+(१+५) =१+६=७ 

     अस्तु, रिगरस  गणिताची ही ओळख पुरे! अखेरीस सांगतो, गणित म्हणजे काय तर, दिलेला प्रश्न संच-लॉजिक-क्याटेगरी च्या भाषेत मांडणारे आणि त्याची उत्तरेही त्याच भाषेत शोधणारे  अन त्यासाठी नवनवीन कल्पना जन्माला घालणारे शास्त्र! कमीत कमी नियम वापरून  निसर्गाचा काटेकोरपणे अभ्यास करायचा प्रयत्न हा विषय करतो!

God gave us the integers, all else is the work of man

∆  ∆

हा लेख प्रूफरीड करायला भूषणने मदत केली. त्याबद्दल आभार :)

तळटीपा:

†नैसर्गिक संख्यांचे गणिताच्या दृष्टीने महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे  त्यांची क्रमवार मांडणी करता येते, कोणताही रिक्त नसणारा उपसंच घेतला तर त्यामध्ये एक सर्वात लहान संख्या असते (= प्रिन्सिपल ऑफ वेल ऑर्डरींग ) आणि त्या काउण्टेबल (ही तांत्रिक संज्ञा आहे) आहेत.

१ . Kronecker- हा एक प्रसिद्ध जर्मन गणिती आहे. त्याने लिनिअर अल्जेब्रास दिलेले क्रोनेकर डेल्टा चिह्न प्रसिद्ध आहे. त्याचे विकी पेज हे आहे.

२. वरील पद्धतीशिवाय कर्डिन्यालिटी अर्ग्युमेंट,  पियानोची गृहीतके वापरून केलेली व्याख्या या रचनाही नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात आहेत, हे सिद्ध करण्यासाठी वापरले जातात. मी पहिल्यांदा वाचलेली आणि अजूनही मला आवडणारी ही रचना आहे. शिवाय गणिताची बौद्धिक बैठक कमी असली तरीही ही सिद्धता देता येते. म्हणून लिहिली.