प्रश्न (नैसर्गिक) संख्यांच्या अस्तित्वाचा

God gave us the integers, all else is the work of man
- Kronecker 

(मागील लेखावरून पुढे चालू)
मागे बरीच तात्विक चर्चा झाली. पण युद्ध आणि पीएच. डी. केल्याशिवाय त्याचा अर्थ कळत नाही, असा म्हणतात, कदाचित गणिताचेही तसेच आहे. गणित केल्याविना त्याचा अर्थ कळणे शक्य नाही. मी या लेखामध्ये "नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात असतात"  ( :-o ) हे सिद्ध करतोय. या साठी केवळ संच सिद्धांत आणि लॉजिक वापरतोय. शक्य तितक्या वाचकांना कळेलसा प्रुफ देण्याचा प्रयत्न आहे. या सिद्धातेमागिल विचार आणि तत्वज्ञान पूर्वीच्या लेखात सांगितले आहे आणि ते ध्यानात ठेऊन वाचले तर नक्कीच तुम्हाला वाचताना बोअर  होणार नाही, उलट "गणित कळल्याचा" आनंदच होईल, हे मी खात्रीने सांगतो! तर, हा आनंद उपभोगण्यासाठी मागील  लेखातील विचार हवे आणि मागील लेख नेमका कळण्यासाठी थोडे गणित हवे… रोजच्या आकडेमोडीसाठी ०,१,२,... अशा संख्या आपण वापरतो. त्यांचा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. या संख्या आपण वापरताना त्यांचं अस्तित्व आपल्यासाठी अगदीच स्पष्ट असतं. मात्र गणिती मात्र प्रश्न विचारतात की संच सिद्धांत नि तर्कशास्त्र वापरून अशी (संचीय+तर्कीय :P) सिस्टीम बनवता येईल का, की जीमधे नैसर्गिक संख्यांचे सर्व गुणधर्म असतील?
 लेखामध्ये अशील संचीय+तर्कीय सिस्टीम अस्तित्वात आहेत याची गणिती सिद्धता मी देतोय. याच सिस्टीमला नैसर्गिक संख्याचा संच म्हणतात.
चटपटीत भाषेत सांगायचं, तर "नैसर्गिक संख्यांच्या अस्तीत्वाची" गणिती सिद्धता मी देतोय.
तर करूयात सुरुवात… 

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी २ मिरच्या

(नैसर्गिक) संख्या म्हणजे नेमकं काय?

     गणिताच्या खेळाचे नियम पाळूत मुळापासून विचार करू. खेळाची पहिली अट आहे  की प्रत्येक संख्या संचांच्या भाषेत 

लिहिता आले पाहिजे आणि प्रत्येकाची संचीय व्याख्या असायला हवी. इथे पहिला प्रश्न उभा राहतो तो असा की १ म्हणजे नेमके काय? किंवा २ म्हणजे काय? किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणजे काय?

१=एक सफरचंद, २= दोन सफरचंद,…?

१ म्हणजे "एक सफरचंद" काय? पण तसे असेल तर "एक आंबा" ही संकल्पना दाखवण्यासाठी वेगळे चिह्न वापरले पाहिजे. शिवाय सफरचंद, आंबा ह्या संकल्पना संचाच्या भाषेत लिहिणे अशक्य आहे! त्यामुळे मुळ प्रश्न बाजूला ठेवून पहिला प्रश्न सोडवावा लागेल, तो म्हणजे नैसर्गिक संख्यांची योग्य अशी व्याख्या करणे. मग संख्या दिल्या की दोन संख्यांची बेरीज कायची म्हणजे नेमके काय करायचे हे ठरवणे. आणि मग आपले विधान सिद्ध करणे आले. चला तर मग, नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय हे संचांच्या राज्यामध्ये शोधूयात….!

                                                           १. नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या

नैसर्गिक संख्यांचा वापर मुळात मोजण्यासाठी होतो. त्यामुळे त्यांची व्याख्या देताना हा त्यांचा गुणधर्म लक्षात ठेवणे गरजेचे आहे. दुसरी बाब अशी की नैसर्गिक संख्यामध्ये क्रमवारीतेचा गुणधर्म (= वेल डिफ़ायिण्ड ऑर्डरिंग) असतो. म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्या दिल्या तर त्यामधील लहान कोणती, मोठी कोणती ते सांगता येते. शिवाय दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते†. खरेतर, साधे सुधे काउण्टिङ्ग करताना केवळ आणि केवळ नैसर्गिक संख्यांच्या मुलभुत गुणधार्माचाच वापर होतो. अजून एक सांगायची बाब अशी की नैसर्गिक संख्या म्हणजे {१, २, ३, … } असे आपल्याला सांगितलेले असते, मात्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ्यांनी {०, १, २, ३, … } यांना नैसर्गिक संख्या म्हटले होते, आणि आज गणितामधेही यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात. याची काही महत्वाची कारणे आहेत (जिज्ञासुंनी  मेल लिहून कळवा, उत्तर दिले जाईल). आपणही ० ला घेणार आहोत. तर पहिले ठरवू ० म्हणजे काय.  याचे उत्तर सोपे आहे. जर ० म्हणून मला संच वापरायचा असेल तर नक्कीच मी रिक्त संच (एम्प्टी सेट) वापरेन! म्हणजेच रिक्त संचास नेहमी आपण ∅ असे लिहितो, ते आज ० म्हणून लिहायचे. तर,

० := ∅ 

मग प्रश्न येतो तो १ म्हणजे काय असा. इथे थोडे डोके लावावे लागेल. कारण १ साठी पण एक संचच लिहिण्याचा मानस आहे. आणि मग सारे नैसर्गिक आकडे मी असेच संच म्हणून लिहित जाईन. त्यांची बेरीज म्हणजे या संचांचा योग संच घेणे (युनियन घेणे)  अस विचार आहे. पण तो कितीपत यशस्वी ठरेल हे माहिती नाही. आता १ साठी कोणता संच घ्यायचा ते ठरवायचं आहे. पण संच सिद्धांतामध्ये फक्त एकाच संच "देवाने" दिला आहे, तो म्हणजे रिक्त संच ∅! नवे संच बनवायला नवी सिम्बल घ्यावी लागतील आणि मग ती सिम्बल्स काय आहेत हे सांगण्यासाठी नवी गृहीतके घ्यावी लागतील. हे तर आपल्याला नको आहे. म्हणून मग, ∅ वापरूनच नवे सिम्बल बनवावे लागेल. ते कसे बनवायचे? एक युक्ती आहे, तिला म्हणतात सक्सेसर सेट. दिलेल्या संचाचा सक्सेसर सेट म्हणजे तो संच आणि त्यामधील सारे घटक असणारा संच.  उदा. अ चा सक्सेसर संच = अ ∪ {अ}. 

तसेच,

∅ चा सक्सेसर संच =  ∅ ∪ {∅} = {∅}

लक्षात घ्या की ∅ आणि {∅} वेगळे आहेत. ∅ रिक्त आहे आणि {∅} मध्ये एक घटक आहे, त्यामुळे तो रिक्त नाही.

उत्तम, आता हिच क्लुप्ती वापरून नवे संच बनवू, 

म्हणजेच रिक्त संच, रिक्त संचास इनक्लुड करणारा संच, रिक्त संच आणि या मागील संचास इनक्लुड करणारा संच, … इत्यादी.

आता हे लिहिणे सुटसुटीत व्हावे म्हणून त्यांना नावे देवूयात, 

∅ ला नाव दिलेच आहे, शुन्य. 

∅ चा सक्सेसर संच =  {∅}  याला एक म्हणू 

{∅}  चा सक्सेसर संच = {∅,  {∅} } याला दोन म्हणू, 

. 

. 

आणि असेच पुढे. 

थोडक्यात काय तर 

०  := ∅

१  := {∅} 

 २ := {∅,  {∅} } ={ ०, १}

३ := {∅,  {∅},  {∅,  {∅}}  } = {०, १, २}

.

.

.

आणि असेच पुढे.

     ही झाली ० ,१ , २ ची संचीय व्याख्या. नैसर्गिक संख्यांचा अतिमहत्वाचा एक गुणधर्म म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्यांची तुलना करता येते, म्हणजेच कोणती मोठी कोणती लहान हे सांगता येते. या सन्चीय व्याख्येमध्ये ही तुलना शक्य आहे का? तर होय! कसे? ते असे:

     न आणि म हे वरील प्रमाणे संच नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील दोन संच  (म्हणजेच दोन नैसर्गिक संख्याच ) घ्या. जर "न" हा "म" चा उपसंच असेल तर आपण न < म असे म्हणायचे . म्हणजेच "न" पुर्णपणे "म" च्या आत बसला असेल तर न हा म पेक्षा लहान आहे. ही व्याख्या फारच स्वाभाविक आहे. जसे पहा ∅ हा प्रत्येकच संचाचा उपसंच असतो, त्यामुळे ० = ∅ हा प्रत्येकच नैसर्गिक संख्येपेक्षा लहान ठरतो. तर १ = {∅} हा ∅ मध्ये नाहीये, त्यामुळे ० हा १ पेक्षा मोठा नाही. पण, १={∅} हा {∅,  {∅} } = २ चा उपसंच आहे. त्यामुळे  १ हा २ पेक्षा लहान होतो. त्यामुळे आपली व्याख्या बरीच योग्य आहे असे दिसते.

     आता वळू बेरजेकडे. संचाची युती म्हणजे बेरीज म्हणणे खूप स्वाभाविक वाटते, पण ते शक्य नाही. कारण ० ∪ १ = १ म्हणजेच ० + १ = १ किंवा ० ∪ २ = २ येते खरे, मात्र कोणत्याही संचाची त्याच्याच सोबत युती केली असता तोच संच परत मिळतो. त्यामुळे कोणतीही संख्या स्वतःमध्ये मिळवली असता आपल्याला तीच संख्या माघारी मिळेल! निसर्ग अशी बेरीज करत नाही! त्यामुळे दुसरे काहीतरी शोधणे भाग पडते.

२. संख्यांची बेरीज:

बरेच खटाटोप केल्यावर असे ध्यानात आले की,  सरळ सरळ बेरीज करणे शक्य नाही. सर्वच्या सर्व बेरजा देण्याऐवजी केवळ काही ठरावीक बेरजांची व्याख्या आपण करू नि मग त्यावरून इतर बेरजा करणे शक्य होईल. पहिली व्याख्या: शून्यासाठी नियम  ठरवायचा की ० +१ = १.  इतर संख्यांचे काय करायचे? आपण सक्सेसर वापरून संख्या बनवल्या आहेत. त्यामुळे ही बेरजेची व्याख्याही सक्सेसर वापरून करता आली तर गृहीतकं कमी होतील. एक छोटे निरीक्षण असे करता येईल की नित्याच्या आयुष्यात ०+१=१, १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असते. सक्सेसरची संकल्पना वापरून असे दिसेल की

१+१ := १ चा सक्सेसर संच = {० ,१} = २ . 

१+२ := २ चा सक्सेसर संच = ३

. 

.  

१+  न := न चा सक्सेसर = न+१

. 

. 

म्हणजेच कोणत्याही नैसर्गिक संख्येमध्ये १ मिळवायचा म्हणचे त्या संख्याशी निगडीत संचाचा सक्सेसर घ्यायचा. अरेरे, पण आत्ता खूपच जास्त (म्हणजे, खरेतर, अनंत) व्याख्या झाल्या! इतकी अझम्पशन्स बरी नाहीत. परंतु, नीट पहिले असता ध्यानात येईल की ह्या व्याख्या जरी अनंत दिसत असल्या तरी त्या एका ओळीमध्ये लिहिता येतात. त्या अशा की " शुन्येतर नैसर्गिक संख्या न साठी १+  न = न चा सक्सेसर". 

ही केवळ एकाच व्याख्या झाली! ही व्याख्या वापरून कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते, गुणकारही करता येतो! दोन संख्या  न आणि  म दिल्या असता त्यांची बेरीज  न + म = १+१+ … +१ (न वेळा) + म,  असे करून मग १+म  अशी बेरीज करता करता मूळ बेरीज काढता येईल. आणि न x म = न  वेळा म  ची बेरीज असे करता येईल.

     म्हणजेच महत्वाची आकडेमोड आपल्याला संच वापरून करता येतेय!

म्हणजे आपण सिद्ध केले की नैसर्गिक संख्या म्हणजे काही संचांचा बनलेला संच आहे, आणि क्रमवारीता, बेरीज, गुणाकार ही सर्व संचीय ऑपरेशनस आहेत! मातृभाषा इंग्रजीमध्ये ;) बोलायचे तर Set of natural numbers is a set which consists of some other sets. The operations: comparison, addition and multiplication of two natural numbers are also given by set theoretic operations.

३. तात्पर्य:

आता जर तुमचे डोके ठिकाणावर असेल तर, या सर्व द्राविडी प्राणायामाचे तात्पर्य  सांगतो. 

• पहिली बाब अशी की केवळ मुलभुत चिह्ने वापरून आपण  नैसर्गिक "संख्या" म्हणजे काय याचे उत्तर दिले.
• संख्या म्हणजे काय, हे ठरवल्यावर आपण लहान मोठी संख्या सांगू शकलो. 
• संख्यांचा बेरीज-गुणाकारही या मुलभुत स्वरुपात करता आला.
• इंग्रजी-मराठी भाषा, पेरू-आंबा ही फळे अशा बाबी न वापरता अतिशय रिगरसली पक्की थिअरी बनवता आली, केवळ संच आणि लॉजिक वापरल्याने, या थिअरीचा वापर यंत्रे करू शकतात (कारण यंत्रांना सेट आणि लॉजिकच कळते).
• गणित या शास्त्राची गृहीतके खूप कमी दिसत असली तरी निदान नित्याची आकडेमोड केवळ ही गृहीतके वापरून करता येते हे, सिद्ध झाले. त्यामुळे हे गणित नावाचे शास्त्र empty नाही हे सिद्ध होते ! :)

 ४. थोडीशी गंमत  

नैसर्गिक संख्या नावाची जी सिस्टीम एरवीच वापरली जाते, तिच्या अस्तीत्वासाठी जरा जास्तच गृहीतकं लागतात. म्हणजे की, प्रत्येक संख्या अस्तीत्वात असायलाच हवी (हे खरंतर खुप मोघम गृहीतक आहे. कारण संख्या अनंत आहेत नि कंटीनम हायपोथीसीस शिकलेल्यांना माहीतच असेल की अनंतची भानगड फार अंगाशी येणारी आहे!), शिवाय त्यांची बेरीज करताना १+१=२च हवे (१+१=० किंवा १ चालणार नाही). ही दोन गृहीतकंच या सिस्टीमच्या वापरावर मोठी बंधने आणतात (वापर म्हणजे कंप्युटींग किंवा संशोधनात इतरत्र). आपल्या रचनेमधे मात्र आपण अतिशय कमी गृहीतकं वापरली आहेत.

इथे सांगण्याची गंमत अशी की व्याख्येप्रमाणे १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असले तरी ३+४=७ हे इथे सिद्ध करावे लागते नि ते सिद्धही करता येते. कसे, तर

३+४ =(२+१)+४ =(१+१)+(१+४) =१+(१+५) =१+६=७ 

     अस्तु, रिगरस  गणिताची ही ओळख पुरे! अखेरीस सांगतो, गणित म्हणजे काय तर, दिलेला प्रश्न संच-लॉजिक-क्याटेगरी च्या भाषेत मांडणारे आणि त्याची उत्तरेही त्याच भाषेत शोधणारे  अन त्यासाठी नवनवीन कल्पना जन्माला घालणारे शास्त्र! कमीत कमी नियम वापरून  निसर्गाचा काटेकोरपणे अभ्यास करायचा प्रयत्न हा विषय करतो!

God gave us the integers, all else is the work of man

∆  ∆

हा लेख प्रूफरीड करायला भूषणने मदत केली. त्याबद्दल आभार :)

तळटीपा:

†नैसर्गिक संख्यांचे गणिताच्या दृष्टीने महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे  त्यांची क्रमवार मांडणी करता येते, कोणताही रिक्त नसणारा उपसंच घेतला तर त्यामध्ये एक सर्वात लहान संख्या असते (= प्रिन्सिपल ऑफ वेल ऑर्डरींग ) आणि त्या काउण्टेबल (ही तांत्रिक संज्ञा आहे) आहेत.

१ . Kronecker- हा एक प्रसिद्ध जर्मन गणिती आहे. त्याने लिनिअर अल्जेब्रास दिलेले क्रोनेकर डेल्टा चिह्न प्रसिद्ध आहे. त्याचे विकी पेज हे आहे.

२. वरील पद्धतीशिवाय कर्डिन्यालिटी अर्ग्युमेंट,  पियानोची गृहीतके वापरून केलेली व्याख्या या रचनाही नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात आहेत, हे सिद्ध करण्यासाठी वापरले जातात. मी पहिल्यांदा वाचलेली आणि अजूनही मला आवडणारी ही रचना आहे. शिवाय गणिताची बौद्धिक बैठक कमी असली तरीही ही सिद्धता देता येते. म्हणून लिहिली.

लेख क्रमांक शुन्य- तुम्ही नेमके करता काय?- २

"मी मुलीचा मामा. मी गणिताचा प्राध्यापक आहे. तुम्ही सध्या करता काय?", पलीकडल्या मंडळींनी विचारले. 

"सध्या पीएच. डी चालू आहे. गणितामध्ये संशोधन करतोय" मी. 

मामा टणकन उडाले. 

"काय? (मराठीमध्ये क्यापिटल लिहायची सोय नाही. हा "काय" क्यापिटल मध्ये वाचावा). गणितामध्ये संशोधन करतात?"

मामांच्या प्राध्यापकगिरी वरील माझा विश्वास आत्तपर्यंत पुर्णपणे ढासळला होता. मी जमेल त्या नम्रतेने उत्तर दिले,

"अहो, बरंच काम आहे करायला! खूप विषय आहेत, प्रश्न आहेत!"

बारावीच्या मुलाने १+१= ० असं उत्तर दिल्यावर करावसं तोंड करत अणि माझ्यावर जमेल तितका अविश्वास दाखवत मामांनी विचारले, 

"प्रश्न? अच्छा, मग तुम्ही मोठाच्या मोठा इण्टिग्रल सोडवता काय की हजार बाय हजारच्या म्याट्रिक्सचा गुणाकार करता?". प्रश्न सम्पताच इतरेतरांकडे एक विजयी मुद्रा टाकून माझ्याकडे प्रश्नार्थक चेहर्याने मामा बघते झाले.

     खरं सांगू, पुढे गणित प्राध्यापक मामांना मी काय उत्तर दिले, मग सगळे कसे फ़िसकटत गेले नि आईने मला नंतर कसे ताणले नि बाबा कसे खुसखुशीत हसत होते, ही कथा सांगण्यात काय फारसा अर्थ नाही! मात्र कोकणातील एका निवृत्त व्ह्यायला आलेल्या गणिताच्या शिक्षकांनी, बायो-केमिस्ट्रीच्य़ा सहसंशोधक मित्रांनी आणि गावाकडच्या अगणित अंतू बरव्यांनी विचारलेला प्रश्न असा सीन निर्माण करीन असं मला कधी वटलं नव्हतं! मागच्या भागात आम्ही काय विषय शिकतो यावर लिहीले, आणि आता उत्तर लिहिण्याचा प्रयत्न करतोय - "तुम्ही संशोधन करता म्हणजे करता काय?"

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

थोडीफार फ़ेमस फिजीक्साची उदाहरणे आहेत तेवढी.

शाळेमधे गुरुजी कायम सांगायचे की ज्ञानार्थींनी कायम का, कसे आणि कुठे हे प्रश्न विचारात राहिले पाहिजे. पण आता वाटते ज्ञानार्जन करणे हाच एकमेव हेतू आयुष्यभर असण्याला अर्थ नाही! आपणही कुठेतरी या ज्ञानभांडारात भर घालायला हवी. त्यामुळे ज्ञानार्थीपाणानंतर येते ती दशा म्हणजे संशोधन करणे. संशोधक हे वरील प्रश्नांची उत्तरे देतात. पण ही उत्तरे देण्याची प्रत्येक विषयाची स्वतःची पद्धती असते. म्हणजे, एखाद्या श्रद्धाळू आस्तिकाला प्रश्न केला की "झाडाची पाने हिरवी का असतात?" तर यावर उत्तर म्हणून "कारण ते देवाने तसे केला आहे" असा तो म्हणायला बसलाय. परंतु हे उत्तर जीवशास्त्रज्ञ मान्य करू शकत नाही. जर देवभक्ती हे शास्त्र मानले तर (मित्रहो, हा मोठा वादाचा मुद्दा आहे, मात्र मी जर-तर ची रचना केली आहे, हे ध्यानात असू द्या!) तर पहिले उत्तर या शास्त्राप्रमाणे बरोबर आहे. मात्र जीवशास्त्राची काम करण्याची रीत वेगळी आहे. ते लोक हे कारण मान्य करू शकत नाहीत. आज प्रत्येकच विषयातील संशोधनाची पद्धती आणि तत्वज्ञान जवळ जवळ ठरले आहे. यामध्ये तर्काशास्त्रानुरूप अर्ग्युमेंट देणे तर भाग आहेच, पण एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर कसे द्यायचे हे ही क्यरेक्टराईज केले आहे. उदा. रसायनशास्त्रामध्ये (ढोबळमानाने) एखादी रासायनिक प्रक्रिया फ़ोरकास्ट केली तरी पण जोवर ती ल्याबामध्ये केली जात नाही आणि आउट-पुट तपासले जात नाही, तोवर त्या थिरिओटीकल फ़ोरकास्टचा काही उपयोग नाही! असे एक प्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे आइनस्टाईनने त्याची "जनरल थिअरि ऑफ रिलटिव्हीटी" पब्लिश केल्यावरही जोपर्यंत एडिंगटनने सुर्यग्रहणामधे ती तपासली नाही तोवर ती मान्य केली नव्हती. आणि आत्ताचे उदाहरण म्हणजे लय लय फ़ेमस स्ट्रिंग  थिअरीचे! कागदोपत्री या थिअरीने बरेच प्रश्न सोडवलेत, पण तिला अजून प्रयोगांमधून यश आले नाहीये. त्यामुळे तिच्याबद्दल ठामपणे कोणी बोलत नाही.

एडिङ्गटनने आईन्स्टाइनचा सिद्धांत तपासताना
केलेल्या प्रयोगामागील कल्पना दाखवणारे चित्र

      अस्तु, तर गणित विषयामध्ये काय चालते? आकडा एक, की गणितामध्येही प्रश्न असतात, हे मागील लेखामधेच मी सांगितलेय (१+ १ = २ च का इ.इ.). आता याची उत्तरे कशी द्यायची? १+१=२ चा का, याचे मला शाळेतल्या एका मुलाकडून ऐकायला मिळालेले एक उत्तर म्हणजे, जर एक पेरू आणि अजून एक पेरू जवळ जवळ ठेवले तर दोन पेरू होतात, म्हणून! लहान मुलांसाठी हे ठीक आहे. पण थोडा विचार करा, खरेतर १+१=२ होतात म्हणून एक आणि एक पेरू मिळून दोन पेरू होतात! बरोबर ना?

     फार उदाहरणे न देत आता सांगतो. बराच काळ गणितामध्ये कोणते उत्तर खरे मानायचे यावर घोळ होता! महान गणल्या गेलेल्या लोकांनी एक प्रथा पाडून दिली होती की ज्या ज्या थिअरी वापरल्या आहेत त्यांची "Axioms" पाळणारे, सेट थिअरिचे नियम वापरून आणि इतर चिह्ने वापरून लिहिता येणारे, लॉजिकला पळणारे असे जर उत्तर असेल तर ते मान्य केले जाईल. परंतु अति-काटेकोर असणाऱ्या सार्याच गणितज्ञांना हे नियम अ-लिखित आहेत, ह्याचा फार त्रास होत असावा कदाचित! १९४० च्या सुमारास "एका" फ्रेंच गाणितज्ञाने† हा त्रास संपवला आणि एका महान पुस्तकामध्ये हे सारे नियम एकत्र केले. हे नियम वरील तीन नियमांप्रमाणेच होते, परंतु या गणितज्ञाने लॉजिकचे नेमके कोणते नियम वापरायचे, नेमकी कोणती चिह्ने=सिंबल्स वापरायची आणि त्यांचे अर्थ काय याची यादी केली, महत्वाची गृहीतके मांडली. इथेच मग पहिल्या लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे तर्कशास्त्र = गणिताचे व्याकरण आणि त्याने दिलेली यादी = गणिताची मुळाक्षरे असे ऒफ़िशिअली ठरवले गेले. हे नियम जगभर मान्य केले गेले. आज आपण जे गणित शिकतो त्यामध्ये इतकी सारी !, -> , =, ϵ ही चिह्ने, सेट थिअरी आणि लॉजिकमधील चिह्ने, कंस वापरण्याचे नियम का आहेत आणि तसेच का आहेत यांचा उगम या पुस्तकात आहे! गम्मत म्हणा किंवा दुर्दैव म्हणा, मला ज्यांनी शिकवले त्यापैकी एकही हायस्कूल मास्तरांना किंवा १२वी च्या ही शिक्षकांना हे माहिती नव्हते. यामुळे गणितामधील कॉन्सेप्ट राहतात दूर, पण चिह्नान्चाच बागुलबुवा उभा राहतो! तर हे झाले गणित आणि गणितातील उत्तरे लिहिण्याबद्दलाचे विवेचन. 

 

गणिताच्या लिपीतील काही अक्षरे

नाऊ लेट्स डिस्कस सम आयडीयाज!

       प्रश्न सोडवायचा कसा? याचा प्लान ऑफ अट्याक हा असा की: प्रश्न सोडवण्यासाठी मग आधी विचार केला जातो तो हा, की हाताशी असलेल्या काही थिअरिज आहेत का की ज्या वापरून हा प्रश्न सोडवता येईल. जर हे झाले तर ठीक. नाहीतर, हा प्रश्न कोणकोणत्या विषयांसोबत जोडला गेलेला आहे, त्यांचा परस्पर संबंध काय आहे आणि तो संबंध वापरून हा सोडवता येईल का का असा विचार होतो. यामुळे नवीन गृहीतके टाकावी लागत नाहीत. आणि हाताशी असणार्याच बाबी वापरून उत्तर मिळते. पण हे नाही नाही झाले तर बराच काथ्याकुट करावा लागल्याची उदाहरणे इतिहासात आहेत. उदाहरणार्थ, गर्ल/बॉय फ्रेंड जुना झाला असेल तर ती(तो) रुसली(ला) की फारसा विचार न करता आपण नेमका काय गुन्हा केला हे ध्यानात येते. कारण आजवरच्या अनुभावान्मुळे "रुसण्याची कारणे" हा डेटा अनालिसिस केला की एकतरी कारण सापडून जाते. पण तीच/तोच जेव्हा धर्मपत्नी/ पती होते/तो तेव्हा "माझे माहेर" वा "सकाळचे थंड पोहे" हे रुसव्याचे कारण असते नि ते शोधायला आत्ता पर्यंतचा डेटा नक्कीच पुरेसा नसतो! अशीच काहीशी गणितामध्ये ही स्थिती! उदाहरणार्थ, आइन्स्टाइनला त्याच्या कल्पना त्यावेळी वापरत असणारे गणित वापरून मांडता आल्या नाहीत. त्याने शोध घेतला तेव्हा त्याला मिन्कोव्हास्कीच्या भूमिती बद्दल कळाले आणि ही भूमिती वापरून त्याने काम केले. हे झाले पहिल्या प्रकाराचे उदाहरण, की जिथे असलेली साधनेच वापरली. नवीन थिअरी शोधाव्या लागल्याचे उदाहरण म्हणजे,: क्षेत्रफळ काढण्यासाठी न्युटनला त्या काळामध्ये जी गणिती अवजारे उपलब्ध होती, म्हणजे बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार-भागाकार-युक्लिडची भूमिती, ही काही पुरेशी पडली नाहीत. त्याला मग क्याल्कुलस=कलनाशास्त्र शोधून काढावे लागले.

      थोडे बाजूला जाउन, मला एका महत्वाच्या बाबीवर थोडे भाष्य करायचे आहे. ते म्हणजे "गणितामध्ये सगळ काही assume च करतात" ही टिका किंवा टिप्पणी वा ती जी काही असेल, तीवर थोडे विवरण. प्रत्येक प्रूफ किंवा थिअरम पूर्वी "समजा….", "असे मानूयात की…" "Let's assume…" किंवा "Let, ..." असे असते. शिवाय असंख्य व्याख्याही असतात. मग अशी टर उडवली जाते की गणितामध्ये सगळे समजूनच घ्यायचे असते. पण खरेतर या शब्दांचा शब्दशः अर्थ घ्यावयाचा नाही! एखादे उत्तर देण्यापूर्वी किंवा सिद्धांत मांडण्यापूर्वी आपल्या काय मर्यादा आहेत आणि आपल्याला नेमक्या कोणकोणत्या गोष्टी लागताहेत हे सांगण्यासाठी वापरले जाणारे ते शब्द आहेत. "माझी सिस्टिम अशी आहे, त्यामध्ये याचा अर्थ हा आहे,…" ही लांबलचक रचना टाळण्यासाठी "समजा…." असा साधा शब्द वापरला जातो. थोडक्यात तो एक syntax आहे. मोबाइल फोन वर काट मारलेली पाटी मंदिर किंवा हापिसासमोर असेल तर त्याचा अर्थ फोन घेऊन जाण्यास मनाई किंवा सायलेण्ट वर टाका असा असतो, फोन फोडा असा नाही! तशीच ही प्रथा††! 

याचा अर्थ फोन फोडा असा नाही!

आणि लिखाण करताना कायम सगळ्याच कन्स्ट्रेण्ट लिहित बसणे जिकीरीचे असते, त्यामुळे एखादी बाबा सारखी येत असेल तर त्या बाबीस किंवा संकल्पनेस नाव देऊन लिखाण सुलभ करावे म्हणून व्याख्या लिहिल्या जातात. उदा. 

 "वाहनाचे त्वरण (= acceleration) क्ष किमी/तास^२ आहे" 

हे लिहिणे 

"वाहनाने मागील तासामध्ये क्ष किमी अंतर कापले असून पुढील तासात ते क्ष^२ किमी अंतर कापेन आणि अशाच प्रकारे… (हुश्श… विचार करतानाच दम लागला!)" 

यापेक्षा कित्तीतरी पटीने सोपे आहे. 

म्हणून त्वरणची व्याख्या देणे गरजेचे आहे! शिवाय लेखकाने/ संशोधकाने नवी संकल्पना जन्माला घातली असेल आणि तिला नाव द्यायचे आहे, असे असेल तर त्या संकल्पनेची व्याख्या केली जाते. 

     तर हे झाले तात्विक विवेचन. लेख इथेच संपत नाही! पुढील पानावर ही सगळी फिलोसोफी वापरून नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय आणि त्यांची बेरीज करायची म्हणजे नेमके काय करायचे, हयांची उत्तरे सिद्ध केली आहेत. त्यामध्येच १+१=२ चे कारणही मिळेल. हि सिद्धता देताना सेट थिअरी सोडून इतर काहीही वापरलेले नाही! खरे सांगायचे तर प्रस्तुत लेख म्हणजे नंदीच्या शेपटाचे दर्शन आहे, शिवलिंग तर पुढे आहे!

∆  ∆

†एका फ्रेंच गाणितज्ञाने - याचे नाव मुद्दामच गाळलेय. या माणसावर एक मस्त खमंग लेख होऊ शकतो म्हणून! गाणिताभ्यासाकांनो Théorie des ensembles उर्फ Set Theory नामक अद्य पुस्तकाच्या महान लेखाकासंदार्भातच मी बोलतोय. या माणसाविषयीचे सत्य मला माहिती आहे, पण आवर्जून उल्लेख टाळतोय. :)

††खरेतर प्रथेपेक्षाही महत्वाचे कारण म्हणजे लॉजिकल अनालिसिस आहे. लॉजिक आवडणार्यांसाठी- समजा किंवा If (वा assume) मधील सर्व वाक्ये, हा लॉजिक डेटा मनाला जातो आणि ह्या डेटा मधील सर्व विधाने परस्परांशी ∧ ने जोडलेली आहेत असे समजले जाते. थिअरमचा रिझल्ट किंवा थिअरिचा रिझल्ट हा o/p मानला जातो.
आणि If ची विधाने imply  रिझल्ट अशी रचना असते. त्यामुळे डाटा बदलला तर o/p ही बदलले पाहिजे. म्हणून "समजा" किंवा if ची रचना केली जाते. हि रचना डाटा क्लेरीफाय करते.

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.