जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - २

राम राम मंडळी, मागचे लिखाण पचले असेल तर सुरुवात करूयात! यावेळी लॉजिकची दोन महत्वाची (आणि अखेरची) चिन्हे पहायाचीयेत. ती चिन्हे आहेत, <-> आणि  V.  

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा : ५ पैकी २ मिरच्या

तर , <-> आणि  V या चिह्नानांबद्दल काही गेस?

पहिले चिह्न म्हणजेच  < - >  पाहू. खालील चित्र पाहिले तर ते नेमके कळेल. 

हा बाण असा तोडता येईल  : <-- आणि --> असे. पण मग याचा अर्थ काय?  जरा लॉजिकली विचार करूयात. समजा अ आणि ब अशी दोन विचाने आहेत तर अ < - > ब म्हणजे काय तर, एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ  -> ब.  म्हणजे एकदा "ब" चे कारण "अ " आहे आणि एकदा "अ " चे कारण "ब " आहे असं. थोडक्यात काय तर दोन्हीही विधाने एकमेकांची करणे आहेत!

        वाह..! नेमका हाच अर्थ आहे या चिह्नाचा! याचे उदाहरण द्यायचे झाले तर मागच्या लेखातील गाण्य-गाणी ग्रुप अथवा. समज गाण्या आणि गाणीची भांडणे झालीत आणि दोघांनीही  एकमेकांशी कट्टर वैर जाहीर केलेय! मग, जेव्हा जेव्हा गणी दिसणार तेव्हातेव्हा गण्या जाणार आणि अचानक गण्या गेला रे गेला कि समजायचे कुठेतरी गणी  आहेत! थोडा बाद करून मग हे विधान असे करता येईल की,

५. गणी आली म्हणजेच†† गण्या जातो.

थोडक्यात दोन्ही वाक्यांचा अर्थ एकच आहे.  पण असे असेल तर वाक्यांची जागा बदलली तरी चालेल. हेच वाक्य आपण असेही लिहू शकतो की,

६. गण्या अचानक जातो म्हणजेच गणी आली.

आणि ५ नि ६ चा अर्थ एकाच आहे. मागील लेखातील संज्ञा वापरायची तर दोघांची किंमत एकाच आहे. जर विधान अ = गणी  आली घेतले आणि विधान २ = गण्या अचानक जातो असे घेतले तर चिह्न वापरून हि विधाने अशी लिहिली जातील:

५.  वि. अ <-> वि. ब
६.  वि. ब <-> वि. अ

क्या वात हैं, ही चिह्ने पाहताच कळते की दोन्हींचा विधानांचा अर्थ एकच आहे! ही आहे चिह्नांनाची कमाल! क्या वात हैं, उ. नि ऊ. पाहताच कळते की दोन्हींचा अर्थ एकच आहे.
यावरून येणारा नवा नियम असा की

नियम ३. (अ  <-> ब ) ची किंमत = (ब <-> अ ) ची किंमत

अजून एक असे कि अ <->  ब चा अर्थ आपण असा घेतला होता कि "एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ - >  ब ". हा अर्थ "आणि" साठीचे चिह्न (^) वापरून लिहिला तर होईल    "(अ <-  ब) ^ (अ - >  ब)".
हि दोन्ही वाक्ये सारखीच आहेत त्यामुळे

नियम ४. (अ <-> ब) ची किंमत = [(अ -> ब) ^ (ब -> अ )] ची किंमत 

बरेच नियम झाले आपल्याकडे. पुढे तर्कशास्त्राच्या मुलभूत गृहीतकांची यादी दिलेली आहे:

गृहितकांची यादी. यापैकी दोन चिह्नांची चर्चा पुढे केली आहे

हीच इलेक्ट्रॅनिक्स नि संगणकीय अभ्यासातील सुत्रे नि त्यांचा उगम. आहे खरा सोपा!

अशीच साधी उदाहरणे वापरून इतर नियम शोधता येतील.

    अजून एक महत्वाचे अव्यय आहे "किंवा". याच्या वापराचा एक नियम आहे. त्यासाठी एक चवदार उदाहरण पाहू:

मला जर आईने दमून आल्यावर पोळी भाजी हवी की खीर पोळी हवी असे विचारले. घरात दोन्ही आहेत. नि मी "पोळी-भाजी किंवा खीर-पोळी काहीही घेईन" असं म्हटल्यावर जो अर्थ होतो, त्याच अर्थाने तार्कीक  "किंवा" वापरला जातो. म्हणजे, मी दोन्हींपैकी एक काहीतरी घेईनच, पण, मला मनात आले तर दोन्हीही घेईन. असाच तार्कशास्त्रसातील किंवा चा अर्थ आहे (हा नियम आहे, सो नो क्वेश्चन!). पण मग "मी येईन किंवा येणार नाही" याचा तार्कीक अर्थ प्रॅक्टीकली निरर्थक होतो. मी येईन, अथवा नाही येणार अथवा दोन्हीही! रोजच्या आयुष्यात "दोन्हीही" ला अर्थ नाही. पण शास्त्रात सगळे चालते! अस्तु, किंवासाठीचे चिह्न  आहे V (उलटा ^). 

    आता आपल्याकडे गणितीय तर्कशास्त्राच्या अभ्यासाठी पुरेशी सामग्री जमली आहे.

सुरुवातीस म्हटले तसे, आपले ध्येय आहे ते वाक्यसमुहाचा अर्थ समजून घेणे. आणि आत्तापर्यात डेव्हलप केलेल्या पद्धतीवापरून त्याचे सोपे नियम शोधणे.  एक प्रश्न असा की "आणि"असणार्या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे करायचे. 

समजा मी मित्राला वचन दिलेय की मी तुला उद्या सीडी आणि बॅट देतो. तर हे वचन कधी मोडले जाईन? या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे होईल? मी दोन्ही गोष्टी देण्याचे कबूल केले आहे. त्यामुळे एक जरी बाब दिली नाही तरी वचन मोडले 

नि वाक्याची किंमत बदलली- म्हणजेच मी (सीडी दिली नाही आणि बॅट दिली) किंवा (सीडी दिली आणि बॅट दिली नाही) किंवा दोन्ही दिले नाही.

आपल्या पद्धतीप्रमाणे समजा

क्ष: मी तुला सीडी देईन

य: मी तुला बॅट दिईन

     माझे वचन = क्ष ⋀  य

त्याचा नकारार्थ =  सीडी दिली नाही किंवा बॅट दिली नाही = (सीडी दिली नाही) ⋀ (बॅट दिली नाही)

                                                                 = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)] ⋁ [(-क्ष) ^ (-य)]

पण आपल्या "किंवा"च्या नियमाप्रमाणे शेवटचा [(-क्ष) ⋀ (-य)] भाग लिहीला नाही तरी चालेल. 

म्हणूनच 

वचनाचा नकारार्थ = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

आणि हा आहे नावा नियम:

नियम ४.  -(क्ष ⋀ य़) [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

बुल (George Boole) नामक एका गणित्याने असे काही नकारार्थाचे नियम शोधून काढले. त्याला लक्षात आले की विधानांची किंमत बदलताना "⋀" व "⋁" यांची मजेशीर आणि सिमेट्रिक अदलाबदल होते. बुलने कंस सोडवण्याचे नियमही अभ्यासले. त्याने या "⋀" व "⋁"  चा अभ्यास करून दाखवले की गणितातील बर्याच विषयांमध्ये अशी अदलाबदल होते. मुल नियमाचे स्वरूप बदलत नाही. बुल्चे हे नियम सेट थिअरी म्हणजेच संच सिद्धांतामध्ये हि दिसतात, आकडेमोड करतानाही काहीवेळेस दिसतात. यांचा वापर करून डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्स मधील पायाभूत सर्किट्स बनवली गेली आणि आजच्या डिजिटल यंत्रांचा जन्म झाला. आरशातील प्रतिबिंबाप्रमाणे ही दोन्ही चिह्ने गणितीय तर्कशास्त्रात वागतात असे बुलच्या या नियमांमधे दिसते.

∆ ∆

††"म्हणजेच" हा शब्द मी वापरलाय. पुस्तकांत "तर आणि तरच" अशी रचना असते. "तर आणि तरच" ही माझ्या माहितीप्रमाणे पारंपारीक वाक्यरचना नाही. ईंग्रजीतील "if and only if" चा तो मराठी अवतार आहे. त्याचा अर्थ असा की पहीले "तर" म्हणजे - गणी आली म्हणून गण्या गेला; नि  "आणि तरच" म्हणजे - गण्या गेला म्हणून गणी आली. पण मला काही ही रचना फारशी पटत नाही. मराठीचे ईंग्रजीकरण वाटते. तरी जाणकरांनी जरूर कळवावे नि चूक दुरुस्त करावी.