लेख क्र. शुन्य- तुम्ही नेमकं करता काय? -१

यत्ता "बी.यस्सी." ला गेलो. गणित हा मुख्य विषय म्हणून घेतला आणि मग काही प्रश्न सतत कानावर पडू लागले.  पुढे यम. यस्सी. आलेला त्यातील एक प्रश्न म्हणजे,  "गणित…! त्यात एम.एस्सी. करतात…? इतके काय शिकतात बाबा?". यम. यस्सी. नंतर गणितामध्ये संशोधन करण्यासाठी तयारी करतोय, असे सांगितल्यावर नवा प्रश्न आला , 

"गणितात संशोधन…! बापरे, म्हणजे किती आकडी गुणाकार सोडवता तुम्ही?" 

हा ब्लॉग  लिहायचा ठरल्यावर माझ्या जितक्या मित्रांना विषय सुचवा, म्हणून विचारले, त्यापैकी बर्याच जणांनी माझा मूळ प्रश्न डावलून  प्रश्न केला...

 "अरे, पण तुम्ही नेमकं  करता काय? "

तुम्ही नेमकं शिकता काय?

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

१०वी पर्यंतचे गणित थोडेफार आठवत असेल तर उत्तमच!

      खरे सांगायचं तर याचे नेमके आणि परिपूर्ण उत्तर देणे मला शक्य नाही, तेवढी माझी पात्रताही नाही. गणित या विषयाचा आवाका इतका मोठा आहे की ते सर्वकाही स्पष्ट करता येईल असे लिहिणे, ते ही माझ्यासारख्या गणिताच्या विश्वात केवळ विद्यार्थी  असणाऱ्या माझ्याने हे शक्य नाही! पण आता एकदाच मौन सोडतो नि या प्रश्नांची उत्तरे देण्याचा एक प्रयत्न करतो. दहावी- बारावीच्या गणितानंतर गणितामध्ये काय शिकतात आणि संशोधन करतात म्हणजे नेमके काय करतात, याचे उत्तर देण्याचा मी प्रयत्न करीन. हा आहे भाग पहिला.

        हायस्कूलनन्तर गणित शिकणे म्हणजे मोठ्यात मोठ्या आकड्यांच्या बेरजा-गुणाकार करणे का? आणि गणित म्हणजे केवळ आकडेमोड, त्रिकोण-चौकोन यांचे कोण मोजणे आहे का? असे बरेच प्रश्न पडतात. यांचे सरळ उत्तर मी देत नाही. आधी एक अनालोजी देतो.

       मराठी कुमारांच्या आयुष्यात आलेले पहिले प्रेम, ही जशी कायम आठवणीत ठेवायची गोष्ट आहे, तशीच एक गोष्ट म्हणजे झपाटून जाऊन एका बैठकीत, किंवा एका रात्रीत वाचून काढलेली एखादी कादंबरी! आपल्यापैकी बर्याच जणांची एक तरी आवडती कादंबरी असेल, "शाळा" म्हणा किंवा "श्रीमान योगी".  हि आवड निर्माण होताना या वाचनाची सुरुवात आणि उत्क्रांती कशी झाली असावी याचे एक स्केच काढू. बालपणी मुळाक्षरे, बाराखडी शिकलो. त्यावेळी जर त्याने मुलाने विचारले की याचा उपयोग काय, तर तो "काहीतारी वाचणे" इतकाच, असे सांगितले जाते. पुढे वाचन वाढत गेले, की केवळ शब्दांचा अर्थ न पाहता लिखाणाचा-कादंबरीचा भावार्थ लावणे जमू लागले की अभ्यास वाढला म्हणायला हवे. याही पुढे जाऊन, कादंबरीच्या या भावार्थाचे तत्कालीन स्थितिसोबत संदर्भ जोडून कादंबरीचे साहित्यिक आणि सामाजिक मुल्य ठरवणे हे अजून एक पाउल पुढे झाले! ( त्यापलीकडे जाऊन लेखकाच्या खाजगी आयुष्याचा अभ्यास, मानसिकतेचा अभ्यास आणि मग सामाजिक स्थिती, लेखकाची-समाजाची मानसिकता आणि कादंबरीची भाषिक मुल्ये व लेखकाची भाषिक कौशल्ये यांचा परस्पर संबंध लाऊन निष्कर्ष काढणे म्हणजे संशोधन. ). एक साधारण ढोबळमानाने, असा होतो भाषेचा अभ्यास. आणि आपण सर्वांनी आपली आवडती कादंबरी वाचताना या साहित्य प्रवासाचा अनुभव घेतला असतोच, फक्त इतका अनालिसिस आपण करत नाही.

      आता मी हाच प्रवास "गणित" विषयासाठी मांडतो, सुरुवातीला आकडेमोड शिकणे म्हणजे गणित या विषयाचा "श्रीगणेशा" झाला. मग रेषीय-वर्गीय समीकरणे (= लिनिअर-क्वाड्राटिक इक्वेशन्स) सोडवणे, शाब्दिक उदाहरणे सोडवणे (म्हणजे पुलांचे फुटके नळ, गळके हौद इ. इ.) आणि x, y, z किंवा "क्ष" नावाचे चल पद वापरायला शिकणे, भौमितिक आकृत्या काढता येणे ही झाली मुळाक्षरे. या सर्वांना वापरून आणि साधे भौमितिक सिद्धांत† सोडवणे, साइन-क्वास-ट्यान ची ओळख म्हणजे झाले "मदन नमन कर", "रामा शिरा कर" अशी रचना वाचता येणे. बस्स…ही झाली १० वी !  इथे आपल्यापैकी बरेच जण मग गणिताला राम राम ठोकतात! इथून पुढे गणिताच्या नावे कानाला खडा लावलेल्यांनी पुढचा परिच्छेद सोडून वाचले तरी हरकत नाही.

हायस्कूलातील भूमिती!

      पुढे जे जातात त्यांची ओळख मग द्वि-त्रिमितीय भूमिती, क्याल्कुलस, म्यट्रिक्स थेअरी, प्रोबाबिलीटी यांसोबत होते. हि ११-१२ वी ची पुस्तके म्हणजे "छान छान गोष्टी"! मग बरेचसे गाणितला अलविदा करतात. जे कोणी प्युअर फिजिक्स-गणित न करता इतर विषयांकडे वळतात त्यांची आणि क्याल्कुलास्ची जी लढाई जुंपते की डिग्री मिळाल्यावर पुन्हा गणोबचे नावच नाही! खरे सांगायचे तर हा विषय त्यांच्या किडनिमधे खर्याखुर्या क्याल्कुलसने (= मुतखडा)†† त्रास होणार नाही, इतका त्रास त्यांना देतो! त्यामुळे त्यांच्या वेदानेपायी तोंडी आलेल्या शिव्या अगदीच रास्त आहेत! या लोकांच्या पुस्तकांतील गणित मी "बालभारती"च्या मराठीसारखे आहे, असे मी नक्कीच म्हणेन. ही  झाली गणिताची बालभारती पर्यंतची गाथा. इथवर बरेच लोक येतात नि त्यांना  इथवर गणित हे नक्कीच माहिती असते. 

क्याल्क्युलासाचा बळी :) 

थोडक्यात काय तर, १० पर्यंत फक्त आकडेमोड आणि त्रिकोण-चौकोन, त्यापुढे फक्त क्याल्कुलस-म्याट्रिक्स-प्रोबाबिलीटी, हे सारे गणितात येते. आत्ता प्रश्न राहिला, पुढे काय? …. पुढे येतो भावार्थ आणि "रीडिंग बिटवीन द लाइन्स"! मला काय म्हणायचेय हे जर स्पष्ट करतो.

खिशाकडे हात जाताच हसत हसत उठला, 

पैसे नकोत सर जरा एकटेपणा वाटला.…. 

…. मोडून पडला संसार तरी मोडला नाही कणा

पाठीवरती हात ठेउन, तुम्ही फक्‍त लढ म्हणा !

कुसुमाग्रजांच्या "कणा" मधील ओळी ऐकून केवळ पैसे नको असे म्हणणारा तरुण समोर उभा राहत नाही. त्याची कठीण परिस्थिती, त्यामध्ये ही दाखवलेले मनोधैर्य या सर्वांचे मिश्रण सहजच होते आणि आणि मग कवितेचा "अर्थ" सापडतो.  यासाठी तो तरुण सरांचा कोण आहे, त्याची परिस्थिती काय, त्याची मानसिकता काय असेल, असे प्रश्न पटकन मनात येतात आणि त्यांची उत्तरेही पटकन मिळतात. हे झाले- रीडिंग बिटवीन द लाइन्स. हा झाला कवितेचा अभ्यास! असेच रीडिंग बिटवीन द लाइन्स गणितातही करता येते का? असे प्रश्न विचारता येतात का? असाच एक प्रसिद्ध प्रश्न म्हणजे न्युटनचा "सफरचंद खालीच का पडले§" हा प्रश्न! 

     

      होय, असेच भावार्थ शोधणारे प्रश्न गणितात पडतात. त्यापैकी काही पुढे दिले आहेत. यापैकी कितीतरी प्रश्न गम्मत म्हणून एरवी आपण विचारतो. परीक्षेआधी पुस्तक फेकून "साले, हे असाच का?" असं ओरडतोही.  पण, कोणी सांगायला नसते, की हे "खरेच" महत्वाचे प्रश्न आहेत. आणि त्यांची उत्तरेही उघड नसतात. 

उदाहरणार्थ, 

• १+१=२च का? १+०= १च का? 
•  वर्तुळाच्या परिमिती-क्षेत्रफळामध्ये, तो आकडी आणणारा आकडा "π" कुठून येतो?
• मूळ संख्या वापरून एखादी संख्या लिहिता येते, यात इतके काय भारी? लसावी मसावी का शिकायचा?
• वजा गुणिले वजा बरोबर अधिक, वजा गुणिले अधिक बरोबर वजा, असेच का?

हे बेसिक झाले. पुढे गेले तर, 

• म्याट्रिक्स गुणाकार तसाच का करायचा? (सरळ सरळ एकास एक गुणता येते की!)
• डिटरमिनंट का जन्माला आला? (आणि तो ही इतका किचकट फार्मुला जन्माला घेऊन!)
• लिमिट-कनटिन्युटीचा चा धडा कायम क्यालक्युलसच्या पहिल्या पानावर असतो, पण पुढे ते येते कुठे? 
• इंटिग्रेशन कायम [a, b] अशाच इण्टर्व्हल मध्ये का करायचे? जर इंफायनाईट इण्टिग्रल करायला गेले की वेगळा अभ्यास का करावा लागतो?

     एकदातरी असा प्रश्न तुम्ही स्वतःला किंवा मित्रला किंवा शिक्षकांना विचारलाच असेल, I am so very sure about it! गम्मत अशी आहे की, हेच खरे गणितातील प्रश्न आहेत. बेरजा-वजाबाक्या-फुटके गळके हौद हा केवळ ट्रेलर आहे! पुढे ते कुठेही येत नाहीत! तथाकथित हायर (प्युअर?) म्याथेम्यटिक म्हणजे याच प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा अभ्यास! ही उत्तरे मिळवण्याकरिता काही विषय, जे बी.(\ यम) एस्सी. ला शिकावे लागतात. 

म्हणजे नेमके कोणते विषय?

     जरा चटकन सांगतो. मागील लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे आधी शिकायची ती लॉजिकची भाषा! मग संच सिद्धांत (सेट थिअरी) आणि यांचा वापर करून ०+१ = १ वगैरे दाखवता येते! हेच पुढे चालवत पूर्णांक ( = इण्टिजर्स) आणि परिमेय संख्यांपर्यंत जाता येते. मग शिकतात ते म्हणजे "अनालिसिस". रिअल अनालिसिस म्हणजे रिअल क्यालक्युलसची जन्मकहाणी तर कॉम्प्लेक्स अनालिसिस ही कॉम्प्लेक्स क्यालक्युलसची! हे दोन्ही क्यालक्युलस कसे जन्मले, कसे वाढले, असेच कसे वाढले, इ. इ. प्रश्नांची उत्तरे हा विषय देतो. हाच विषय - x - = + नि - x + = -    या नियमांचे करण उलगडतो. लिमिट, इंटिग्रेशन, इंफायनाईट इण्टिग्रल यांचा परस्पर संबंध स्पष्ट करतो. नंबर थिअरि म्हणजे (पूर्णांक) संख्यांचा अभ्यास (पुढे अब्स्ट्रक्ट संख्यांचाही अभ्यास करतात). यामध्ये मूळ संख्या कशा मूळ आहेत, लसावी-मसावी साठी किती झगडा करावा लागतो आणि ते का महत्वाचे आहेत हे शिकवले जाते. मग "लिनिअर अल्जेब्रा" नावाचा विषय म्याट्रिक्स, व्हेक्टर्स, डिटरमिनंट यांची अख्खी कुंडली मांडतो. मेझ्यर थिअरी हा विषय प्रोबलिलिटिची सारी कहाणी कथन करते. तर डिफरंल्शिअल जिओमेट्री सगळ्या भूमितीची पायाभरणी करते. 

      संशोधन करताना, एक प्रश्न सुटतो, पण तो नव्या शंभर प्रश्नांना जमना देऊन जातो. त्यामुळे, या प्रश्नांची उत्तरे, नवे प्रश्न निर्माण करतात नि ही चेन अशीच सुरु राहते! यामुळे अजूनही कित्येक विषय आहेत जे आम्ही शिकतो की जेणेकरुन या प्रश्नंाची उत्तरे मिळवित! असे दोन फ़ेमस विषय म्हणजे: टोपोलोजी आणि अल्जेब्राइक जिओमेट्री.

      या सर्व विषयांचा वाढता विस्तार शिकणे म्हणजे कुमारभारती वाचणे नि त्यांचा परस्पर संबंध लावत, पूर्वी विचारलेल्या नि बावळट म्हणून गणल्या गेलेल्या प्रश्नांची उत्तरे शोधणे म्हणजे गणित नावाच्या कवितेचे आकालन होणे होय!

पुढील भागामध्ये "तुम्ही संशोधन म्हणजे नेमके काय करता? आणि सध्याचे नेमके प्रश्न कोणते आहेत?"

∆  ∆

लिहून त्यावर सुधारणा कशी करावी अशी चर्चा करत असता, "गणित करता म्हणजे नेमके काय करता" ह्याच विषयांवर लिहिण्यासाठी मला नितीन, योगेश आणि श्रेयस यांनी भाग पाडले! त्यामुळे जर ह्या लेखामुळे तुमचे काही प्रश्न सुटले असतील, तर ह्या तिकडीला ही त्याचे श्रेय! :)

तळटिपा:

†भौमितिक सिद्धांत- इथे भूमिती म्हणजे आपली १० वीतील युक्लिडीअन प्रतलीय भूमिती होय

††क्याल्कुलस- Oxford Dictionary प्रमाणे याचा एक अर्थ "मुतखडा" असा होतो.

§ ही कथा खरी की खोटी या वादामध्ये पडण्यापेक्षा मला हे उदाहरण महत्वाचे आहे! ;)

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.