"फलन" शब्दाची व्युत्पत्ती- एक भाषिक नि इतिहासविषयक टिप्पणी

शालेय पुस्ककांत Function या इंग्रजी शब्दासाठी मराठीमधे "फलन" असा प्रतिशब्द वापरलेला मला आठवतो. मराठी-हिन्दी विकीपीडीयावरही हाच शब्द वापरला जातो. अगदी मराठी विश्वकोश (या शब्दांवर टीचकी मारली की ते पान उघडेल) सुद्धा हाच प्रतिशब्द दिला आहे. मला नि माझ्या बर्याच मित्रांना प्रश्न पडला होता, की "फलन" हा शब्द का बापरला गेला असावा. कारण एकपदी^† (monomial), द्विपदी (binomial), बहुपदी (polynomial), चल (variable), उकल (solution), चौकोन (quadrilateral) असे अनेक पारंपारीक तांत्रिक शब्द एकतर "सेल्फ एक्लप्लनेटरी" आहेत. किंवा नैसर्गिक संख्या, वास्तव संख्या यांसारखे शब्द हे इंग्रजी शब्दांचे थेट थेट प्रतिशब्द आहे, हे कळते. फलन ही गणितातील मध्यावर्ती संकल्पना आहे. मात्र "फलन" हा शब्द वरीलपैकी एकाही गटात बसत नाही. काही काळ, माझ्या लिखाणांमधे नि चर्चांमधे फलन ऐवजी मी "जोडणी" असा शब्द वापरायचो. त्यामुळे one-to-on function ला एकास-एक-जोडणी, onto-function ला "(कोडोमेनला पूर्णपणे) झाकणारी जोडणी" अशा उत्तम रचना जमल्या होत्या. मात्र काही काळापूर्वी आर्यभटीयमधील एक श्लोक नि The rule of three वरील थोडे लिखाण वाचनात आले, नि "फलन"ची व्युत्पत्ती काय असू शकते, ते लक्षात आले. 

गणितामधे संज्ञा बनवताना त्या सेल्फ एक्लप्लनेटरी नि योग्य असतील याची फार काळजी घेतली जाते. मात्र कित्येकदा असं होतं, की एखाद्या मोठ्या गणित्याला दिसताना काहीती वेगळंच दिसतं नि तो तशी संज्ञा देऊन जातो. कालांतराने ती थिअरी इतकी वाढते की त्या संज्ञांचा नि या विषयाचा काही संबंध नाही असे वाटू लागते. मात्र, मूळ उदाहरणासोबत प्रामाणिक राहण्यसाठी नि त्या महान गणित्यांचा आदर करण्यसाठी म्हणून, अशा संज्ञा जशाच्या तशा वापरल्या जातात. याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे group, ring, field या संज्ञा होय (यांचे मूळ शोधून पहा बरं! हिल्बर्ट प्रभृती विद्वांनाकडे ते जाते!).

मला वाटते, फलन या संज्ञेचेही असेच झाले असावे. या संज्ञेची मला सुचलेली नि पटलेली  एक व्युत्पत्ती खाली देतोय.  फंक्शन्सची थिअरी आता इतकी वाढली आहे, की group, ring, field या संज्ञांसारखीच "फलन"ची ही गत झाली आहे!

या लेखातील गणिताची तीव्रता- ५पैकी १ मिरची
हा लेख वाचण्यासाठी फलनाची (function) व्याख्या(इथे टिचकी मारा) नि साधा गुणाकार-भागाकार आला की झाले!

सुरवात आपण काही साध्या सोप्या उदाहरणांनी नि त्यांच्या करू (याहून अधिक गणित या लेखात नाहीये!).
उदाहरण अ: जर एका माणसाला दिवसाचा पगार २०० असेल तर चार माणसांचा दिवसाचा पगार किती?
सोपं आहे ना सोडवणं-- ८००.
उदाहरण ब: दोन प्रोग्रॅमर मिळून दिवसभार एक कम्प्युटर प्रोग्रॅम लिहीत असतील तर आठ प्रोग्रॅमर मिळून दिवसात किती प्रोग्रॅम लिहीतील?
उघड आहे, ४.
उदाहरण क: मी जर दिड महीन्यात ब्लॉगसाठी एक लेख लिहीत असेन, तर एका वर्षात मी किती लेख लिहीतो?
उत्तर अाहे आठ.

ही उदाहरणे आपण कशी सोडवतो? अनुक्रमे पाहू.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष.

तर, क्ष = ४× २०० = ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम.

तर क्ष = ८/२=४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख.

तर क्ष= १२/१.५ = ८

इथे काही उदाहरणात गुणाकार केलाय, तर काहींमधे भागाकार. पण हे सर्व प्रश्न सोडवण्यासाठी एक साधी पद्धत आहे. शाळेतील गणिताचे तास आठवत असतील, तर तुम्ही हे नक्कीच ऐकले असेल,

जर अ साठी य असेल, तर ब साठी काय?

अ → य

ब → ?

"फुटके नळ, गळके हौद, काम-काळ" यांची गणिते सोडवण्या मागे हा मूळ प्रश्न असायचा. भारतीय गणितावाङ्मयामधे या प्रश्नास "त्रैराशिक" असं म्हटलं आहे. पहीले आणि दुसरे आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, श्रीधर, महावीर, दुसरे भास्कर या सर्वांनीच त्रैराशिकावर काम केले आहे. वरील प्रश्नात जर ब साठी क्ष असे मानले तर पहील्या आर्यभटांनी वापरलेल्या संज्ञा-- नॉमेनक्लेचर असे,

अ - प्रमाण,    य-( प्रमाणासाठीचे) फल

ब- इच्छा,    क्ष- (इच्छेसाठीचे) फल

आर्यभटीय मधे श्लोक २६ मधे पहीले आर्यभट त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत अशी सांगतात (संदर्भ२):

त्रैराशिकफलराशिं तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा।

लब्धं पमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिं स्यात्।। 

अर्थ- फल आणि इच्छा यांचा गुणाकार करावा नि त्याला प्रमाणाने भागावे. (मिळणारा) भागाकार हा इच्छेसाठीचे फल मिळते.

म्हणजेच  

क्ष = (ब × य)/ अ

वरील आकड्यांचा तक्ता बनवला, तर,

 अ      य

 ब       क्ष

तक्ता १

आर्यभट सांगतात की ब नि य चा तिरकस गुणाकार करून त्याला अ ने भागायचे! पण हे तर आपणा सर्वांनाच माहीत असते, की तिरकस गुणाकार करून भागायचे! पाश्चिमात्यांनी या सूत्राला The rule of three, The golden rule असं म्हटलं. अरबी गणित्यांनी हे सूत्र भारतामधून युरोपात नेले (संदर्भ१).

लेखाच्या आरंभीच्या सर्व उदाहरणांत, कळत न कळतच का होइना हेच सूत्र वापरले आहे.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष

 क्ष = (४× २००)/१ = ४× २००= ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम

क्ष =  (८× १ )/२= ८/२= ४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख

क्ष = (१२×१)/१.५ = १२/१.५ = ८

आपल्या मूळ प्रश्नाकडे वळू:  फंक्शनला फलन हा शब्द कसा सुचवला गेला असावा. तर मला असे वाटते की: त्रैराशिकाप्रमाणचे, बहुराशिकेही बनवली गेली म्हणजेच the rule of five, the rule of seven,... the rule of odds इत्यादी. सर्व गणित्यांनी या सर्व बहुराशिकांसाठी पहील्या आर्यभटांच्याच संज्ञा वापरल्या. म्हणजे वरील तक्यांमधे डावीकडील शेवटी संख्या सोडून इतरांना प्रमाण असं नि शेवटच्या संख्येस इच्छा असं संबोधलं गेलं. उजवीकडील संज्ञांना फल असे म्हटले गेले. थोडा विचार केलात ते दिसेल की मूळात त्रैराशिक हे एक अतिशय सोपे फंक्शन आहे,

अ → य

ब  → क्ष

फंक्शन स्वरूपात त्रैराशिक

या फंक्शनचा डोमेन {अ, ब} नि कोडेमेन {य, क्ष} आहे.

मला वाटते की फंक्शनची संकल्पना न्यूटन प्रभृतींनी जेव्हा मांडली नि ती आपल्याकडे आली तेव्हा हे त्रैराशिकाचे उदाहरण डोळ्यासमोर ठेउन तात्कालीन गणिताभ्यसकांनी,

 प्रमाणांच्या फलांसोबत जोड्या लावून देण्याची प्रक्रीया म्हणजे फलन,

 असा विचार करून फंक्शनला फलन असा प्रतिशब्द सुचवला असावा. त्रैराशिकांना फंक्शन म्हणून घेणे अतिशय स्वाभाविक आहे.

केवळ आपल्या पाठ्यपुस्कतच नाही, तर आकडेमोडीच्या सर्वच गणितीशाखांमधे त्रैराशिकाचे अनन्यसाधारण महत्व होते. दुसर्या भास्कराचार्यांनी सिद्धांतशिरोमणीमधे म्हटले आहे (संदर्भ१, पान २२०) "गणितामधील वर्ग नि वर्गमूळ, घन नि घनमूळ सोडले तर सर्व प्रक्रीयांचे मूळ त्रैराशिकच आहेत" . त्रैराशिकाचा नियम सर्व गणित्यांनी फार मूलभूत मानला होता, नि त्यामुळे तो अभ्यासकांमधे प्रसिद्ध असणे स्वाभाविक आहे. शिवाय त्रैराशीकासंबधीच्या वरील संज्ञाच सर्वांनी वापरलया आहेत.  त्यामुळे या संज्ञा अभ्यासकांना माहीत असणे नि त्यापासून फलन शब्दाची व्युत्पत्ती होणे स्वाभाविक आहे.

या लेखामधे त्रैराशिक सोडवण्यसाठी तक्ता बनवण्याची जी पद्धत मी वापरली आहे, त्यामुळे त्रैराशिकास फंक्शन म्हणून पाहणे सोपे झाले आहे. असा तक्ता बनवून त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत पारंपारीक आहे. मी ती शोधलेली नाही. फक्त, पारंपारीक तक्त्यामधील ओळी (row) आणि स्तंभाची (column) मी आदलाबदल केली आहे. ही पद्धत पारंपारीक असल्याने, त्रैराशिकाला फलन म्हणून विद्वानांनी घेतले असण्याची शक्यता अधिकच आहे.

वाचकांपैकी कुणास अधिक माहीती असल्यास, खाली प्रतिक्रीया लिहून, अधिक प्रकाश टाकावा.

संदर्भ:
१. बिभूतीभूषण दत्त आणि अवदेश नारायण सिंग,
History of Hindu Mathematics (A source book) Part- I & II,
 धडा २ रा विभाग १२.
Asia Publishing House, 1935, 1938.

२. आर्यभट्ट आणि टीकाकार परमादीश्वर,
The Aryabhatiya, a manual of astronomy, with the Commentary of Bhatadipika of Parameadiçvara,
विभाग- गणितपाद:, पान क्र. ४२, मूळश्लोक २६,
माझ्याकडील आवृत्तीमधे प्रकाशक दिसत नाहीत, मात्र University Of California LA च्या ग्रंथालयातील प्रत आहे.

एक उदाहरण:
The rule of three चा आणि हौद-नळांच्या गणितांचा काय संबंध, तर अतिशय साधे उदाहरण खालीलप्रमाणे:
जर एक नळ २ तासात ३ बादल्या भरत असेल तर ९० बादल्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?
सोप्या भाषेत,

३ला २; तर ९० ला किती?

तो वेळ क्ष मानू. तर आपले गणित होईल

३ → २

९०  → क्ष

आणि क्ष= (२x९०)/३=६० तास.
वराहमिहीरांनी खगोलशास्रांतील आकडेमोडींसाठीही हे सूत्र वापरून त्याचा जयकयकार केला होता. घरचा अभ्यास म्हणून शाळेतील पुस्तक शोधा आणि कुठे कुठे हे सूत्र वापरता येते ते पहा. गणिताचार्यांनी या सूत्रास इतके महत्व दिले किंवा पश्चिमेकडे याला The golden rule का म्हटले गेले हे तुम्हाला दिसेलच.

तळटीपा:

†एकपदी (monोmial), द्विपदी (binomial), बहुपदी(polynomial) - इथे "पद" या शब्दाचा अर्थ अवयव किंवा appendage असा आहे. त्यामुळे एक अवयव असणारी ती एकपदी इत्यादी. या शब्दांसाठीच्या इंग्रजी शब्दांचीही अशीच फोड होते. मात्र प्रस्तुत मराठी शब्द हे मूळ संस्कृत शब्द आहेत. आणि इंग्रजी शब्दांपेक्षा जास्त जुने आहेत. ते इंग्रजी शब्दांचे भाषांतर नाहीत, तर मूळ शब्द आहेत.
चल (variable)-चल म्हणजे अर्थाप्रमाणे हलणारी, अस्थीर असे. Vairable साठी हा शब्द चपखल बसतो.
उकल (solution), चौकोन हे ही सरळ सरळ त्यांच्या अर्थावरून घेतले आहेत.

∆  ∆

रेषीय फलने

नमस्कार,
बर्याच काळानंतर ताजा लेख घेऊन पुन्हा हजर आहे! मागे व्हेक्टर स्पेसेस वरचा लेख लिहीला नि लिनीअर ट्रान्स्फॉर्मेशनस् चा हा लेख लिहीण्यासही सुरूवात केली. व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास लिनीअर ट्रान्सफॉर्मेशनस् नि मॅट्रीक्स् च्या अभ्यासाशिवाय पूर्ण होत नाही. प्रस्तुत लेखात लिनीअर मॅप म्हणजे काय हे सांगीतले आहे, नि लिनीअर मॅपस् ची काही अतिशय सोपी उदाहरणे दिली आहेत. आपल्या लेखमालिकेमधे आत्तापर्यांत मी फंक्शनस् ची= फलनांची व्याख्या दिली नव्हती. त्यामुळे या लेखामधे खरं तर फंक्शनस् नि लिनीअर फंक्शनस् या दोन संकल्पनांवर चर्चा केलेली आहे. बरीच उदाहरणे दिली आहेत, जेणेकरून वाचकांना या संकल्पना "पाहता" येतील. शिवाय बरीच चित्रेही काढली आहेत.
फार विचार करायची इच्छा नसेल  किंवा गणिताशी फारसा संबंध नसल्यास तर हा लेख वाचण्याच्या फंदात तुर्तास पडू नका. हा लेख बराच तांत्रिक आहे! :)

एक विनंती अशी, गणिती वाचकांना हा लेख एका बैठकीत वाचण्यायोग्य नाही, असे वाटले तर खाली तशी प्रतिक्रीया जरूर लिहा. मग याचे दोन भाग करीन.

हा लेख मी नि अभिजीत बेंद्रे (अभिजीतचे G+) ने मिळून लिहीलाय. माझे थिसीस लिखाण चालू असताना, मी लिहीलेल्या पहील्या प्रतीवरून त्याने हात फिरवला नि ती वाचेबल केली. प्रद्युम्नने काही महत्वाचे टंकणदोष दाखवले, याबद्दल धन्यवाद!

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा- ५ पैकी ५ मिरच्या!
जरा खबरदारीनेच वाचा. बराच तांत्रिक लेख आहे. सहज म्हणून वाचायचा असेल, तर थेट सोडून द्या, असा माझा सल्ला असेल!

फलने (Functions)

प्रथमतः फलन म्हणजे काय ते पाहू. फलन  म्हणजे इंग्रजीत function.

 असं समजा, की  “A” आणि “B” हे संच आहेत, तर A वरून B मध्ये जाणारे फलन  “f”, म्हणजे A मधील प्रत्येक घटकास B  मधला एका आणि एकाच घटकासोबत जोडी लावून द्यायची प्रक्रीया होय.

म्हणजेच“A” मधील प्रत्येक घटकास "B" मधे एक तरी जोड हवा नि तो जोड युनिक- एक आणि एकच हवा!

म्हणजे काय, तर A च्या घटकांच्या, B च्या घटकांसोबत जोड्या लावायच्या. नि त्या लावताना दोन नियम पाळायचे, एक तर हा की Aच्या प्रत्येक घटकाला Bमधे जोड मिळालाच पाहीजे नि दुसरा म्हणजे एका घटकाला एकाहून जास्त जोड द्यायचे नाहीत! लग्न ही प्रक्रीया फंक्शन म्हणून पहणे शक्य आहे. ती आजच्या पद्धतीप्रमाणे थोडी 'इम्प्रॅक्टीकल' होते, पण तरीही हे उदाहरण पहा-
 Aमधे जर विवाहेच्छूक अविववाहीत तरूण ठेवा नि B मधे विवाहेच्छूक अविवाहीत तरूणी. तर वरील व्याख्येतील पहिल्या अटीप्रमाणे सर्वच तरूणांना जोड मिळायला हवी नि नियम दोन म्हणतो की एका तरूणास एकाहून अधिक मुलींसोबत लग्न करता येणार नाही. जर पांडवांनी एकच लग्न केले असे मानले, तर (ते काही खरे नाही, मात्र उदाहरणाखातर तसे मानू!) B मधे द्रौपदीला स्थान आहे. म्हणजेच, B मधल्या एका घटकास A मधील एकाहून अधीक जोड मिळू शकतात. उलटपक्षी, B मधल्या एखादा घटक जोडीशिवायही राहू शकतो, उदाहरणार्थ एखादी अविवाहीत स्त्री.

लिहीताना आपण f: A → B असे लिहीतो. म्हणजे,  f हे A वरुन B वर जाणारे फलन,  म्हणजे इंग्रजीत फंक्शन, आहे.

उदाहरण १:  (समजायला सोपे जावे म्हणून ;-) ) "पैश्यांचे" उदाहरण घेऊ.

समजा, H हा जगातील माणसांचा संच आहे आणि R हा वास्तव संख्यांचा संच आहे, आपण H वरुन R मधे जाणारे “रुपये” नामक फलन बनवू . हे रुपयांचे फलन ₹ ने दर्शवू. उपरोधृत पद्धतीप्रमाणे, ₹ हे H वरुन R वर जाणारे फलन आहे, म्हणजेच, 

 ₹: H → R.

₹ काय करते, तर ते  माणसांचा संच असणार्या H मधील, एखाद्या माणसाकडे किती पैसे आहेत, हे सांगते. अमिताभ बच्चन हा H मधला माणूस घेतला, तर 

₹(अमिताभ बच्चन)= अमिताभ बच्चन कडील पैशांचा आकडा (तो नक्कीच शून्येतर आहे!).

 झिंगा-लाला-झिंग हा अमेझॉनच्या खोर्यातील, इतर जगासोबत संबंध नसलेला आदिवासी असेल, तर झिंगा-लाला-झिंगकडे काहीच पैसे असणार नाहीत, त्यामुळे

₹(झिंगा-लाला-झिंग)= ०.

एखाद्याकडे कर्ज असेल तर त्याला ऋण संख्या मिळेल, इ.इ.

उदाहरण २: फलनाचे गणिती उदाहरण घ्यायचे झाले तर f: R →R असे घ्यायचे की f हे  कोणत्याही वास्तव संख्येला तिचा वर्ग असणार्या संख्येकडे पाठवते, म्हणजेच 

f(x)= x^२.

हे फलन २ ला ४ वर पाठवेन, १.५ ला २.२५ वर , π ला π^२ वर इत्यादी. लिहीताना हे f(२)=४, f(१.५)= २.२५ व f(π)=π ^२ असे लिहीले जाते. 

उदाहरण ३: अजून एखादे उदाहरण म्हणजे h: Z → N, 

जर x ऋण संख्या असेल तर, h(x) = -x, 

जर x ऋणेतर (शून्य किंवा धन ) संख्या असेल तर h(x)= x.

या उदाहणामधे एकच सूत्र वापरून h ची व्याख्या दिलेली नाही, तर ती दोन वेगळ्या सूत्रांनी दिलेली आहे. मात्र फंक्शनच्या व्याख्येप्रमाणे Z मधील प्रत्येक घटकास N मधील एक नि एकच घटक नियुक्त केला आहे.  हे फंक्शन काय करते तर, सर्व संख्याना त्यांचे केवल मूल्य (absolute value) नियुक्त करते. थोड्या बाष्कळ भाषेत सांगायचं तर ते प्रत्येक पुर्णांकास त्याच्याशी संबंधीत ऋणेतर नैसर्गिक संख्येवर पाठवते. जसे की 

h(३)= ३,   h(०)=०,    h(-३४५२३)=३४५२३.

उदाहरण ४: एक अखेरचे उदाहरण म्हणजे, g: Z→ Z, 

g(x)= २+x 

हे फलन कोणत्याही संख्येत २ मिळवते. जसे की g(८०५)= २+८०५=८०७, g(-२३)=२+(-२३)=  २१, g(०)= २+० =२ असे.

उदाहरण ५: एक खास उदाहरण: वरील उदाहरणे तुम्ही कदाचित तुमच्या पाठ्यपुस्तकांतही पाहीली असतील. फलनाचे जास्त चांगले शास्त्रीय उदाहरण कोणते? भौतिकशास्त्रात गतीचा अभ्यास करतात. समजा एखादा कण त्रिमीत अवकाशात फिरतोय, उदाहरणार्थ, एखादा परागकण हवेत तरंगतोय. एखाद्या बिंदूस त्रिमीत अवकाशाचा मूलबिंदू= ओरीजीन ऑफ रेफरन्स फ्रेम ठरवा नि या मूलबिदूंपासून तीन अक्ष काढा, आपण भुमितीमधे नेहमी करतो तसे. त्यामुळे अवकाशातील प्रत्येक बिंदू (x, y, z) अशा तीन वास्तव संख्या वापरून दाखवता येइल.

परागकणाचे विस्थापन, मुलबिंदूपासूनचे अंतर नि विस्थापनाची दिशा

 परागकणाचे t या वेळीचे विस्थापन= displacement मोजूयात. आपणास माहीतच आहे की विस्थापन ही सदीश राशी आहे, म्हणजे तिला दिशा=डिरेक्शन आणि वजन=मॅग्निट्यूड असते. परागकणाच्या सर्व डिसप्लेसमेंटचा संच घ्या. हा कण त्रिमीत अवकाशात फिरत असल्याने प्रत्येक विस्थापन सदीश = डिसप्लेसमेंट व्हेक्टर त्रिमीत असेल नि ती (x, y, z) अशी दिसेल, इथे x, y नि z वास्तव संख्या आहेत नि त्या काळावर t वर अवलंबून आहेत. या संख्या t वर अवलंबून असल्याने काही वेळा लिहीताना (x, y, z) ऐवजी लोक

 (x(t), y(t), z(t)) असे लिहीतात. तर, या कणाचे एखादे विस्थापन घेतले (x, y, z) तर त्याच्या मॅग्नीट्यूडचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची मॅग्नीट्यूड = √(x^२ + y^२+ z^२).

प्रत्येक सदीशाची मॅग्नीट्यूड ही ऋणेतर धन संख्या असते. या उदाहरणात डिसप्लेसमेंटची मॅग्नीट्यूड म्हणजे बिंदूचे ओरीजीनपासूनचे अंतर= डिस्टन्स, बरं का!

नि (x, y, z) च्या दिशेचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची दिशा = (x, y, z)/ √(x^२ + y^२+ z^२).

आपल्याकडे आता दोन सुत्रे झालीत. एक सूत्र (x,y,z) अशी डिसप्लेसमेंट सदीश घेते नि तिचा आकार= मॅग्निट्यूड सांगते तर दुसरे सूत्र (x, y, z) ला तिची दिशा देते. पण नीट पाहीलेत तर लक्षात येइल ही सूत्रे सर्वच (x, y, z) अशा त्रिकूटांसाठी वापरता येतील. परागकणाची डिसप्लेसमेंट हे केवळ उदाहरण आहे. म्हणजेच त्रिमीत वास्तव अवकाशावरील प्रत्येक सदीशासाठी आपल्यालडे दोन सुत्रे आहेत. पहीले सुत्र त्रिमीत सदिशचा आकार सांगते नि दुसरे तिची दिशा.

या उदाहरणाच्या गणिती मॉडेल मधे दोन फलने आहेत.

१. वास्तव त्रिमीत अवकाशावरून R^३ वरून ऋणेतर वास्तव संख्यांत जाणारे एक फलन नि 

२. R^३ वरून R^३ मधे जाणारे एक फलन. 

कसे तर:

१.  M: R^३ → R

M((x, y, z)) = √(x^२ + y^२+ z^२).

२. D: R^३ → R^३

D((x, y, z)) = (x, y, z)/√(x^२ + y^२+ z^२).

रेषीय फलने

उदाहरण ६: आता फलनाचे एक खास उदाहरण देतो. ते म्हणजे `ताणणारे फलन’ किंवा scaling: समजा t ही वास्तव संख्या आहे. नि R^३ हे त्रिमीत वास्तव आवकाश. तर 

T: R^३ → R^३ असे आहे की, 

T((x, y, z)) = (tx, ty, tz).

T काय करते तर प्रत्येक व्हेक्टरची लांबी t या फॅक्टरने ‘स्केल’ करते.

घरचा अभ्यास: जर (अ) t= 0,  (ब) 0< t <1 ,  (क) -1> t > 0 आणि t< 0 असेल तर T काय करते, ते चित्र काढून पहा.

आता थोडी चर्चा करू. फलने ही संचांवर डिफाइन केलेली असतात. व्हेक्टर स्पेसेस् पण संच आहेत. मात्र व्हेक्टर स्पेसवर काही जास्तीचे स्ट्रक्चर असते, ते म्हणजे (छानशी) बेरीज नि अदिशांचा गुणाकार. त्यामुळे जर दोन सदिशावकाशांत एखादे “नम्र” फंक्शन दिले असेल नि ते फंक्शन बेरीज नि गुणाकाराचा ‘आदर’ करत असेल, ते पहिल्या व्हेक्टर स्पेसने बेरीज-गुणाकाराच्या स्वरूपात एनकोड केलेली माहिती, दुसर्या स्पेसवर नक्कीच नेउ शकते. मागील लेखात आपण पाहीले आहे की, कंटीन्यूअस सिग्नलची स्पेस घेतली तर बेरीज नि गुणाकार, यांचा अर्थ वेव्ह ओव्हरलॅपींग नि व्होल्टेज ऍम्प्लिट्यूट वाढवणे असा असतो. त्यामुळे सिग्नल स्पेसवरून तिच्यावर जाणारे नम्र फंक्शन ओव्हरलॅप झालेल्या वेव्हज् नि स्केल केलेल्या ऍमप्लिट्यूटसोबत निट वागतील. अशी नम्र फंक्शनस व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास करताना महत्वाची ठरतील. या नम्र फंक्शंनस् ना “लिनीअर फंक्शनस्/ मॅप्स्/ ट्रान्सफॉर्मेशनस्”  किंवा केवळ “ट्रॅन्सफॉर्मेशनस्” म्हणतात. आपण त्यांना रेषीय फलने म्हणू शकतो. 

रेषीय फलने बेरीज-गुणाकाराचा आदर करतात म्हणजे काय, तर V नि W ही सदिशावकाशे असतील, T हे फलन असेल T: V → W तर T रेषीय आहे म्हणजे, जर u,v या सदिश असतील नि r ही वास्तव संख्या आहे तर:

१. T(u+v) = T(v) + T(v)    :  बेरजेचा आदर करणे

    २. T(r ×v) = r × T(u)          : गुणाकाराचा आदर करणे

ही झाली रेषीय फलनाची तांत्रिक व्याख्या. याला "रेषीय" म्हणतात कारण असं आहे की, सुरुवातील बरेच गणिती आणि भौतिकशस्त्रज्ञ सदिश अवकाशास  "रेषीय अवकाश" म्हणत. म्हणून रेषीय अवकाशातील फलन ते रेषीय फलन. अजून एक कारण असे कि, २ नि ३ मितीय सदिश अवकाशात रेषा काढता येतात, (आपली नित्याची coordinate geometry हो, पॅरामीटर फॉर्ममधे रेषेचे सूत्र लिहीणे!). जर V वरून V मधे एखादे रेषीय फलन जात असेल तर V मधील रेषेला ते V मधील रेषेवर नेते. त्यामुळेही या फलनास रेषीय फलन असे म्हणतात.

   वरील उदाहरण ६ मधील ताणणारे फलन रेषीय फलन आहे. कारण (x, y, z) नि (a,b,c) या सदीश असतील नि r ही वास्तव संख्या असेल तर, 

T((x, y, z)+ (a,b,c)) = T((x+a, y+b, z+z)) = (t(x+a), t(y+b), t(z+c)) = (tx+ta, ty+tb, tz+tz)= 

(tx, ty, tz)+ (ta, tb, tc) = T((x, y, z))+ T((a,b,c)).

नि

T(r(x, y, z))= T((rx, ry, rz)) = (trx, try, trz) = t (rx, ry, rz) = rT((x, y, z)).

घरचा अभ्यास: V= R^२ नि मग R^३ ठेवून वरील स्केलींग ट्रान्सफॉर्मेशन T वापरा नि पहा की पॅरामीटर फॉर्मधील रेषेस T रेषेवरच नेते.

रेषेचा पॅरामीटर फॉर्म पाहण्यासाठी इथे टिचकी मारा नि या विकीपानावरील Parametric equations पहा.

   रेषीय फलनाचा अजून एक गुणधर्म म्हणजे ते पहिल्या अवकाशाच्या मुलबिंदुला ( म्हणजे (०,०,…०) ह्या सदिशाला) दुसर्या अवकाशाच्या मुलबिंदुवर नेते.

उदाहरण ७: R^३ ➝ R^२ जाणारे एक फेमस उदाहरण पाहू. समजा R^३ म्हणजे त्रिमित अवकाश, म्हणजे आपल्या आजूबाजूचे अवकाश. त्याचा मुलाबिंदू हा जमिनीवरचा कोणताही एक बिंदू माना. तात्पुरते विसरू की पृथ्वी गोल अहे. समजा की ती द्विमित नि सपाट आहे. तर ती द्विमित अवकाश म्हणजेच XY-plane होइल. जमीनीवर एक काठी रोवून तिच्या रोवण्याचा बिंदू हा मूलबिंदू=ओरीजीन म्हणून घ्या. काठीचे हवेमध्ये असलेल्या टोकाचे स्थान सांगण्यासाठी तीन आकडे लागतील (कारण ते टोक त्रिमित अवकाशात आहे), तर (x, y, z) हे त्या टोकाचे R^३ मधले स्थान आहे. सुर्य माथ्यावर असताना त्या टोकाची सावली सपाट जमीनीवर, म्हणजेच, R^२ वर पडेल. तर त्या सावलीच्या टोकाचे कुऑर्डीनेट काय असतील?

 उत्तर सोपे आहे, ते (x, y, 0) असे असतील. त्यातील शून्य बिनकामी आहे. आपण तो काढला तर ते (x, y) असे दिसेल.

ही "सावली" हे त्रिमित अवकाशातल्या बिंदूंना द्विमित अवकाशात नेणारे फलन आहे: (x, y, x) → (x, y, ०). हे मुळात रेषीय फलन आहे, हे तपासणे सोपे आहे. या फ़लनास projection = छाया फलन  असेच म्हणतात.

कुऑर्डीनेट वापरून छाया फलनाचे वर्णन

अशाच प्रकारचे छाया फलन R^२ ➝ R^१ वरही देता येते.  इन जनरल, जर n≥m असेल तर Rⁿ➞ R^m वरून असे फलन बनवता येते. कोणत्या प्रतलावर छाया हवी हे ठरवायचे. नि मग जी व्हेक्टर आहे, तिचे त्या ठरवलेल्या प्रतलाचे अक्ष सोडून इतर अक्ष शून्य करायचे! 

कम्प्युटर वा गेमींग अनिमेशन करताना याच्यात थोडा बदल करून सावल्या बनवतात.

हा लेख लिहीण्यापूर्वी, प्रोजेक्शनचे उदाहरण सांगण्यासाठी, फार आधी, वरचे चित्र न काढता खालील व्यंगचित्र काढले होते.

अर्जुनाने मारलेल्या बाणाची सावली- इथे बाणाच्या विस्थापनाची ट्रॅजेक्टरी नि शेवटी दिशाही व सावलीही दिसते

आणि आता एक प्रश्न, वर परागकणाच्या उदाहरणात R^३ ➝ R^१ वर जाणारे, व्हेलोसिटीला म्यग्निट्युडवर नेणारे फलन दिलेय, 

(x, y, z)➞ √(x^२ +y^२ +z^२).

सांगा पाहू की हे रेषीय फलन आहे का?

∆  ∆

प्रस्तुत लेखातील फलन या शब्दावर बर्याच जणांनी आक्षेप घेतला आहे. त्या संदर्भात एक पुरवणी वजा टीप वाचण्यासाठी इथे टिचकी मारा.