Friday, October 25, 2013

उजळणी "एक दोन तीन…" ची


मुलांच्या लहानपणी सर्वांच्या आयांना झालेला एक त्रास म्हणजे, मुलांना अंकालीपितून पाढे शिकवणे. 'बे चे पाढे' नावाचा महान प्रकार तर दूरची गोष्ट, पण एक-दोन-तीन शिकवतानाही माझ्या आईने मला आठवडाभर शिक्षा दिल्याचे मला आठवतेय. माझी गाडी एक दोन पासून सुरु होऊन ४८ पर्यंत मस्त यायची, पण ४८ नंतर थोडावेळ विचार करून मी पुन्हा "एक" म्हणायचो! आईने यासाठी मला शिक्षा म्हणून एकदा रात्रीचे जेवणही दिले नव्हते! माझ्या कित्येक भावंडांची आणि मित्रांची गत काही वेगळी नव्हती, असे आत्ता कळते. पण खरेच अठ्ठेचाळीस नंतर जर एक आला असता तर किती शिक्षा वाचल्या असत्या माझ्या!  हाच माझा बालपणीचा प्रश्न घेऊन या लेखामध्ये "मोजण्याच्या" वेगवेगळ्या पद्धतींवर मी बोलणार आहे.
या व्यतिरिक्त, डिजिटल इलेक्ट्रोनिक किंवा कम्प्युटिंग मध्ये १+१=० का, असा प्रश्न जर स्वतःला कधी विचारला असेल तर या लेखामधे त्याचे उत्तर आहे.
या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५पैकी ३ मिरच्या
पण जर ६चा पाढा येत असेल नि थोडा धीर असेल तर फार तिखट नाय!

धीराने वाचा

माझी आई माझा अभ्यास घेतानाचे एक सुंदर :/ चित्र

तथाकथित उच्च शिक्षण घेत असताना मला झालेले एक ज्ञान म्हणजे माझी ४८ नंतर १ म्हणण्याची चूक (?) आणि आठवड्याचे वार मोजणे या दोन प्रक्रियांचा जवळच्या संबंध आहे. वरवर पाहता या दोन्ही गोष्टी फारच दूरच्या आहेत म्हणा; पण हा संबंध काय ते पाहू.

 समजा मला दिवस मोजयचे आहेत, पण पहिला दिवस, दुसरा दिवस, तिसरा दिवस,… असे न मोजता वारांच्या भाषेत दिवस  मोजयाचेत. म्हणजे सोमवार, मंगळवार,…  असे. असे मोजत गेल्यास शेवटी येईल शनिवार नि रविवार; आणि पुढे? पुढे खरेतर काही नाही, असं म्हणाल. पण काळ तर थांबत नाही. पुन्हा सोमवार येतो. आणि मग पुन्हा तेच चक्र चालू असते. हे झालं आपणा सामान्यांचे लॉजिक. पण हेच जर गणिती भाषेत मांडलं, तर फार मोलाची कल्पना सापडते!

आपण सोमवारला सोमवार ऐवजी एक म्हणू, मंगळवारला दोन, … शनिवारला सहा आणि रवीवारला शुन्य (खरेतर रवीवारला  तुम्ही सात असाही म्हणू शकता, पण शुन्य म्हटले तर पुढील गणित थोडे सोपे होईल). आता मंगळावर नंतर दोन दिवसांनी कोणता वार येतो, तर मंगळवार +२= गुरुवार किंवा बुधवार नंतर तीन दिवसांनी कोणता वार येतो तर बुधवार+३ = शनिवार. जर मंगळवार  = २ आणि गुरुवार = ४ टाकले किंवा बुधवार=३ आणि शनिवार = ६ टाकले, तरीही या बेरजा नित्याच्या नियामांप्रमाणे होतात. म्हणजे मंगळवार +२= २+२= ४ =गुरुवार आणि बुधवार+३ = ३+३= ६ =शनिवार. जर वजाबाकी करायची असेल तर हे उदारण पहा: मंगळवार आधी कोणता वार? तर मंगळवार - १ = सोमवार या ठिकाणी ही मंगळवार = २ आणि सोमवार =१ टाकले तर मंगळवार - १ = २-१ =सोमवार. गणित बरोबर जुळते! वाह!

म्हणजे आपण वार घेऊन एक मोजण्याची पद्धती, म्हणजेच काऊंटींग सिस्टीम बनवलीये, असे दिसतेय. या सिस्टीम मध्ये सात आकडे आहेत ०, १, २,…६ असे. पण ही सिस्टीम परीपुर्ण दिसत नाही. कारण, ६+६ म्हणजे किती हे इथे सरळ सरळ दिसत नाहीये.  बेरीज जर ६ हून जास्त असेन किंवा वजाबाकी ० हून कमी तर वरील पद्धतीने मोजणे शक्य होत नाही. कारण ६ हून मोठा आकडा आपल्याकडे नाही आणि शुन्याहून लहान अंक नाही. कारण काय तर आपल्या सिस्टिमला ०,१, २,…, ६ इतकेच अंक माहित आहेत. यावर काय करावे? यावर एक नैसर्गिक उपाय पुढील प्रमाणे आहे: यावर्षी (२०१४) गणपती सोमवारी बसले. ह्यावर्षी अधिक महिनाही नाही, तर अनंत चतुर्दशी कोणत्या वारी येईल? थोडी आकडेमोड केल की लक्षात येईल, की ती बुधवारी असेन. वरील प्रमाणे वारांना आकडे दिले तर सोमवारनंतर दहा दिवसांनी कोणता वार येईल, असा प्रश्न ईथे होता. म्हणजे आपल्या सिस्टीमच्या भाषेत १+ १० बरोबर किती असा प्रश्न होता आणि उत्तर आले सोमवार+ १० = १+१०= ३ = बुधवार. अशीच इतर उदाहरणे म्हणजे मंगळवारानंतर पाच दिवसांनी कोणता दिवस येईल, तर रविवार. म्हणजे २+५=०. मंगळवारनंतर सहा दिवसांनी कोणता दिवस येईल तर सोमवार म्हणजेच २+६=१. या सर्व बॆरजा केल्या, तर खालील तक्ता बनवता येईल:
बेरजेचा तक्ता
हा तक्ता पाहिले की लक्षात येते की केवळ ०,१,…,६ हेच आकडे वापरून आपण बेरीज केली आहे. 'बेरीज' या गणिती प्रक्रीयेचे स्वतःचे काही महत्वाचे नियम आहेत. हे महत्वाचे नियम म्हणजे,
१. अ +० = ० + अ =अ 
 २. अ+(ब+क)=(अ+ब)+क 
हे होत. तुम्ही तपासले तर लक्षात येईल की हे दोन्ही नियम या सिस्टीममध्ये पाळले जातात. 

पण इथे बेरीज नेमकी करायची कशी? त्याचे एखादे सूत्र आहे का? होय! बेरीज करण्याचा एक नियम आहे. तो म्हणजे:


 विधान१: बेरीज करण्याचा सोपा उपाय म्हणजे संख्यांची बेरीज करायची आणि ती साताहून मोठी असेल तर सातने भाग लावून केवळ बाकी घ्यायची.

आता ऋणत्वाची संकल्पना या सिस्टीममध्ये आहे का हे पाहू. एखाद्या संख्येची ऋण संख्या म्हणजे काय ते पाहू. समजा "क्ष" ही पूर्णांक सख्या असेल तर या संख्येची ऋण किंमत म्हणजे अशी संख्या की जी क्ष मध्ये मिळवली असता उत्तर शुन्य येते. तिला आपण -क्ष म्हणतो.उदाहरणार्थ १+ (-१) = ० इ. आपल्या वरील सिस्टीम मध्ये शुन्य आहेच. एक मजा आधीच सांगतो, की इथे संख्यांना ऋण केले की भरपूर मजा येणारेय! उदाहरणार्थ -१ शोधु. वर म्हटल्याप्रमाणे -१ ही अशी संख्या असेल की -१+१ = १+(-१) = ० येईल. वरील कोष्टक पहा. एकात सहा मिळवले किंवा सहात एक मिळवला की उत्तर शुन्य येते. त्यामुळे या सिस्टीम मध्ये -१=६ होतात! असाच शोध घेतला की कळेल,
 -०=०  -१=६ -२=५  -३=४  -४=३  -५=२  -६=१
   भारी की नाय? आता -(-क्ष) = क्ष, हा नियम आपल्याला माहितीच आहे. या सिस्टीम मधेही हा नियम पाळला जातो. जसे वरील उदाहरणात -(-१) = -६=१.

    शोध घेण्याजोगी एक बाब म्हणजे सिस्टीम मध्ये वाजाबाकी करत येते का? चला शोध घेऊ.
पहिल्या परिच्छेदात काही वजाबाक्या केल्या आहेत. इन जनरल वजाबाकी कशी करायची, हे पाहू.
"वजाबाकी " असे स्पेशल ऑपरेशन खरेतर गणितामध्ये नाही. गणितामध्ये १-२ म्हणजे काय, तर १+ (-२) होय. त्यामुळे जर ऋण संख्या सिस्टीम मध्ये असेल तर वजाबाकी होते. थोडक्यात काय तर दोन संख्यांची वजाबाकी म्हणजे एकीमध्ये दुसरीची ऋण किंमत मिळवणे होय! आपल्याकडे सर्वांच्या ऋण किमती आहेत नि बेरीजही आहे. त्यामुळे आपल्या सिस्टीममध्ये वजाबाकी ही करता येते! जसे १-२ = १+ (-२) = १+ ५ = ६ किंवा सोमवारच्या दोन दिवस आधी कोणता वार येतो तर शनिवार! सेम सेम उत्तरे! बेरीज वजाबाकीसाठी आपली सिस्टीम दणकट आहे!

या सिस्टीम मध्ये गुणाकारही करता येतो. कारण धनपूर्णांक संख्यांमध्ये गुणाकार बेरजेच्या भाषेत लिहिता येतो. कसा तर:
२ X ४ := २+ २+ २+२ =४ +४  
अथवा
अ गुणिले ब := अ+अ+ … "ब" वेळा = ब++ … "अ" वेळा


   हिच युक्ती आपण आपल्या गुणाकारासाठी वापरु शकतो. आपल्या सिस्टीममध्ये ऋण चिह्नाला फारशी किंमत नसल्याने वरील सूत्रे थेट गुणाकारासाठी वापरता येतात. आपल्या सिस्टीममध्ये गुणाकाराची अजून एक सोपी पद्धत म्हणजे, विधान १ मध्ये दिल्याप्रमाणे संख्यांचा गुणाकार करायचा आणि मग सातने भाग लावून बाकी उचलयची. या दोन्ही पद्धती सारख्याच आहेत.
गुणाकाराचा तक्ता
   आता राहिला प्रश्न भागाकाराचा. इथे कोणत्याही दोन संख्यांचा भागाकार करता येतो का?
मी थेट उत्तर देणार नाही पण काही हिंट देतो. जसे आपण बेरजेचे केले, तसे आता १ हा आकडा वापरून आधी भागाकार म्हणजे काय, ते गुणाकाराच्या भाषेत ठरावा आणि मग २ ला ३ने भाग लागतोय का ते पहा :)

   सारांश  असा की {०,१,२,३,४,५,६} या संचावर आपण नित्याच्या बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार या क्रिया थोडाफार बदल करून वापरल्या आणि बे-व-गु या सर्व क्रिया नि त्यांचे महत्वाचे गुणधर्म§ पळणारी नवी सिस्टीम तयार होते. चाणाक्ष वाचकांच्या लक्षात आलेच असेल की इथे सात हा आकडा महत्वाचा नाही. {०,१,…,क्ष} असा कोणताही पूर्णांक संख्यांचा संच घेतला तरी ही सूत्रे चालतील.

याचा वापर कुठे होतो?
   इन्फोसिस, कोग्निझण्ट अशा कंपन्या किंवा स्पर्धा परीक्षांचा अभ्यास करताना बुद्धिमत्ता चाचणी केलेल्यांना लक्षात आले असेल कि दिवस-वार यांची गणिते सोडवण्याची जी पद्धत आहे, तिच्याच वर मी बोललोय! फक्त आकडे वापरलेत. या चर्चेत "आठवडा" ही संकल्पना महत्वाची नाही. समजा प्रत्येक महिन्यात ३० दिवस असतात. नि आज १ जानेवारी असेल, तर आज पासून ५००व्या दिवशी कोणती तारीख येईल? हे सोडवायला तुम्ही ५०० ला ३० ने भागल नि आलेल्या बाकीला तारीख म्हणाल. मीही तसेच केलेय. महिन्याच्या उदाहरणात {०,१,२,…,२९} ह्या संचासाठी वरच्याप्रमाणे तक्ता बनवता येईल. आणि ही सिस्टीमही बेरीज-गुणाकार-वजाबाकी करण्यासाठी समर्थ असेल. 
{०,१,…,} हा संच आणि बे-गु-व  करणाऱ्या या सिस्टिमला गणितामध्ये "finite cyclic ring of order अ" म्हणतात. 

तिच्यासाठी Z/अZ हे चिह्न वापरतात*. आपण ring साठी अंगठी शब्द वापरू. तर तर ही अ संख्यांची सांत= स+अंत (finite) चक्रीय अंगठी आहे.

जर गुणाकार काढला, संच आणि बे-व करणाऱ्या या सिस्टिमला गणितामध्ये "finite cyclic group of order अ" म्हणतात,

नि Z/अZ याच चिह्नाने दर्शवतात. आपण group साठी संघ शब्द वापरू.

   यांचा वापर केवळ बुद्धिमत्ता चाचणीसाठी होतो? खासच नाही! मुलभुत गणितामध्ये अतिशय महत्वाच्या अशा ह्या संकल्पना आहे. संख्याशास्त्रामध्ये पूर्णांकासाठी जर एखादा प्रश्न सोडवायचा असेल तर ताळा म्हणून आधी तो प्रश्न या सांत चक्रीय सिस्टिम्स मध्ये सोडवून पाहतात. पूर्णांकांमध्ये अनंत संख्या असल्याने मोजणी करणे अवघड असते. इथे मात्र सांत संख्याच असतात. त्यामुळे आकडेमोड सोपी पडते.
कम्प्युटिंग मधील {०,१} हा संच घ्या. १ म्हणजे फुल सिग्नल नि ० म्हणजे शुन्य सिग्नल. इथे ०+०=०, १+०=०+१=१ असते पण १+१=० का? हा प्रश्न जर स्वतःला कधी विचारला असेल तर या लेखात त्याचे उत्तर आहे. कारण {०,१} या संचाला गणितीय दृष्ट्या इथे finite cyclic group of order २ म्हणजेच Z/२Z म्हणून पाहतात नि सिग्नल प्रोसेसिंग करतात. त्यामुळे एरवी १+१=२ पण Z/२Z मध्ये २=० होतो!

    ज्या नॉन-एम्प्टी सिस्टीम्समध्ये बेरीज व वजाबाकी करता येते तिला गणितामध्ये ग्रुप=संघ म्हणतात. उदाहरणार्थ पुर्णान्कांचा संच हा बे-व अव्हेलेबल असल्याने केवळ संच नाही तर एक ग्रुप आहे. सुसम बहुभूजाकृतींच्या सममिती (symmetries of regular n-gon, उदा- त्रिकोण, चौरस, सुसम पंचकोन) या ग्रुप बनवतात आणि जर त्या बहुभूजाकृतीस "अ" बाजू असतील तर Z/अZ हा तिच्या काही सिमेट्री देतो. शेवटाकडे जाण्यापूर्वी, खास गणिताच्या विद्यार्थ्यांसाठी एक अतिशय महत्वाचा सिद्धांत सांगतो. सांत नि आबेलचा गुणधर्म पाळणाऱ्या संघांच्या वर्गीकाराणाचा सिद्धांत (Structure theorem for finite abelian groups) सांगतो की 

कोणताही आबेलिअन सांत संघ हा Z/अZ किंवा Z/अZ यांची डिरेक्ट सम असतो.

   …तर अशी आहे ४८ नंतर १ येण्याची कहाणी. आजकाल माझ्या छोट्या भाच्या-पुतण्यांच्या अभ्यास घेते आई. आणि तो दहा नंतर विचार करून पुन्हा "एक" म्हणतो तेव्हा त्याला ती ओरडण्यापुर्वीचा मी म्हणतो, "अगं, काय विद्वान आहे हा… आत्ताच Z/११Z मध्ये मोजदाद करतोय!"††.
∆   ∆

 या लेखातील सर्व चित्रे ©रोहित दिलीप होळकर

† Z = { …,-३, -२, -१, ०, १, २, ३,…} या संचास पुर्णान्कांचा संच असे म्हणतात.
   N = {०, १, २, ३,…}  या संचास नैसर्गिक संख्यान्चा संच असे म्हणतात
§ महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे या पानावारील Definition and illustration विभागातील ३. व्यतिरीक्त इतर सर्व गुणधर्म
* इथे "/" हे चिह्न वापरण्यामागे विधान १ मधील भागाकार कारणीभूत आहे.
† † माझे सर, फर्ग्युसनच्या गणित विभागाचे सध्याचे प्रमुख, एक अतिशय विद्वान गणित प्राध्यापक नि एक माजी गणिती डॉ. वि. वि. आचार्य यांनी finite cyclic group चे रोजच्या जीवनातील एक उदाहरण म्हणून मला आठवड्याच्या वारांची गणती सांगितली होती. तीच मेन थीम करून मी हे लिहिलंय. शिवाय शेवटचा तळटीप दिलेला किस्सा हा माझ्यासोबत नाही पण आचार्य सरांसोबत घडलेला खरोखरीचा किस्सा आहे! बाकी १-४८ ही माझी खरीखुरी कथा आहे!