"फलन" शब्दाची व्युत्पत्ती- एक भाषिक नि इतिहासविषयक टिप्पणी

शालेय पुस्ककांत Function या इंग्रजी शब्दासाठी मराठीमधे "फलन" असा प्रतिशब्द वापरलेला मला आठवतो. मराठी-हिन्दी विकीपीडीयावरही हाच शब्द वापरला जातो. अगदी मराठी विश्वकोश (या शब्दांवर टीचकी मारली की ते पान उघडेल) सुद्धा हाच प्रतिशब्द दिला आहे. मला नि माझ्या बर्याच मित्रांना प्रश्न पडला होता, की "फलन" हा शब्द का बापरला गेला असावा. कारण एकपदी^† (monomial), द्विपदी (binomial), बहुपदी (polynomial), चल (variable), उकल (solution), चौकोन (quadrilateral) असे अनेक पारंपारीक तांत्रिक शब्द एकतर "सेल्फ एक्लप्लनेटरी" आहेत. किंवा नैसर्गिक संख्या, वास्तव संख्या यांसारखे शब्द हे इंग्रजी शब्दांचे थेट थेट प्रतिशब्द आहे, हे कळते. फलन ही गणितातील मध्यावर्ती संकल्पना आहे. मात्र "फलन" हा शब्द वरीलपैकी एकाही गटात बसत नाही. काही काळ, माझ्या लिखाणांमधे नि चर्चांमधे फलन ऐवजी मी "जोडणी" असा शब्द वापरायचो. त्यामुळे one-to-on function ला एकास-एक-जोडणी, onto-function ला "(कोडोमेनला पूर्णपणे) झाकणारी जोडणी" अशा उत्तम रचना जमल्या होत्या. मात्र काही काळापूर्वी आर्यभटीयमधील एक श्लोक नि The rule of three वरील थोडे लिखाण वाचनात आले, नि "फलन"ची व्युत्पत्ती काय असू शकते, ते लक्षात आले. 

गणितामधे संज्ञा बनवताना त्या सेल्फ एक्लप्लनेटरी नि योग्य असतील याची फार काळजी घेतली जाते. मात्र कित्येकदा असं होतं, की एखाद्या मोठ्या गणित्याला दिसताना काहीती वेगळंच दिसतं नि तो तशी संज्ञा देऊन जातो. कालांतराने ती थिअरी इतकी वाढते की त्या संज्ञांचा नि या विषयाचा काही संबंध नाही असे वाटू लागते. मात्र, मूळ उदाहरणासोबत प्रामाणिक राहण्यसाठी नि त्या महान गणित्यांचा आदर करण्यसाठी म्हणून, अशा संज्ञा जशाच्या तशा वापरल्या जातात. याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे group, ring, field या संज्ञा होय (यांचे मूळ शोधून पहा बरं! हिल्बर्ट प्रभृती विद्वांनाकडे ते जाते!).

मला वाटते, फलन या संज्ञेचेही असेच झाले असावे. या संज्ञेची मला सुचलेली नि पटलेली  एक व्युत्पत्ती खाली देतोय.  फंक्शन्सची थिअरी आता इतकी वाढली आहे, की group, ring, field या संज्ञांसारखीच "फलन"ची ही गत झाली आहे!

या लेखातील गणिताची तीव्रता- ५पैकी १ मिरची
हा लेख वाचण्यासाठी फलनाची (function) व्याख्या(इथे टिचकी मारा) नि साधा गुणाकार-भागाकार आला की झाले!

सुरवात आपण काही साध्या सोप्या उदाहरणांनी नि त्यांच्या करू (याहून अधिक गणित या लेखात नाहीये!).
उदाहरण अ: जर एका माणसाला दिवसाचा पगार २०० असेल तर चार माणसांचा दिवसाचा पगार किती?
सोपं आहे ना सोडवणं-- ८००.
उदाहरण ब: दोन प्रोग्रॅमर मिळून दिवसभार एक कम्प्युटर प्रोग्रॅम लिहीत असतील तर आठ प्रोग्रॅमर मिळून दिवसात किती प्रोग्रॅम लिहीतील?
उघड आहे, ४.
उदाहरण क: मी जर दिड महीन्यात ब्लॉगसाठी एक लेख लिहीत असेन, तर एका वर्षात मी किती लेख लिहीतो?
उत्तर अाहे आठ.

ही उदाहरणे आपण कशी सोडवतो? अनुक्रमे पाहू.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष.

तर, क्ष = ४× २०० = ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम.

तर क्ष = ८/२=४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख.

तर क्ष= १२/१.५ = ८

इथे काही उदाहरणात गुणाकार केलाय, तर काहींमधे भागाकार. पण हे सर्व प्रश्न सोडवण्यासाठी एक साधी पद्धत आहे. शाळेतील गणिताचे तास आठवत असतील, तर तुम्ही हे नक्कीच ऐकले असेल,

जर अ साठी य असेल, तर ब साठी काय?

अ → य

ब → ?

"फुटके नळ, गळके हौद, काम-काळ" यांची गणिते सोडवण्या मागे हा मूळ प्रश्न असायचा. भारतीय गणितावाङ्मयामधे या प्रश्नास "त्रैराशिक" असं म्हटलं आहे. पहीले आणि दुसरे आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, श्रीधर, महावीर, दुसरे भास्कर या सर्वांनीच त्रैराशिकावर काम केले आहे. वरील प्रश्नात जर ब साठी क्ष असे मानले तर पहील्या आर्यभटांनी वापरलेल्या संज्ञा-- नॉमेनक्लेचर असे,

अ - प्रमाण,    य-( प्रमाणासाठीचे) फल

ब- इच्छा,    क्ष- (इच्छेसाठीचे) फल

आर्यभटीय मधे श्लोक २६ मधे पहीले आर्यभट त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत अशी सांगतात (संदर्भ२):

त्रैराशिकफलराशिं तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा।

लब्धं पमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिं स्यात्।। 

अर्थ- फल आणि इच्छा यांचा गुणाकार करावा नि त्याला प्रमाणाने भागावे. (मिळणारा) भागाकार हा इच्छेसाठीचे फल मिळते.

म्हणजेच  

क्ष = (ब × य)/ अ

वरील आकड्यांचा तक्ता बनवला, तर,

 अ      य

 ब       क्ष

तक्ता १

आर्यभट सांगतात की ब नि य चा तिरकस गुणाकार करून त्याला अ ने भागायचे! पण हे तर आपणा सर्वांनाच माहीत असते, की तिरकस गुणाकार करून भागायचे! पाश्चिमात्यांनी या सूत्राला The rule of three, The golden rule असं म्हटलं. अरबी गणित्यांनी हे सूत्र भारतामधून युरोपात नेले (संदर्भ१).

लेखाच्या आरंभीच्या सर्व उदाहरणांत, कळत न कळतच का होइना हेच सूत्र वापरले आहे.

अ. १ माणूस → २००

४ माणसे → क्ष

 क्ष = (४× २००)/१ = ४× २००= ८००

ब. २ प्रोग्रॅमर → १ प्रोग्रॅम

८ प्रोग्रॅमर → क्ष प्रोग्रॅम

क्ष =  (८× १ )/२= ८/२= ४

आणि शेवटच्या उदाहरणात,

क. १.५ महीना → १ लेख

१२ महीने → क्ष लेख

क्ष = (१२×१)/१.५ = १२/१.५ = ८

आपल्या मूळ प्रश्नाकडे वळू:  फंक्शनला फलन हा शब्द कसा सुचवला गेला असावा. तर मला असे वाटते की: त्रैराशिकाप्रमाणचे, बहुराशिकेही बनवली गेली म्हणजेच the rule of five, the rule of seven,... the rule of odds इत्यादी. सर्व गणित्यांनी या सर्व बहुराशिकांसाठी पहील्या आर्यभटांच्याच संज्ञा वापरल्या. म्हणजे वरील तक्यांमधे डावीकडील शेवटी संख्या सोडून इतरांना प्रमाण असं नि शेवटच्या संख्येस इच्छा असं संबोधलं गेलं. उजवीकडील संज्ञांना फल असे म्हटले गेले. थोडा विचार केलात ते दिसेल की मूळात त्रैराशिक हे एक अतिशय सोपे फंक्शन आहे,

अ → य

ब  → क्ष

फंक्शन स्वरूपात त्रैराशिक

या फंक्शनचा डोमेन {अ, ब} नि कोडेमेन {य, क्ष} आहे.

मला वाटते की फंक्शनची संकल्पना न्यूटन प्रभृतींनी जेव्हा मांडली नि ती आपल्याकडे आली तेव्हा हे त्रैराशिकाचे उदाहरण डोळ्यासमोर ठेउन तात्कालीन गणिताभ्यसकांनी,

 प्रमाणांच्या फलांसोबत जोड्या लावून देण्याची प्रक्रीया म्हणजे फलन,

 असा विचार करून फंक्शनला फलन असा प्रतिशब्द सुचवला असावा. त्रैराशिकांना फंक्शन म्हणून घेणे अतिशय स्वाभाविक आहे.

केवळ आपल्या पाठ्यपुस्कतच नाही, तर आकडेमोडीच्या सर्वच गणितीशाखांमधे त्रैराशिकाचे अनन्यसाधारण महत्व होते. दुसर्या भास्कराचार्यांनी सिद्धांतशिरोमणीमधे म्हटले आहे (संदर्भ१, पान २२०) "गणितामधील वर्ग नि वर्गमूळ, घन नि घनमूळ सोडले तर सर्व प्रक्रीयांचे मूळ त्रैराशिकच आहेत" . त्रैराशिकाचा नियम सर्व गणित्यांनी फार मूलभूत मानला होता, नि त्यामुळे तो अभ्यासकांमधे प्रसिद्ध असणे स्वाभाविक आहे. शिवाय त्रैराशीकासंबधीच्या वरील संज्ञाच सर्वांनी वापरलया आहेत.  त्यामुळे या संज्ञा अभ्यासकांना माहीत असणे नि त्यापासून फलन शब्दाची व्युत्पत्ती होणे स्वाभाविक आहे.

या लेखामधे त्रैराशिक सोडवण्यसाठी तक्ता बनवण्याची जी पद्धत मी वापरली आहे, त्यामुळे त्रैराशिकास फंक्शन म्हणून पाहणे सोपे झाले आहे. असा तक्ता बनवून त्रैराशिक सोडवण्याची पद्धत पारंपारीक आहे. मी ती शोधलेली नाही. फक्त, पारंपारीक तक्त्यामधील ओळी (row) आणि स्तंभाची (column) मी आदलाबदल केली आहे. ही पद्धत पारंपारीक असल्याने, त्रैराशिकाला फलन म्हणून विद्वानांनी घेतले असण्याची शक्यता अधिकच आहे.

वाचकांपैकी कुणास अधिक माहीती असल्यास, खाली प्रतिक्रीया लिहून, अधिक प्रकाश टाकावा.

संदर्भ:
१. बिभूतीभूषण दत्त आणि अवदेश नारायण सिंग,
History of Hindu Mathematics (A source book) Part- I & II,
 धडा २ रा विभाग १२.
Asia Publishing House, 1935, 1938.

२. आर्यभट्ट आणि टीकाकार परमादीश्वर,
The Aryabhatiya, a manual of astronomy, with the Commentary of Bhatadipika of Parameadiçvara,
विभाग- गणितपाद:, पान क्र. ४२, मूळश्लोक २६,
माझ्याकडील आवृत्तीमधे प्रकाशक दिसत नाहीत, मात्र University Of California LA च्या ग्रंथालयातील प्रत आहे.

एक उदाहरण:
The rule of three चा आणि हौद-नळांच्या गणितांचा काय संबंध, तर अतिशय साधे उदाहरण खालीलप्रमाणे:
जर एक नळ २ तासात ३ बादल्या भरत असेल तर ९० बादल्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?
सोप्या भाषेत,

३ला २; तर ९० ला किती?

तो वेळ क्ष मानू. तर आपले गणित होईल

३ → २

९०  → क्ष

आणि क्ष= (२x९०)/३=६० तास.
वराहमिहीरांनी खगोलशास्रांतील आकडेमोडींसाठीही हे सूत्र वापरून त्याचा जयकयकार केला होता. घरचा अभ्यास म्हणून शाळेतील पुस्तक शोधा आणि कुठे कुठे हे सूत्र वापरता येते ते पहा. गणिताचार्यांनी या सूत्रास इतके महत्व दिले किंवा पश्चिमेकडे याला The golden rule का म्हटले गेले हे तुम्हाला दिसेलच.

तळटीपा:

†एकपदी (monोmial), द्विपदी (binomial), बहुपदी(polynomial) - इथे "पद" या शब्दाचा अर्थ अवयव किंवा appendage असा आहे. त्यामुळे एक अवयव असणारी ती एकपदी इत्यादी. या शब्दांसाठीच्या इंग्रजी शब्दांचीही अशीच फोड होते. मात्र प्रस्तुत मराठी शब्द हे मूळ संस्कृत शब्द आहेत. आणि इंग्रजी शब्दांपेक्षा जास्त जुने आहेत. ते इंग्रजी शब्दांचे भाषांतर नाहीत, तर मूळ शब्द आहेत.
चल (variable)-चल म्हणजे अर्थाप्रमाणे हलणारी, अस्थीर असे. Vairable साठी हा शब्द चपखल बसतो.
उकल (solution), चौकोन हे ही सरळ सरळ त्यांच्या अर्थावरून घेतले आहेत.

∆  ∆

प्रश्न (नैसर्गिक) संख्यांच्या अस्तित्वाचा

God gave us the integers, all else is the work of man
- Kronecker 

(मागील लेखावरून पुढे चालू)
मागे बरीच तात्विक चर्चा झाली. पण युद्ध आणि पीएच. डी. केल्याशिवाय त्याचा अर्थ कळत नाही, असा म्हणतात, कदाचित गणिताचेही तसेच आहे. गणित केल्याविना त्याचा अर्थ कळणे शक्य नाही. मी या लेखामध्ये "नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात असतात"  ( :-o ) हे सिद्ध करतोय. या साठी केवळ संच सिद्धांत आणि लॉजिक वापरतोय. शक्य तितक्या वाचकांना कळेलसा प्रुफ देण्याचा प्रयत्न आहे. या सिद्धातेमागिल विचार आणि तत्वज्ञान पूर्वीच्या लेखात सांगितले आहे आणि ते ध्यानात ठेऊन वाचले तर नक्कीच तुम्हाला वाचताना बोअर  होणार नाही, उलट "गणित कळल्याचा" आनंदच होईल, हे मी खात्रीने सांगतो! तर, हा आनंद उपभोगण्यासाठी मागील  लेखातील विचार हवे आणि मागील लेख नेमका कळण्यासाठी थोडे गणित हवे… रोजच्या आकडेमोडीसाठी ०,१,२,... अशा संख्या आपण वापरतो. त्यांचा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. या संख्या आपण वापरताना त्यांचं अस्तित्व आपल्यासाठी अगदीच स्पष्ट असतं. मात्र गणिती मात्र प्रश्न विचारतात की संच सिद्धांत नि तर्कशास्त्र वापरून अशी (संचीय+तर्कीय :P) सिस्टीम बनवता येईल का, की जीमधे नैसर्गिक संख्यांचे सर्व गुणधर्म असतील?
 लेखामध्ये अशील संचीय+तर्कीय सिस्टीम अस्तित्वात आहेत याची गणिती सिद्धता मी देतोय. याच सिस्टीमला नैसर्गिक संख्याचा संच म्हणतात.
चटपटीत भाषेत सांगायचं, तर "नैसर्गिक संख्यांच्या अस्तीत्वाची" गणिती सिद्धता मी देतोय.
तर करूयात सुरुवात… 

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी २ मिरच्या

(नैसर्गिक) संख्या म्हणजे नेमकं काय?

     गणिताच्या खेळाचे नियम पाळूत मुळापासून विचार करू. खेळाची पहिली अट आहे  की प्रत्येक संख्या संचांच्या भाषेत 

लिहिता आले पाहिजे आणि प्रत्येकाची संचीय व्याख्या असायला हवी. इथे पहिला प्रश्न उभा राहतो तो असा की १ म्हणजे नेमके काय? किंवा २ म्हणजे काय? किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणजे काय?

१=एक सफरचंद, २= दोन सफरचंद,…?

१ म्हणजे "एक सफरचंद" काय? पण तसे असेल तर "एक आंबा" ही संकल्पना दाखवण्यासाठी वेगळे चिह्न वापरले पाहिजे. शिवाय सफरचंद, आंबा ह्या संकल्पना संचाच्या भाषेत लिहिणे अशक्य आहे! त्यामुळे मुळ प्रश्न बाजूला ठेवून पहिला प्रश्न सोडवावा लागेल, तो म्हणजे नैसर्गिक संख्यांची योग्य अशी व्याख्या करणे. मग संख्या दिल्या की दोन संख्यांची बेरीज कायची म्हणजे नेमके काय करायचे हे ठरवणे. आणि मग आपले विधान सिद्ध करणे आले. चला तर मग, नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय हे संचांच्या राज्यामध्ये शोधूयात….!

                                                           १. नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या

नैसर्गिक संख्यांचा वापर मुळात मोजण्यासाठी होतो. त्यामुळे त्यांची व्याख्या देताना हा त्यांचा गुणधर्म लक्षात ठेवणे गरजेचे आहे. दुसरी बाब अशी की नैसर्गिक संख्यामध्ये क्रमवारीतेचा गुणधर्म (= वेल डिफ़ायिण्ड ऑर्डरिंग) असतो. म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्या दिल्या तर त्यामधील लहान कोणती, मोठी कोणती ते सांगता येते. शिवाय दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते†. खरेतर, साधे सुधे काउण्टिङ्ग करताना केवळ आणि केवळ नैसर्गिक संख्यांच्या मुलभुत गुणधार्माचाच वापर होतो. अजून एक सांगायची बाब अशी की नैसर्गिक संख्या म्हणजे {१, २, ३, … } असे आपल्याला सांगितलेले असते, मात्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ्यांनी {०, १, २, ३, … } यांना नैसर्गिक संख्या म्हटले होते, आणि आज गणितामधेही यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात. याची काही महत्वाची कारणे आहेत (जिज्ञासुंनी  मेल लिहून कळवा, उत्तर दिले जाईल). आपणही ० ला घेणार आहोत. तर पहिले ठरवू ० म्हणजे काय.  याचे उत्तर सोपे आहे. जर ० म्हणून मला संच वापरायचा असेल तर नक्कीच मी रिक्त संच (एम्प्टी सेट) वापरेन! म्हणजेच रिक्त संचास नेहमी आपण ∅ असे लिहितो, ते आज ० म्हणून लिहायचे. तर,

० := ∅ 

मग प्रश्न येतो तो १ म्हणजे काय असा. इथे थोडे डोके लावावे लागेल. कारण १ साठी पण एक संचच लिहिण्याचा मानस आहे. आणि मग सारे नैसर्गिक आकडे मी असेच संच म्हणून लिहित जाईन. त्यांची बेरीज म्हणजे या संचांचा योग संच घेणे (युनियन घेणे)  अस विचार आहे. पण तो कितीपत यशस्वी ठरेल हे माहिती नाही. आता १ साठी कोणता संच घ्यायचा ते ठरवायचं आहे. पण संच सिद्धांतामध्ये फक्त एकाच संच "देवाने" दिला आहे, तो म्हणजे रिक्त संच ∅! नवे संच बनवायला नवी सिम्बल घ्यावी लागतील आणि मग ती सिम्बल्स काय आहेत हे सांगण्यासाठी नवी गृहीतके घ्यावी लागतील. हे तर आपल्याला नको आहे. म्हणून मग, ∅ वापरूनच नवे सिम्बल बनवावे लागेल. ते कसे बनवायचे? एक युक्ती आहे, तिला म्हणतात सक्सेसर सेट. दिलेल्या संचाचा सक्सेसर सेट म्हणजे तो संच आणि त्यामधील सारे घटक असणारा संच.  उदा. अ चा सक्सेसर संच = अ ∪ {अ}. 

तसेच,

∅ चा सक्सेसर संच =  ∅ ∪ {∅} = {∅}

लक्षात घ्या की ∅ आणि {∅} वेगळे आहेत. ∅ रिक्त आहे आणि {∅} मध्ये एक घटक आहे, त्यामुळे तो रिक्त नाही.

उत्तम, आता हिच क्लुप्ती वापरून नवे संच बनवू, 

म्हणजेच रिक्त संच, रिक्त संचास इनक्लुड करणारा संच, रिक्त संच आणि या मागील संचास इनक्लुड करणारा संच, … इत्यादी.

आता हे लिहिणे सुटसुटीत व्हावे म्हणून त्यांना नावे देवूयात, 

∅ ला नाव दिलेच आहे, शुन्य. 

∅ चा सक्सेसर संच =  {∅}  याला एक म्हणू 

{∅}  चा सक्सेसर संच = {∅,  {∅} } याला दोन म्हणू, 

. 

. 

आणि असेच पुढे. 

थोडक्यात काय तर 

०  := ∅

१  := {∅} 

 २ := {∅,  {∅} } ={ ०, १}

३ := {∅,  {∅},  {∅,  {∅}}  } = {०, १, २}

.

.

.

आणि असेच पुढे.

     ही झाली ० ,१ , २ ची संचीय व्याख्या. नैसर्गिक संख्यांचा अतिमहत्वाचा एक गुणधर्म म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्यांची तुलना करता येते, म्हणजेच कोणती मोठी कोणती लहान हे सांगता येते. या सन्चीय व्याख्येमध्ये ही तुलना शक्य आहे का? तर होय! कसे? ते असे:

     न आणि म हे वरील प्रमाणे संच नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील दोन संच  (म्हणजेच दोन नैसर्गिक संख्याच ) घ्या. जर "न" हा "म" चा उपसंच असेल तर आपण न < म असे म्हणायचे . म्हणजेच "न" पुर्णपणे "म" च्या आत बसला असेल तर न हा म पेक्षा लहान आहे. ही व्याख्या फारच स्वाभाविक आहे. जसे पहा ∅ हा प्रत्येकच संचाचा उपसंच असतो, त्यामुळे ० = ∅ हा प्रत्येकच नैसर्गिक संख्येपेक्षा लहान ठरतो. तर १ = {∅} हा ∅ मध्ये नाहीये, त्यामुळे ० हा १ पेक्षा मोठा नाही. पण, १={∅} हा {∅,  {∅} } = २ चा उपसंच आहे. त्यामुळे  १ हा २ पेक्षा लहान होतो. त्यामुळे आपली व्याख्या बरीच योग्य आहे असे दिसते.

     आता वळू बेरजेकडे. संचाची युती म्हणजे बेरीज म्हणणे खूप स्वाभाविक वाटते, पण ते शक्य नाही. कारण ० ∪ १ = १ म्हणजेच ० + १ = १ किंवा ० ∪ २ = २ येते खरे, मात्र कोणत्याही संचाची त्याच्याच सोबत युती केली असता तोच संच परत मिळतो. त्यामुळे कोणतीही संख्या स्वतःमध्ये मिळवली असता आपल्याला तीच संख्या माघारी मिळेल! निसर्ग अशी बेरीज करत नाही! त्यामुळे दुसरे काहीतरी शोधणे भाग पडते.

२. संख्यांची बेरीज:

बरेच खटाटोप केल्यावर असे ध्यानात आले की,  सरळ सरळ बेरीज करणे शक्य नाही. सर्वच्या सर्व बेरजा देण्याऐवजी केवळ काही ठरावीक बेरजांची व्याख्या आपण करू नि मग त्यावरून इतर बेरजा करणे शक्य होईल. पहिली व्याख्या: शून्यासाठी नियम  ठरवायचा की ० +१ = १.  इतर संख्यांचे काय करायचे? आपण सक्सेसर वापरून संख्या बनवल्या आहेत. त्यामुळे ही बेरजेची व्याख्याही सक्सेसर वापरून करता आली तर गृहीतकं कमी होतील. एक छोटे निरीक्षण असे करता येईल की नित्याच्या आयुष्यात ०+१=१, १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असते. सक्सेसरची संकल्पना वापरून असे दिसेल की

१+१ := १ चा सक्सेसर संच = {० ,१} = २ . 

१+२ := २ चा सक्सेसर संच = ३

. 

.  

१+  न := न चा सक्सेसर = न+१

. 

. 

म्हणजेच कोणत्याही नैसर्गिक संख्येमध्ये १ मिळवायचा म्हणचे त्या संख्याशी निगडीत संचाचा सक्सेसर घ्यायचा. अरेरे, पण आत्ता खूपच जास्त (म्हणजे, खरेतर, अनंत) व्याख्या झाल्या! इतकी अझम्पशन्स बरी नाहीत. परंतु, नीट पहिले असता ध्यानात येईल की ह्या व्याख्या जरी अनंत दिसत असल्या तरी त्या एका ओळीमध्ये लिहिता येतात. त्या अशा की " शुन्येतर नैसर्गिक संख्या न साठी १+  न = न चा सक्सेसर". 

ही केवळ एकाच व्याख्या झाली! ही व्याख्या वापरून कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते, गुणकारही करता येतो! दोन संख्या  न आणि  म दिल्या असता त्यांची बेरीज  न + म = १+१+ … +१ (न वेळा) + म,  असे करून मग १+म  अशी बेरीज करता करता मूळ बेरीज काढता येईल. आणि न x म = न  वेळा म  ची बेरीज असे करता येईल.

     म्हणजेच महत्वाची आकडेमोड आपल्याला संच वापरून करता येतेय!

म्हणजे आपण सिद्ध केले की नैसर्गिक संख्या म्हणजे काही संचांचा बनलेला संच आहे, आणि क्रमवारीता, बेरीज, गुणाकार ही सर्व संचीय ऑपरेशनस आहेत! मातृभाषा इंग्रजीमध्ये ;) बोलायचे तर Set of natural numbers is a set which consists of some other sets. The operations: comparison, addition and multiplication of two natural numbers are also given by set theoretic operations.

३. तात्पर्य:

आता जर तुमचे डोके ठिकाणावर असेल तर, या सर्व द्राविडी प्राणायामाचे तात्पर्य  सांगतो. 

• पहिली बाब अशी की केवळ मुलभुत चिह्ने वापरून आपण  नैसर्गिक "संख्या" म्हणजे काय याचे उत्तर दिले.
• संख्या म्हणजे काय, हे ठरवल्यावर आपण लहान मोठी संख्या सांगू शकलो. 
• संख्यांचा बेरीज-गुणाकारही या मुलभुत स्वरुपात करता आला.
• इंग्रजी-मराठी भाषा, पेरू-आंबा ही फळे अशा बाबी न वापरता अतिशय रिगरसली पक्की थिअरी बनवता आली, केवळ संच आणि लॉजिक वापरल्याने, या थिअरीचा वापर यंत्रे करू शकतात (कारण यंत्रांना सेट आणि लॉजिकच कळते).
• गणित या शास्त्राची गृहीतके खूप कमी दिसत असली तरी निदान नित्याची आकडेमोड केवळ ही गृहीतके वापरून करता येते हे, सिद्ध झाले. त्यामुळे हे गणित नावाचे शास्त्र empty नाही हे सिद्ध होते ! :)

 ४. थोडीशी गंमत  

नैसर्गिक संख्या नावाची जी सिस्टीम एरवीच वापरली जाते, तिच्या अस्तीत्वासाठी जरा जास्तच गृहीतकं लागतात. म्हणजे की, प्रत्येक संख्या अस्तीत्वात असायलाच हवी (हे खरंतर खुप मोघम गृहीतक आहे. कारण संख्या अनंत आहेत नि कंटीनम हायपोथीसीस शिकलेल्यांना माहीतच असेल की अनंतची भानगड फार अंगाशी येणारी आहे!), शिवाय त्यांची बेरीज करताना १+१=२च हवे (१+१=० किंवा १ चालणार नाही). ही दोन गृहीतकंच या सिस्टीमच्या वापरावर मोठी बंधने आणतात (वापर म्हणजे कंप्युटींग किंवा संशोधनात इतरत्र). आपल्या रचनेमधे मात्र आपण अतिशय कमी गृहीतकं वापरली आहेत.

इथे सांगण्याची गंमत अशी की व्याख्येप्रमाणे १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असले तरी ३+४=७ हे इथे सिद्ध करावे लागते नि ते सिद्धही करता येते. कसे, तर

३+४ =(२+१)+४ =(१+१)+(१+४) =१+(१+५) =१+६=७ 

     अस्तु, रिगरस  गणिताची ही ओळख पुरे! अखेरीस सांगतो, गणित म्हणजे काय तर, दिलेला प्रश्न संच-लॉजिक-क्याटेगरी च्या भाषेत मांडणारे आणि त्याची उत्तरेही त्याच भाषेत शोधणारे  अन त्यासाठी नवनवीन कल्पना जन्माला घालणारे शास्त्र! कमीत कमी नियम वापरून  निसर्गाचा काटेकोरपणे अभ्यास करायचा प्रयत्न हा विषय करतो!

God gave us the integers, all else is the work of man

∆  ∆

हा लेख प्रूफरीड करायला भूषणने मदत केली. त्याबद्दल आभार :)

तळटीपा:

†नैसर्गिक संख्यांचे गणिताच्या दृष्टीने महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे  त्यांची क्रमवार मांडणी करता येते, कोणताही रिक्त नसणारा उपसंच घेतला तर त्यामध्ये एक सर्वात लहान संख्या असते (= प्रिन्सिपल ऑफ वेल ऑर्डरींग ) आणि त्या काउण्टेबल (ही तांत्रिक संज्ञा आहे) आहेत.

१ . Kronecker- हा एक प्रसिद्ध जर्मन गणिती आहे. त्याने लिनिअर अल्जेब्रास दिलेले क्रोनेकर डेल्टा चिह्न प्रसिद्ध आहे. त्याचे विकी पेज हे आहे.

२. वरील पद्धतीशिवाय कर्डिन्यालिटी अर्ग्युमेंट,  पियानोची गृहीतके वापरून केलेली व्याख्या या रचनाही नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात आहेत, हे सिद्ध करण्यासाठी वापरले जातात. मी पहिल्यांदा वाचलेली आणि अजूनही मला आवडणारी ही रचना आहे. शिवाय गणिताची बौद्धिक बैठक कमी असली तरीही ही सिद्धता देता येते. म्हणून लिहिली.