"फलन" शब्दाची व्युत्पत्ती- एक भाषिक नि इतिहासविषयक टिप्पणी

शालेय पुस्ककांत Function या इंग्रजी शब्दासाठी मराठीमधे "फलन" असा प्रतिशब्द वापरलेला मला आठवतो. मराठी-हिन्दी विकीपीडीयावरही हाच शब्द वापरला जातो. अगदी मराठी विश्वकोश (या शब्दांवर टीचकी मारली की ते पान उघडेल) सुद्धा हाच प्रतिशब्द दिला आहे. मला नि माझ्या बर्याच मित्रांना प्रश्न पडला होता, की "फलन" हा शब्द का बापरला गेला असावा. कारण एकपदी^† (monomial), द्विपदी (binomial), बहुपदी (polynomial), चल (variable), उकल (solution), चौकोन (quadrilateral) असे अनेक पारंपारीक तांत्रिक शब्द एकतर "सेल्फ एक्लप्लनेटरी" आहेत. किंवा नैसर्गिक संख्या, वास्तव संख्या यांसारखे शब्द हे इंग्रजी शब्दांचे थेट थेट प्रतिशब्द आहे, हे कळते. फलन ही गणितातील मध्यावर्ती संकल्पना आहे. मात्र "फलन" हा शब्द वरीलपैकी एकाही गटात बसत नाही. काही काळ, माझ्या लिखाणांमधे नि चर्चांमधे फलन ऐवजी मी "जोडणी" असा शब्द वापरायचो. त्यामुळे one-to-on function ला एकास-एक-जोडणी, onto-function ला "(कोडोमेनला पूर्णपणे) झाकणारी जोडणी" अशा उत्तम रचना जमल्या होत्या. मात्र काही काळापूर्वी आर्यभटीयमधील एक श्लोक नि The rule of three वरील थोडे लिखाण वाचनात आले, नि "फलन"ची व्युत्पत्ती काय असू शकते, ते लक्षात आले. 

गणितामधे संज्ञा बनवताना त्या सेल्फ एक्लप्लनेटरी नि योग्य असतील याची फार काळजी घेतली जाते. मात्र कित्येकदा असं होतं, की एखाद्या मोठ्या गणित्याला दिसताना काहीती वेगळंच दिसतं नि तो तशी संज्ञा देऊन जातो. कालांतराने ती थिअरी इतकी वाढते की त्या संज्ञांचा नि या विषयाचा काही संबंध नाही असे वाटू लागते. मात्र, मूळ उदाहरणासोबत प्रामाणिक राहण्यसाठी नि त्या महान गणित्यांचा आदर करण्यसाठी म्हणून, अशा संज्ञा जशाच्या तशा वापरल्या जातात. याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे group, ring, field या संज्ञा होय (यांचे मूळ शोधून पहा बरं! हिल्बर्ट प्रभृती विद्वांनाकडे ते जाते!).

मला वाटते, फलन या संज्ञेचेही असेच झाले असावे. या संज्ञेची मला सुचलेली नि पटलेली  एक व्युत्पत्ती खाली देतोय.  फंक्शन्सची थिअरी आता इतकी वाढली आहे, की group, ring, field या संज्ञांसारखीच "फलन"ची ही गत झाली आहे!

या लेखातील गणिताची तीव्रता- ५पैकी १ मिरची
हा लेख वाचण्यासाठी फलनाची (function) व्याख्या(इथे टिचकी मारा) नि साधा गुणाकार-भागाकार आला की झाले!

सुरवात आपण काही साध्या सोप्या उदाहरणांनी नि त्यांच्या करू (याहून अधिक गणित या लेखात नाहीये!).
उदाहरण अ: जर एका माणसाला दिवसाचा पगार २०० असेल तर चार माणसांचा दिवसाचा पगार किती?
सोपं आहे ना सोडवणं-- ८००.
उदाहरण ब: दोन प्रोग्रॅमर मिळून दिवसभार एक कम्प्युटर प्रोग्रॅम लिहीत असतील तर आठ प्रोग्रॅमर मिळून दिवसात किती प्रोग्रॅम लिहीतील?
उघड आहे, ४.
उदाहरण क: मी जर दिड महीन्यात ब्लॉगसाठी एक लेख लिहीत असेन, तर एका वर्षात मी किती लेख लिहीतो?
उत्तर अाहे आठ.

ही उदाहरणे आपण कशी सोडवतो? अनुक्रमे पाहू.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष.

तर, क्ष = ४× २०० = ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम.

तर क्ष = ८/२=४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख.

तर क्ष= १२/१.५ = ८

इथे काही उदाहरणात गुणाकार केलाय, तर काहींमधे भागाकार. पण हे सर्व प्रश्न सोडवण्यासाठी एक साधी पद्धत आहे. शाळेतील गणिताचे तास आठवत असतील, तर तुम्ही हे नक्कीच ऐकले असेल,

जर अ साठी य असेल, तर ब साठी काय?

अ → य

ब → ?

"फुटके नळ, गळके हौद, काम-काळ" यांची गणिते सोडवण्या मागे हा मूळ प्रश्न असायचा. भारतीय गणितावाङ्मयामधे या प्रश्नास "त्रैराशिक" असं म्हटलं आहे. पहीले आणि दुसरे आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, श्रीधर, महावीर, दुसरे भास्कर या सर्वांनीच त्रैराशिकावर काम केले आहे. वरील प्रश्नात जर ब साठी क्ष असे मानले तर पहील्या आर्यभटांनी वापरलेल्या संज्ञा-- नॉमेनक्लेचर असे,

अ - प्रमाण,    य-( प्रमाणासाठीचे) फल

ब- इच्छा,    क्ष- (इच्छेसाठीचे) फल

आर्यभटीय मधे श्लोक २६ मधे पहीले आर्यभट त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत अशी सांगतात (संदर्भ२):

त्रैराशिकफलराशिं तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा।

लब्धं पमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिं स्यात्।। 

अर्थ- फल आणि इच्छा यांचा गुणाकार करावा नि त्याला प्रमाणाने भागावे. (मिळणारा) भागाकार हा इच्छेसाठीचे फल मिळते.

म्हणजेच  

क्ष = (ब × य)/ अ

वरील आकड्यांचा तक्ता बनवला, तर,

 अ      य

 ब       क्ष

तक्ता १

आर्यभट सांगतात की ब नि य चा तिरकस गुणाकार करून त्याला अ ने भागायचे! पण हे तर आपणा सर्वांनाच माहीत असते, की तिरकस गुणाकार करून भागायचे! पाश्चिमात्यांनी या सूत्राला The rule of three, The golden rule असं म्हटलं. अरबी गणित्यांनी हे सूत्र भारतामधून युरोपात नेले (संदर्भ१).

लेखाच्या आरंभीच्या सर्व उदाहरणांत, कळत न कळतच का होइना हेच सूत्र वापरले आहे.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष

 क्ष = (४× २००)/१ = ४× २००= ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम

क्ष =  (८× १ )/२= ८/२= ४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख

क्ष = (१२×१)/१.५ = १२/१.५ = ८

आपल्या मूळ प्रश्नाकडे वळू:  फंक्शनला फलन हा शब्द कसा सुचवला गेला असावा. तर मला असे वाटते की: त्रैराशिकाप्रमाणचे, बहुराशिकेही बनवली गेली म्हणजेच the rule of five, the rule of seven,... the rule of odds इत्यादी. सर्व गणित्यांनी या सर्व बहुराशिकांसाठी पहील्या आर्यभटांच्याच संज्ञा वापरल्या. म्हणजे वरील तक्यांमधे डावीकडील शेवटी संख्या सोडून इतरांना प्रमाण असं नि शेवटच्या संख्येस इच्छा असं संबोधलं गेलं. उजवीकडील संज्ञांना फल असे म्हटले गेले. थोडा विचार केलात ते दिसेल की मूळात त्रैराशिक हे एक अतिशय सोपे फंक्शन आहे,

अ → य

ब  → क्ष

फंक्शन स्वरूपात त्रैराशिक

या फंक्शनचा डोमेन {अ, ब} नि कोडेमेन {य, क्ष} आहे.

मला वाटते की फंक्शनची संकल्पना न्यूटन प्रभृतींनी जेव्हा मांडली नि ती आपल्याकडे आली तेव्हा हे त्रैराशिकाचे उदाहरण डोळ्यासमोर ठेउन तात्कालीन गणिताभ्यसकांनी,

 प्रमाणांच्या फलांसोबत जोड्या लावून देण्याची प्रक्रीया म्हणजे फलन,

 असा विचार करून फंक्शनला फलन असा प्रतिशब्द सुचवला असावा. त्रैराशिकांना फंक्शन म्हणून घेणे अतिशय स्वाभाविक आहे.

केवळ आपल्या पाठ्यपुस्कतच नाही, तर आकडेमोडीच्या सर्वच गणितीशाखांमधे त्रैराशिकाचे अनन्यसाधारण महत्व होते. दुसर्या भास्कराचार्यांनी सिद्धांतशिरोमणीमधे म्हटले आहे (संदर्भ१, पान २२०) "गणितामधील वर्ग नि वर्गमूळ, घन नि घनमूळ सोडले तर सर्व प्रक्रीयांचे मूळ त्रैराशिकच आहेत" . त्रैराशिकाचा नियम सर्व गणित्यांनी फार मूलभूत मानला होता, नि त्यामुळे तो अभ्यासकांमधे प्रसिद्ध असणे स्वाभाविक आहे. शिवाय त्रैराशीकासंबधीच्या वरील संज्ञाच सर्वांनी वापरलया आहेत.  त्यामुळे या संज्ञा अभ्यासकांना माहीत असणे नि त्यापासून फलन शब्दाची व्युत्पत्ती होणे स्वाभाविक आहे.

या लेखामधे त्रैराशिक सोडवण्यसाठी तक्ता बनवण्याची जी पद्धत मी वापरली आहे, त्यामुळे त्रैराशिकास फंक्शन म्हणून पाहणे सोपे झाले आहे. असा तक्ता बनवून त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत पारंपारीक आहे. मी ती शोधलेली नाही. फक्त, पारंपारीक तक्त्यामधील ओळी (row) आणि स्तंभाची (column) मी आदलाबदल केली आहे. ही पद्धत पारंपारीक असल्याने, त्रैराशिकाला फलन म्हणून विद्वानांनी घेतले असण्याची शक्यता अधिकच आहे.

वाचकांपैकी कुणास अधिक माहीती असल्यास, खाली प्रतिक्रीया लिहून, अधिक प्रकाश टाकावा.

संदर्भ:
१. बिभूतीभूषण दत्त आणि अवदेश नारायण सिंग,
History of Hindu Mathematics (A source book) Part- I & II,
 धडा २ रा विभाग १२.
Asia Publishing House, 1935, 1938.

२. आर्यभट्ट आणि टीकाकार परमादीश्वर,
The Aryabhatiya, a manual of astronomy, with the Commentary of Bhatadipika of Parameadiçvara,
विभाग- गणितपाद:, पान क्र. ४२, मूळश्लोक २६,
माझ्याकडील आवृत्तीमधे प्रकाशक दिसत नाहीत, मात्र University Of California LA च्या ग्रंथालयातील प्रत आहे.

एक उदाहरण:
The rule of three चा आणि हौद-नळांच्या गणितांचा काय संबंध, तर अतिशय साधे उदाहरण खालीलप्रमाणे:
जर एक नळ २ तासात ३ बादल्या भरत असेल तर ९० बादल्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?
सोप्या भाषेत,

३ला २; तर ९० ला किती?

तो वेळ क्ष मानू. तर आपले गणित होईल

३ → २

९०  → क्ष

आणि क्ष= (२x९०)/३=६० तास.
वराहमिहीरांनी खगोलशास्रांतील आकडेमोडींसाठीही हे सूत्र वापरून त्याचा जयकयकार केला होता. घरचा अभ्यास म्हणून शाळेतील पुस्तक शोधा आणि कुठे कुठे हे सूत्र वापरता येते ते पहा. गणिताचार्यांनी या सूत्रास इतके महत्व दिले किंवा पश्चिमेकडे याला The golden rule का म्हटले गेले हे तुम्हाला दिसेलच.

तळटीपा:

†एकपदी (monोmial), द्विपदी (binomial), बहुपदी(polynomial) - इथे "पद" या शब्दाचा अर्थ अवयव किंवा appendage असा आहे. त्यामुळे एक अवयव असणारी ती एकपदी इत्यादी. या शब्दांसाठीच्या इंग्रजी शब्दांचीही अशीच फोड होते. मात्र प्रस्तुत मराठी शब्द हे मूळ संस्कृत शब्द आहेत. आणि इंग्रजी शब्दांपेक्षा जास्त जुने आहेत. ते इंग्रजी शब्दांचे भाषांतर नाहीत, तर मूळ शब्द आहेत.
चल (variable)-चल म्हणजे अर्थाप्रमाणे हलणारी, अस्थीर असे. Vairable साठी हा शब्द चपखल बसतो.
उकल (solution), चौकोन हे ही सरळ सरळ त्यांच्या अर्थावरून घेतले आहेत.

∆  ∆

लेख क्रमांक शुन्य- तुम्ही नेमके करता काय?- २

"मी मुलीचा मामा. मी गणिताचा प्राध्यापक आहे. तुम्ही सध्या करता काय?", पलीकडल्या मंडळींनी विचारले. 

"सध्या पीएच. डी चालू आहे. गणितामध्ये संशोधन करतोय" मी. 

मामा टणकन उडाले. 

"काय? (मराठीमध्ये क्यापिटल लिहायची सोय नाही. हा "काय" क्यापिटल मध्ये वाचावा). गणितामध्ये संशोधन करतात?"

मामांच्या प्राध्यापकगिरी वरील माझा विश्वास आत्तपर्यंत पुर्णपणे ढासळला होता. मी जमेल त्या नम्रतेने उत्तर दिले,

"अहो, बरंच काम आहे करायला! खूप विषय आहेत, प्रश्न आहेत!"

बारावीच्या मुलाने १+१= ० असं उत्तर दिल्यावर करावसं तोंड करत अणि माझ्यावर जमेल तितका अविश्वास दाखवत मामांनी विचारले, 

"प्रश्न? अच्छा, मग तुम्ही मोठाच्या मोठा इण्टिग्रल सोडवता काय की हजार बाय हजारच्या म्याट्रिक्सचा गुणाकार करता?". प्रश्न सम्पताच इतरेतरांकडे एक विजयी मुद्रा टाकून माझ्याकडे प्रश्नार्थक चेहर्याने मामा बघते झाले.

     खरं सांगू, पुढे गणित प्राध्यापक मामांना मी काय उत्तर दिले, मग सगळे कसे फ़िसकटत गेले नि आईने मला नंतर कसे ताणले नि बाबा कसे खुसखुशीत हसत होते, ही कथा सांगण्यात काय फारसा अर्थ नाही! मात्र कोकणातील एका निवृत्त व्ह्यायला आलेल्या गणिताच्या शिक्षकांनी, बायो-केमिस्ट्रीच्य़ा सहसंशोधक मित्रांनी आणि गावाकडच्या अगणित अंतू बरव्यांनी विचारलेला प्रश्न असा सीन निर्माण करीन असं मला कधी वटलं नव्हतं! मागच्या भागात आम्ही काय विषय शिकतो यावर लिहीले, आणि आता उत्तर लिहिण्याचा प्रयत्न करतोय - "तुम्ही संशोधन करता म्हणजे करता काय?"

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

थोडीफार फ़ेमस फिजीक्साची उदाहरणे आहेत तेवढी.

शाळेमधे गुरुजी कायम सांगायचे की ज्ञानार्थींनी कायम का, कसे आणि कुठे हे प्रश्न विचारात राहिले पाहिजे. पण आता वाटते ज्ञानार्जन करणे हाच एकमेव हेतू आयुष्यभर असण्याला अर्थ नाही! आपणही कुठेतरी या ज्ञानभांडारात भर घालायला हवी. त्यामुळे ज्ञानार्थीपाणानंतर येते ती दशा म्हणजे संशोधन करणे. संशोधक हे वरील प्रश्नांची उत्तरे देतात. पण ही उत्तरे देण्याची प्रत्येक विषयाची स्वतःची पद्धती असते. म्हणजे, एखाद्या श्रद्धाळू आस्तिकाला प्रश्न केला की "झाडाची पाने हिरवी का असतात?" तर यावर उत्तर म्हणून "कारण ते देवाने तसे केला आहे" असा तो म्हणायला बसलाय. परंतु हे उत्तर जीवशास्त्रज्ञ मान्य करू शकत नाही. जर देवभक्ती हे शास्त्र मानले तर (मित्रहो, हा मोठा वादाचा मुद्दा आहे, मात्र मी जर-तर ची रचना केली आहे, हे ध्यानात असू द्या!) तर पहिले उत्तर या शास्त्राप्रमाणे बरोबर आहे. मात्र जीवशास्त्राची काम करण्याची रीत वेगळी आहे. ते लोक हे कारण मान्य करू शकत नाहीत. आज प्रत्येकच विषयातील संशोधनाची पद्धती आणि तत्वज्ञान जवळ जवळ ठरले आहे. यामध्ये तर्काशास्त्रानुरूप अर्ग्युमेंट देणे तर भाग आहेच, पण एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर कसे द्यायचे हे ही क्यरेक्टराईज केले आहे. उदा. रसायनशास्त्रामध्ये (ढोबळमानाने) एखादी रासायनिक प्रक्रिया फ़ोरकास्ट केली तरी पण जोवर ती ल्याबामध्ये केली जात नाही आणि आउट-पुट तपासले जात नाही, तोवर त्या थिरिओटीकल फ़ोरकास्टचा काही उपयोग नाही! असे एक प्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे आइनस्टाईनने त्याची "जनरल थिअरि ऑफ रिलटिव्हीटी" पब्लिश केल्यावरही जोपर्यंत एडिंगटनने सुर्यग्रहणामधे ती तपासली नाही तोवर ती मान्य केली नव्हती. आणि आत्ताचे उदाहरण म्हणजे लय लय फ़ेमस स्ट्रिंग  थिअरीचे! कागदोपत्री या थिअरीने बरेच प्रश्न सोडवलेत, पण तिला अजून प्रयोगांमधून यश आले नाहीये. त्यामुळे तिच्याबद्दल ठामपणे कोणी बोलत नाही.

एडिङ्गटनने आईन्स्टाइनचा सिद्धांत तपासताना
केलेल्या प्रयोगामागील कल्पना दाखवणारे चित्र

      अस्तु, तर गणित विषयामध्ये काय चालते? आकडा एक, की गणितामध्येही प्रश्न असतात, हे मागील लेखामधेच मी सांगितलेय (१+ १ = २ च का इ.इ.). आता याची उत्तरे कशी द्यायची? १+१=२ चा का, याचे मला शाळेतल्या एका मुलाकडून ऐकायला मिळालेले एक उत्तर म्हणजे, जर एक पेरू आणि अजून एक पेरू जवळ जवळ ठेवले तर दोन पेरू होतात, म्हणून! लहान मुलांसाठी हे ठीक आहे. पण थोडा विचार करा, खरेतर १+१=२ होतात म्हणून एक आणि एक पेरू मिळून दोन पेरू होतात! बरोबर ना?

     फार उदाहरणे न देत आता सांगतो. बराच काळ गणितामध्ये कोणते उत्तर खरे मानायचे यावर घोळ होता! महान गणल्या गेलेल्या लोकांनी एक प्रथा पाडून दिली होती की ज्या ज्या थिअरी वापरल्या आहेत त्यांची "Axioms" पाळणारे, सेट थिअरिचे नियम वापरून आणि इतर चिह्ने वापरून लिहिता येणारे, लॉजिकला पळणारे असे जर उत्तर असेल तर ते मान्य केले जाईल. परंतु अति-काटेकोर असणाऱ्या सार्याच गणितज्ञांना हे नियम अ-लिखित आहेत, ह्याचा फार त्रास होत असावा कदाचित! १९४० च्या सुमारास "एका" फ्रेंच गाणितज्ञाने† हा त्रास संपवला आणि एका महान पुस्तकामध्ये हे सारे नियम एकत्र केले. हे नियम वरील तीन नियमांप्रमाणेच होते, परंतु या गणितज्ञाने लॉजिकचे नेमके कोणते नियम वापरायचे, नेमकी कोणती चिह्ने=सिंबल्स वापरायची आणि त्यांचे अर्थ काय याची यादी केली, महत्वाची गृहीतके मांडली. इथेच मग पहिल्या लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे तर्कशास्त्र = गणिताचे व्याकरण आणि त्याने दिलेली यादी = गणिताची मुळाक्षरे असे ऒफ़िशिअली ठरवले गेले. हे नियम जगभर मान्य केले गेले. आज आपण जे गणित शिकतो त्यामध्ये इतकी सारी !, -> , =, ϵ ही चिह्ने, सेट थिअरी आणि लॉजिकमधील चिह्ने, कंस वापरण्याचे नियम का आहेत आणि तसेच का आहेत यांचा उगम या पुस्तकात आहे! गम्मत म्हणा किंवा दुर्दैव म्हणा, मला ज्यांनी शिकवले त्यापैकी एकही हायस्कूल मास्तरांना किंवा १२वी च्या ही शिक्षकांना हे माहिती नव्हते. यामुळे गणितामधील कॉन्सेप्ट राहतात दूर, पण चिह्नान्चाच बागुलबुवा उभा राहतो! तर हे झाले गणित आणि गणितातील उत्तरे लिहिण्याबद्दलाचे विवेचन. 

 

गणिताच्या लिपीतील काही अक्षरे

नाऊ लेट्स डिस्कस सम आयडीयाज!

       प्रश्न सोडवायचा कसा? याचा प्लान ऑफ अट्याक हा असा की: प्रश्न सोडवण्यासाठी मग आधी विचार केला जातो तो हा, की हाताशी असलेल्या काही थिअरिज आहेत का की ज्या वापरून हा प्रश्न सोडवता येईल. जर हे झाले तर ठीक. नाहीतर, हा प्रश्न कोणकोणत्या विषयांसोबत जोडला गेलेला आहे, त्यांचा परस्पर संबंध काय आहे आणि तो संबंध वापरून हा सोडवता येईल का का असा विचार होतो. यामुळे नवीन गृहीतके टाकावी लागत नाहीत. आणि हाताशी असणार्याच बाबी वापरून उत्तर मिळते. पण हे नाही नाही झाले तर बराच काथ्याकुट करावा लागल्याची उदाहरणे इतिहासात आहेत. उदाहरणार्थ, गर्ल/बॉय फ्रेंड जुना झाला असेल तर ती(तो) रुसली(ला) की फारसा विचार न करता आपण नेमका काय गुन्हा केला हे ध्यानात येते. कारण आजवरच्या अनुभावान्मुळे "रुसण्याची कारणे" हा डेटा अनालिसिस केला की एकतरी कारण सापडून जाते. पण तीच/तोच जेव्हा धर्मपत्नी/ पती होते/तो तेव्हा "माझे माहेर" वा "सकाळचे थंड पोहे" हे रुसव्याचे कारण असते नि ते शोधायला आत्ता पर्यंतचा डेटा नक्कीच पुरेसा नसतो! अशीच काहीशी गणितामध्ये ही स्थिती! उदाहरणार्थ, आइन्स्टाइनला त्याच्या कल्पना त्यावेळी वापरत असणारे गणित वापरून मांडता आल्या नाहीत. त्याने शोध घेतला तेव्हा त्याला मिन्कोव्हास्कीच्या भूमिती बद्दल कळाले आणि ही भूमिती वापरून त्याने काम केले. हे झाले पहिल्या प्रकाराचे उदाहरण, की जिथे असलेली साधनेच वापरली. नवीन थिअरी शोधाव्या लागल्याचे उदाहरण म्हणजे,: क्षेत्रफळ काढण्यासाठी न्युटनला त्या काळामध्ये जी गणिती अवजारे उपलब्ध होती, म्हणजे बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार-भागाकार-युक्लिडची भूमिती, ही काही पुरेशी पडली नाहीत. त्याला मग क्याल्कुलस=कलनाशास्त्र शोधून काढावे लागले.

      थोडे बाजूला जाउन, मला एका महत्वाच्या बाबीवर थोडे भाष्य करायचे आहे. ते म्हणजे "गणितामध्ये सगळ काही assume च करतात" ही टिका किंवा टिप्पणी वा ती जी काही असेल, तीवर थोडे विवरण. प्रत्येक प्रूफ किंवा थिअरम पूर्वी "समजा….", "असे मानूयात की…" "Let's assume…" किंवा "Let, ..." असे असते. शिवाय असंख्य व्याख्याही असतात. मग अशी टर उडवली जाते की गणितामध्ये सगळे समजूनच घ्यायचे असते. पण खरेतर या शब्दांचा शब्दशः अर्थ घ्यावयाचा नाही! एखादे उत्तर देण्यापूर्वी किंवा सिद्धांत मांडण्यापूर्वी आपल्या काय मर्यादा आहेत आणि आपल्याला नेमक्या कोणकोणत्या गोष्टी लागताहेत हे सांगण्यासाठी वापरले जाणारे ते शब्द आहेत. "माझी सिस्टिम अशी आहे, त्यामध्ये याचा अर्थ हा आहे,…" ही लांबलचक रचना टाळण्यासाठी "समजा…." असा साधा शब्द वापरला जातो. थोडक्यात तो एक syntax आहे. मोबाइल फोन वर काट मारलेली पाटी मंदिर किंवा हापिसासमोर असेल तर त्याचा अर्थ फोन घेऊन जाण्यास मनाई किंवा सायलेण्ट वर टाका असा असतो, फोन फोडा असा नाही! तशीच ही प्रथा††! 

याचा अर्थ फोन फोडा असा नाही!

आणि लिखाण करताना कायम सगळ्याच कन्स्ट्रेण्ट लिहित बसणे जिकीरीचे असते, त्यामुळे एखादी बाबा सारखी येत असेल तर त्या बाबीस किंवा संकल्पनेस नाव देऊन लिखाण सुलभ करावे म्हणून व्याख्या लिहिल्या जातात. उदा. 

 "वाहनाचे त्वरण (= acceleration) क्ष किमी/तास^२ आहे" 

हे लिहिणे 

"वाहनाने मागील तासामध्ये क्ष किमी अंतर कापले असून पुढील तासात ते क्ष^२ किमी अंतर कापेन आणि अशाच प्रकारे… (हुश्श… विचार करतानाच दम लागला!)" 

यापेक्षा कित्तीतरी पटीने सोपे आहे. 

म्हणून त्वरणची व्याख्या देणे गरजेचे आहे! शिवाय लेखकाने/ संशोधकाने नवी संकल्पना जन्माला घातली असेल आणि तिला नाव द्यायचे आहे, असे असेल तर त्या संकल्पनेची व्याख्या केली जाते. 

     तर हे झाले तात्विक विवेचन. लेख इथेच संपत नाही! पुढील पानावर ही सगळी फिलोसोफी वापरून नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय आणि त्यांची बेरीज करायची म्हणजे नेमके काय करायचे, हयांची उत्तरे सिद्ध केली आहेत. त्यामध्येच १+१=२ चे कारणही मिळेल. हि सिद्धता देताना सेट थिअरी सोडून इतर काहीही वापरलेले नाही! खरे सांगायचे तर प्रस्तुत लेख म्हणजे नंदीच्या शेपटाचे दर्शन आहे, शिवलिंग तर पुढे आहे!

∆  ∆

†एका फ्रेंच गाणितज्ञाने - याचे नाव मुद्दामच गाळलेय. या माणसावर एक मस्त खमंग लेख होऊ शकतो म्हणून! गाणिताभ्यासाकांनो Théorie des ensembles उर्फ Set Theory नामक अद्य पुस्तकाच्या महान लेखाकासंदार्भातच मी बोलतोय. या माणसाविषयीचे सत्य मला माहिती आहे, पण आवर्जून उल्लेख टाळतोय. :)

††खरेतर प्रथेपेक्षाही महत्वाचे कारण म्हणजे लॉजिकल अनालिसिस आहे. लॉजिक आवडणार्यांसाठी- समजा किंवा If (वा assume) मधील सर्व वाक्ये, हा लॉजिक डेटा मनाला जातो आणि ह्या डेटा मधील सर्व विधाने परस्परांशी ∧ ने जोडलेली आहेत असे समजले जाते. थिअरमचा रिझल्ट किंवा थिअरिचा रिझल्ट हा o/p मानला जातो.
आणि If ची विधाने imply  रिझल्ट अशी रचना असते. त्यामुळे डाटा बदलला तर o/p ही बदलले पाहिजे. म्हणून "समजा" किंवा if ची रचना केली जाते. हि रचना डाटा क्लेरीफाय करते.

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.

लेख क्र. शुन्य- तुम्ही नेमकं करता काय? -१

यत्ता "बी.यस्सी." ला गेलो. गणित हा मुख्य विषय म्हणून घेतला आणि मग काही प्रश्न सतत कानावर पडू लागले.  पुढे यम. यस्सी. आलेला त्यातील एक प्रश्न म्हणजे,  "गणित…! त्यात एम.एस्सी. करतात…? इतके काय शिकतात बाबा?". यम. यस्सी. नंतर गणितामध्ये संशोधन करण्यासाठी तयारी करतोय, असे सांगितल्यावर नवा प्रश्न आला , 

"गणितात संशोधन…! बापरे, म्हणजे किती आकडी गुणाकार सोडवता तुम्ही?" 

हा ब्लॉग  लिहायचा ठरल्यावर माझ्या जितक्या मित्रांना विषय सुचवा, म्हणून विचारले, त्यापैकी बर्याच जणांनी माझा मूळ प्रश्न डावलून  प्रश्न केला...

 "अरे, पण तुम्ही नेमकं  करता काय? "

तुम्ही नेमकं शिकता काय?

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

१०वी पर्यंतचे गणित थोडेफार आठवत असेल तर उत्तमच!

      खरे सांगायचं तर याचे नेमके आणि परिपूर्ण उत्तर देणे मला शक्य नाही, तेवढी माझी पात्रताही नाही. गणित या विषयाचा आवाका इतका मोठा आहे की ते सर्वकाही स्पष्ट करता येईल असे लिहिणे, ते ही माझ्यासारख्या गणिताच्या विश्वात केवळ विद्यार्थी  असणाऱ्या माझ्याने हे शक्य नाही! पण आता एकदाच मौन सोडतो नि या प्रश्नांची उत्तरे देण्याचा एक प्रयत्न करतो. दहावी- बारावीच्या गणितानंतर गणितामध्ये काय शिकतात आणि संशोधन करतात म्हणजे नेमके काय करतात, याचे उत्तर देण्याचा मी प्रयत्न करीन. हा आहे भाग पहिला.

        हायस्कूलनन्तर गणित शिकणे म्हणजे मोठ्यात मोठ्या आकड्यांच्या बेरजा-गुणाकार करणे का? आणि गणित म्हणजे केवळ आकडेमोड, त्रिकोण-चौकोन यांचे कोण मोजणे आहे का? असे बरेच प्रश्न पडतात. यांचे सरळ उत्तर मी देत नाही. आधी एक अनालोजी देतो.

       मराठी कुमारांच्या आयुष्यात आलेले पहिले प्रेम, ही जशी कायम आठवणीत ठेवायची गोष्ट आहे, तशीच एक गोष्ट म्हणजे झपाटून जाऊन एका बैठकीत, किंवा एका रात्रीत वाचून काढलेली एखादी कादंबरी! आपल्यापैकी बर्याच जणांची एक तरी आवडती कादंबरी असेल, "शाळा" म्हणा किंवा "श्रीमान योगी".  हि आवड निर्माण होताना या वाचनाची सुरुवात आणि उत्क्रांती कशी झाली असावी याचे एक स्केच काढू. बालपणी मुळाक्षरे, बाराखडी शिकलो. त्यावेळी जर त्याने मुलाने विचारले की याचा उपयोग काय, तर तो "काहीतारी वाचणे" इतकाच, असे सांगितले जाते. पुढे वाचन वाढत गेले, की केवळ शब्दांचा अर्थ न पाहता लिखाणाचा-कादंबरीचा भावार्थ लावणे जमू लागले की अभ्यास वाढला म्हणायला हवे. याही पुढे जाऊन, कादंबरीच्या या भावार्थाचे तत्कालीन स्थितिसोबत संदर्भ जोडून कादंबरीचे साहित्यिक आणि सामाजिक मुल्य ठरवणे हे अजून एक पाउल पुढे झाले! ( त्यापलीकडे जाऊन लेखकाच्या खाजगी आयुष्याचा अभ्यास, मानसिकतेचा अभ्यास आणि मग सामाजिक स्थिती, लेखकाची-समाजाची मानसिकता आणि कादंबरीची भाषिक मुल्ये व लेखकाची भाषिक कौशल्ये यांचा परस्पर संबंध लाऊन निष्कर्ष काढणे म्हणजे संशोधन. ). एक साधारण ढोबळमानाने, असा होतो भाषेचा अभ्यास. आणि आपण सर्वांनी आपली आवडती कादंबरी वाचताना या साहित्य प्रवासाचा अनुभव घेतला असतोच, फक्त इतका अनालिसिस आपण करत नाही.

      आता मी हाच प्रवास "गणित" विषयासाठी मांडतो, सुरुवातीला आकडेमोड शिकणे म्हणजे गणित या विषयाचा "श्रीगणेशा" झाला. मग रेषीय-वर्गीय समीकरणे (= लिनिअर-क्वाड्राटिक इक्वेशन्स) सोडवणे, शाब्दिक उदाहरणे सोडवणे (म्हणजे पुलांचे फुटके नळ, गळके हौद इ. इ.) आणि x, y, z किंवा "क्ष" नावाचे चल पद वापरायला शिकणे, भौमितिक आकृत्या काढता येणे ही झाली मुळाक्षरे. या सर्वांना वापरून आणि साधे भौमितिक सिद्धांत† सोडवणे, साइन-क्वास-ट्यान ची ओळख म्हणजे झाले "मदन नमन कर", "रामा शिरा कर" अशी रचना वाचता येणे. बस्स…ही झाली १० वी !  इथे आपल्यापैकी बरेच जण मग गणिताला राम राम ठोकतात! इथून पुढे गणिताच्या नावे कानाला खडा लावलेल्यांनी पुढचा परिच्छेद सोडून वाचले तरी हरकत नाही.

हायस्कूलातील भूमिती!

      पुढे जे जातात त्यांची ओळख मग द्वि-त्रिमितीय भूमिती, क्याल्कुलस, म्यट्रिक्स थेअरी, प्रोबाबिलीटी यांसोबत होते. हि ११-१२ वी ची पुस्तके म्हणजे "छान छान गोष्टी"! मग बरेचसे गाणितला अलविदा करतात. जे कोणी प्युअर फिजिक्स-गणित न करता इतर विषयांकडे वळतात त्यांची आणि क्याल्कुलास्ची जी लढाई जुंपते की डिग्री मिळाल्यावर पुन्हा गणोबचे नावच नाही! खरे सांगायचे तर हा विषय त्यांच्या किडनिमधे खर्याखुर्या क्याल्कुलसने (= मुतखडा)†† त्रास होणार नाही, इतका त्रास त्यांना देतो! त्यामुळे त्यांच्या वेदानेपायी तोंडी आलेल्या शिव्या अगदीच रास्त आहेत! या लोकांच्या पुस्तकांतील गणित मी "बालभारती"च्या मराठीसारखे आहे, असे मी नक्कीच म्हणेन. ही  झाली गणिताची बालभारती पर्यंतची गाथा. इथवर बरेच लोक येतात नि त्यांना  इथवर गणित हे नक्कीच माहिती असते. 

क्याल्क्युलासाचा बळी :) 

थोडक्यात काय तर, १० पर्यंत फक्त आकडेमोड आणि त्रिकोण-चौकोन, त्यापुढे फक्त क्याल्कुलस-म्याट्रिक्स-प्रोबाबिलीटी, हे सारे गणितात येते. आत्ता प्रश्न राहिला, पुढे काय? …. पुढे येतो भावार्थ आणि "रीडिंग बिटवीन द लाइन्स"! मला काय म्हणायचेय हे जर स्पष्ट करतो.

खिशाकडे हात जाताच हसत हसत उठला, 

पैसे नकोत सर जरा एकटेपणा वाटला.…. 

…. मोडून पडला संसार तरी मोडला नाही कणा

पाठीवरती हात ठेउन, तुम्ही फक्‍त लढ म्हणा !

कुसुमाग्रजांच्या "कणा" मधील ओळी ऐकून केवळ पैसे नको असे म्हणणारा तरुण समोर उभा राहत नाही. त्याची कठीण परिस्थिती, त्यामध्ये ही दाखवलेले मनोधैर्य या सर्वांचे मिश्रण सहजच होते आणि आणि मग कवितेचा "अर्थ" सापडतो.  यासाठी तो तरुण सरांचा कोण आहे, त्याची परिस्थिती काय, त्याची मानसिकता काय असेल, असे प्रश्न पटकन मनात येतात आणि त्यांची उत्तरेही पटकन मिळतात. हे झाले- रीडिंग बिटवीन द लाइन्स. हा झाला कवितेचा अभ्यास! असेच रीडिंग बिटवीन द लाइन्स गणितातही करता येते का? असे प्रश्न विचारता येतात का? असाच एक प्रसिद्ध प्रश्न म्हणजे न्युटनचा "सफरचंद खालीच का पडले§" हा प्रश्न! 

     

      होय, असेच भावार्थ शोधणारे प्रश्न गणितात पडतात. त्यापैकी काही पुढे दिले आहेत. यापैकी कितीतरी प्रश्न गम्मत म्हणून एरवी आपण विचारतो. परीक्षेआधी पुस्तक फेकून "साले, हे असाच का?" असं ओरडतोही.  पण, कोणी सांगायला नसते, की हे "खरेच" महत्वाचे प्रश्न आहेत. आणि त्यांची उत्तरेही उघड नसतात. 

उदाहरणार्थ, 

• १+१=२च का? १+०= १च का? 
•  वर्तुळाच्या परिमिती-क्षेत्रफळामध्ये, तो आकडी आणणारा आकडा "π" कुठून येतो?
• मूळ संख्या वापरून एखादी संख्या लिहिता येते, यात इतके काय भारी? लसावी मसावी का शिकायचा?
• वजा गुणिले वजा बरोबर अधिक, वजा गुणिले अधिक बरोबर वजा, असेच का?

हे बेसिक झाले. पुढे गेले तर, 

• म्याट्रिक्स गुणाकार तसाच का करायचा? (सरळ सरळ एकास एक गुणता येते की!)
• डिटरमिनंट का जन्माला आला? (आणि तो ही इतका किचकट फार्मुला जन्माला घेऊन!)
• लिमिट-कनटिन्युटीचा चा धडा कायम क्यालक्युलसच्या पहिल्या पानावर असतो, पण पुढे ते येते कुठे? 
• इंटिग्रेशन कायम [a, b] अशाच इण्टर्व्हल मध्ये का करायचे? जर इंफायनाईट इण्टिग्रल करायला गेले की वेगळा अभ्यास का करावा लागतो?

     एकदातरी असा प्रश्न तुम्ही स्वतःला किंवा मित्रला किंवा शिक्षकांना विचारलाच असेल, I am so very sure about it! गम्मत अशी आहे की, हेच खरे गणितातील प्रश्न आहेत. बेरजा-वजाबाक्या-फुटके गळके हौद हा केवळ ट्रेलर आहे! पुढे ते कुठेही येत नाहीत! तथाकथित हायर (प्युअर?) म्याथेम्यटिक म्हणजे याच प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा अभ्यास! ही उत्तरे मिळवण्याकरिता काही विषय, जे बी.(\ यम) एस्सी. ला शिकावे लागतात. 

म्हणजे नेमके कोणते विषय?

     जरा चटकन सांगतो. मागील लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे आधी शिकायची ती लॉजिकची भाषा! मग संच सिद्धांत (सेट थिअरी) आणि यांचा वापर करून ०+१ = १ वगैरे दाखवता येते! हेच पुढे चालवत पूर्णांक ( = इण्टिजर्स) आणि परिमेय संख्यांपर्यंत जाता येते. मग शिकतात ते म्हणजे "अनालिसिस". रिअल अनालिसिस म्हणजे रिअल क्यालक्युलसची जन्मकहाणी तर कॉम्प्लेक्स अनालिसिस ही कॉम्प्लेक्स क्यालक्युलसची! हे दोन्ही क्यालक्युलस कसे जन्मले, कसे वाढले, असेच कसे वाढले, इ. इ. प्रश्नांची उत्तरे हा विषय देतो. हाच विषय - x - = + नि - x + = -    या नियमांचे करण उलगडतो. लिमिट, इंटिग्रेशन, इंफायनाईट इण्टिग्रल यांचा परस्पर संबंध स्पष्ट करतो. नंबर थिअरि म्हणजे (पूर्णांक) संख्यांचा अभ्यास (पुढे अब्स्ट्रक्ट संख्यांचाही अभ्यास करतात). यामध्ये मूळ संख्या कशा मूळ आहेत, लसावी-मसावी साठी किती झगडा करावा लागतो आणि ते का महत्वाचे आहेत हे शिकवले जाते. मग "लिनिअर अल्जेब्रा" नावाचा विषय म्याट्रिक्स, व्हेक्टर्स, डिटरमिनंट यांची अख्खी कुंडली मांडतो. मेझ्यर थिअरी हा विषय प्रोबलिलिटिची सारी कहाणी कथन करते. तर डिफरंल्शिअल जिओमेट्री सगळ्या भूमितीची पायाभरणी करते. 

      संशोधन करताना, एक प्रश्न सुटतो, पण तो नव्या शंभर प्रश्नांना जमना देऊन जातो. त्यामुळे, या प्रश्नांची उत्तरे, नवे प्रश्न निर्माण करतात नि ही चेन अशीच सुरु राहते! यामुळे अजूनही कित्येक विषय आहेत जे आम्ही शिकतो की जेणेकरुन या प्रश्नंाची उत्तरे मिळवित! असे दोन फ़ेमस विषय म्हणजे: टोपोलोजी आणि अल्जेब्राइक जिओमेट्री.

      या सर्व विषयांचा वाढता विस्तार शिकणे म्हणजे कुमारभारती वाचणे नि त्यांचा परस्पर संबंध लावत, पूर्वी विचारलेल्या नि बावळट म्हणून गणल्या गेलेल्या प्रश्नांची उत्तरे शोधणे म्हणजे गणित नावाच्या कवितेचे आकालन होणे होय!

पुढील भागामध्ये "तुम्ही संशोधन म्हणजे नेमके काय करता? आणि सध्याचे नेमके प्रश्न कोणते आहेत?"

∆  ∆

लिहून त्यावर सुधारणा कशी करावी अशी चर्चा करत असता, "गणित करता म्हणजे नेमके काय करता" ह्याच विषयांवर लिहिण्यासाठी मला नितीन, योगेश आणि श्रेयस यांनी भाग पाडले! त्यामुळे जर ह्या लेखामुळे तुमचे काही प्रश्न सुटले असतील, तर ह्या तिकडीला ही त्याचे श्रेय! :)

तळटिपा:

†भौमितिक सिद्धांत- इथे भूमिती म्हणजे आपली १० वीतील युक्लिडीअन प्रतलीय भूमिती होय

††क्याल्कुलस- Oxford Dictionary प्रमाणे याचा एक अर्थ "मुतखडा" असा होतो.

§ ही कथा खरी की खोटी या वादामध्ये पडण्यापेक्षा मला हे उदाहरण महत्वाचे आहे! ;)

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.