ना तुमने सिग्नल देखा…

"Young man, in mathematics you don't understand a thing.

you just get used to them!"

-जॉन फॉन  नॉयमान

सुट्टी घालवायला म्हणून आमचे मित्र (विनर/ व्हिएन्निज ) चै महाराज परांजपे ह्यांच्याकडे व्हिएन्नामधे गेलो असता पहिल्या दोन तासातच चैने माझ्यासमोर सर्ज लँगचे  "लिनिअर अल्जेब्रा" चे पुस्तक टाकले नि म्हणाला,"रोह्या, तू लेख मस्त लिहिलास सदिशावकाशावरचा. मला फार आवडला. हे पुस्तक जे मला तुझ्या जातभाई सोमाण्याने (हा गणिती आहे) दिले आहे ते मी पूर्वी अभ्यासले. पण एक इंजिनिअर म्हणून मला अजूनही ही थिअरी अप्रिशीएट करता येत नाही."

थोडी चर्चा झाल्यावर असे ध्यानात आले की सर्वसामान्य फिजिक्स, रसायनशास्त्र आणि इंजिनिअरिंगचे  विद्यार्थी अप्रिशीएट करू शकतील असे व्हेक्टर स्पेसचे उदाहरण खरेच लिनिअर अल्जेब्रामध्ये समजावून सांगितले जात नाही. इतकेच काय, गणिताच्या विद्यार्थ्यांनाही गणितातील R, R२ , R३,… अशी उदाहरणे सोडली तर "नैसर्गिक" म्हणता येईल अशी उदाहरणे चटकन सांगता येत नाहीत. आणि मग जाणवले की मी सुद्धा याला अपवाद नाही! जेव्हा कधी लक्षात येते की एखादी गोष्ट आपल्याला येत नाही तेव्हा तेव्हा मला जॉन फॉन नॉयमानचे उपरोधृत विधान आठवते! खरेच, अति शिकणे म्हणजे खरेच शिकणे असते की केवळ पुस्तकी भाषेला आणि ज्ञानाच्या डोलाऱ्याला  "युज्ड टू" होणे असते?

लिनिअर अल्जेब्रा शिकणार्यांना लँग किंवा हॉफमन-कुंझ मध्ये बरीच उदाहरणे मिळतील. पण मला सुचलेले एक उदाहरण माझ्या या मित्रांसाठी मी देतोय.  हे उदाहरण "फ़ुरियर अनालिसिस" ची सुरुवात आहे.

सिग्नल, थोडी धाराविद्युत, अम्प्लिफ़ायर आणि दोन वायरींची टोके एकमेकांना जोडणे ह्या इलेक्ट्रीकल बाबी माहिती असल्या आणि  मागच्या लेखातील व्हेक्टर स्पेस म्हणजे नेमके काय, हे भापले असेल तर करा सुरुवात वाचायला…

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५ पैकी ३ मिरच्या
मागील लेख आणि धाराविद्युत यांची माहिती गरजेची

एक उजळणी म्हणून : वास्तव व्हेक्टर स्पेस म्हणजे एक संच असतो. त्यामध्ये शून्य असतो, दोन घटकांची बेरीज-वजाबाकी करता येते, कोणत्याही घटकाला वास्तव संख्येने गुणता येते आणि हा गुणाकार नि बेरीज एकमेकांचे मित्र असतात!

इलेक्ट्रोनिक सिग्नलस् चे आणि आवाजांचे सदिशावकाश:

   आता वळू थोडेसे इलेक्ट्रॉनिक्सकडे. समजा, पप्पुकडे काही विद्युत घट = बॅटऱ्या आहेत. एक सोडून उर्वरित बॅटऱ्यांत अचानक बिघाड झाला. त्याने त्या तपासल्या तर लक्षात आले की बिघडलेली प्रत्येक बॅटरी बटन दाबले की त्यावेळेस केवळ एकच मिनिट चालते. सिग्नल सलग = कंटिन्यूअस असतात. पण गम्मत अशी की कसे काय जाणे, त्यांचे सिग्नल वाट्टेल तेवढे मोठे किंवा लहान असतात. म्हणजे कधीतरी सिग्नल + १०चा १००००००० घात इतक्या व्होल्टचा असतो तर कधी - π चा १००००००० व्होल्ट! ते वाकडेतिकडे असतात. अगदी स्थिर= कॉनस्टंट किंवा पुस्तकात असतात तसे सुंदर साइन-कोसाइन सारखे सिग्नल कायमच दिसत नाहीत (पप्पूकडे हे सिग्नल पाहण्यासाठी आयडियल ऑसिलेटर आहे, बर का!) पण ते सलग असतात. पप्पूने देवाकडे वर मागितला "देवा, हे घट तर बिघडले! मला वर दे की निदान हा ठीक असणारा घट मला हवं ते आउटपुट निर्माण करेल ! " देवाने वर दिला की असं अगदीच शक्य नाही, पण तुझा घट तुला हवे ते कॉनस्टंट आउटपुट निर्माण करू शकेल. आता यांचे करायचे काय ? पप्पू विचार करू लागला, दोन घटांचे आउटपुट जर घेतले आणि ती वायरींचे टोके एकत्र केली की आउटपुटांची बेरीज होते, हे मला माहितीय. शिवाय ते नवे आउटपुट ही सलग असते. 

सिग्नलची बेरीज

  पण समजा तीन सिग्नल एकत्र करायचे असतील तर? म्हणजे एक सिग्नल लाल वयारीतून, एक काळ्या आणि एक निळ्या वायारीतून येतोय, तर मी आधी लाल नि काळ्या वायरी  एकत्र जोडेन मग त्यांना निळी वायर जोडेन किंवा आधी काळी आणि निळी जोडून मग लाल जोडेन. पण मग (लाल+काळा )+निळा हे कॉम्बिनेशन नि लाल+(काळा +निळा) ही जोडणी, सारखी आहे ? यांचे आउटपुट सेम येते ? तुम्ही असे प्रयोग केले असतील नसतील पण उत्तर तुम्हाला ठाऊक आहे, वायरी कशाही जोडा आउटपुट बदलणार नाही ! पप्पू ने ते आपल्या ऑसिलेटरवर तपासून मगच विश्वास ठेवला. वर मिळालेल्या घटाचे  काय करायचे ? त्याला मी सल्ला दिला की तो एखाद्या अम्प्लिफ़ायर मध्ये सिग्नल म्हणून वापर. म्हणजे वर दिलेला सिग्नल वपरुन वरील कोणतेही सिग्नल अम्प्लिफ़ाय करायचे, असे.  

बारावीचे पी-एन डायोडचे साधे अम्प्लिफ़यर सर्किट लक्षात असेल तर आठवा की हे सर्किट एक सिग्नल घेते आणि ह्या सिग्नलच्या पटीत इनपुट वाढवून बाहेर पाठवते. म्हणजे जर सिग्नल स्थिर २ व्होल्ट दिला तर इनपुट ला ते दुप्पट करते, -३.५व्होल्ट दिला तर वजा साडेतीन पट  करते इ. म्हणजेच हे सर्किट सिग्नलने इनपुट ला "गुणते".  पप्पू ने केलेला एक प्रयोग म्हणजे जर दोन सिग्नल आधी एकत्र जोडले (= बेरीज केली) आणि मग त्यांना अम्प्लिफ़ाय केले किंवा आधी एकाच सिग्नलने अम्प्लिफ़य केले नि मग जोडले तरी उत्तर बदलत नाही. म्हणजे आधी लाल आणि काळी वायर जोडली, मग एक सिग्नल "क्ष" दिला आणि (लाल+काळा) ला क्ष(लाल+काळा) केले किंवा लाल ला आधी क्ष ने बदलले, काळ्याला क्ष ने बदलले आणि मग एकत्र जोडले = क्ष लाल + क्ष काळा तरीही उत्तर समानच येते क्ष(लाल+काळा) = क्ष लाल + क्ष काळा. म्हणजेच सिग्नलची बेरीज आणि ऍम्प्लिफ़िकशन एकमेकांसोबत गुण्यागोविंदाने वागतात. आता पप्पूची कथा सोडा. एक मिनिटासाठी चालणाऱ्या सर्व कंटीन्युअस सिग्नलचा संच पहा. वायरींची टोकं जोडून सिग्नलची बेरीज करणे हे बेरजेचे ऑपरेशन म्हणून घ्या. देवाने वर दिलेला घट वापरून बनवलेले  हे सिग्नल अम्प्लिफाय करणे हा या संचावर बाहेरून होणारा गुणाकार म्हणून घ्या. देवाने सांगितलेय की  कोणताही स्थिर= कॉनस्टंट सिग्नल बनवता येईल, म्हणजेच हा वास्तव संख्यांचा संच झाला ! प्रत्येक धन-ऋण-शून्य संख्येसाठी एकमेव सिग्नल आणि प्रत्येक सिग्नल साठी एक आणि एकच संख्या, असा संबंध. म्हणजेच अम्प्लिफ़िकेशन हा वास्तव संख्यांचा गुणाकार आहे. मागील लेखामध्ये जाऊन बेरीज = सिग्नल जोडणे आणि गुणाकार = अप्म्लिफ़िकेशन हे टाकून पहा आणि मग पहा की  एक मिनिट चालणाऱ्या ह्या सलग सिग्नलचा संच मुळात व्हेक्टर स्पेस आहे ! बरे मी एक मिनिट हा आकडा जादूचा म्हणून घेतला नाही. तिथे कोणताही आकडा ठेवला किंवा अनंत काळ चालणारे सिग्नल घेतले तरी ही व्हेक्टर स्पेस होते.  

  सारांश असा की सलग चालणाऱ्या इलेक्ट्रिक सिग्नलचा संच, वायरी जोडणे आणि अम्प्लिफ़िकेशन वापरून व्हेक्टर स्पेस बनते. आता हे गणिती  मॉडेल तयार झाले की सिग्नलचा अनालिसिस करणे सोपे होते. त्यावर गणित वापरून इतर थिअरोटिकल प्रयोग करता येतात. चैतन्यची अजून एक तक्रार होती, जी बरेच जण करतात, की अनंत मिती असणाऱ्या व्हेक्टर स्पेसेसचा अभ्यास का करायचा ? निसर्गात अशा "विचित्र" स्पेसेस असतात का ? त्याला दिलेले उत्तर असे की, निसर्गातील गणिती स्पेसेस शक्यतो अनंत मितीयच असतात ! सिग्नल स्पेस ही खूप नैसर्गिक स्पेस आहे. तिची मिती अनंत आहे ! हे सिध्द कसे करायचे? त्याचे उत्तर दडलेय फ़ुरियरच्या अनालिसिस मध्ये! फक्त सिग्नल स्पेस नाही तर सलग एक मिनिट आवाज करणारे यंत्र आणि तो आवाज अम्प्लिफाय करणारे यंत्र हे वापरून आवाजांची स्पेस सुद्धा व्हेक्टर स्पेस आहे हे दाखवता येइल. अगदी वर केले तसे. फक्त दोन आवाजांची बेरीज करायला वायर नको, तर ते एकत्र बडवले की झाले! त्यांच्या वहनाचे माध्यम हवा असल्याने तिथेच त्यांची बेरीज होईल! पण आवाजाचा अम्प्लिफ़यर मात्र गणपती मंडळांकडून प्रयोगासाठी उधारीवर आणावा लागेल! ;) आवाजांच्या व्हेक्टर स्पेसची मिती सुद्धा अनंत आहे! मागील लेख  'अबस्ट्रॅक्ट' गणिताचा एक विषय आहे. पण असाच अबस्ट्रॅक्ट विषय वापरून सुंदर निसर्गाचे नीटनेटके स्वरूप पाहण्याचा हा एक गणिती प्रयत्न ! (१७ मितींविषयी तत्वज्ञान झाडणार्यांच्या बुद्धीस अजून खुराक, तुमची आजूबाजूच्या आवाजांची मिती अनंत आहे!! )

   जाता जाता एक शेर द्यावयाचा आहे. अम्प्लिफ़ायर सर्किटचे गणिती महात्म्य हेच की तो इनपुटला अम्प्लीफायर सिग्नलने गुणतो. जर अम्प्लिफ़ायर सिग्नल स्थिर असेल तर ही प्रक्रिया म्हणजे वास्तव संख्येने गुणाकार होतो. अभ्यासूंसाठी एक प्रश्न, जर अम्प्लिफायर सिग्नल स्थिर नसेल, समजा साइन वेव्ह असेल तर काय होते ? :)

जाण्यापूर्वी आमच्या जातीबंधुंसाठी, म्हणजे गणिताच्या विद्यार्थ्यांसाठी:

वरील चर्चेत एक मिनिट म्हणजे [०,१] हा  क्लोज्ड इंटरव्हल आहे. सलग सिग्नल म्हणजे [०,१] वरून वास्तव संख्येत जाणारे सलग फलन = कंटिन्युअस फंक्शन आहे. अशा साऱ्या फलनांचा संच म्हणजे C([0,1], R) = {f:[0, 1] -> R : f is continuous} हा होय. सिग्नल f, g ची बेरीज म्हणजे (f+g)(x)=f(x)+g(x) आणि r वास्तव संख्या असेल तर (rf)(x)=rf(x)  हा गुणाकार होय. वरील चर्चेत मी इतकेच सांगितले की ह्या बेरजेत आणि गुणाकारात C([0,1], R) ही व्हेक्टर स्पेस होते.  आवाजांची स्पेस जरी घेतली तरी C([0,1], R) च मिळते. गणिताच्या दृष्टीने दोन्ही केसेस सारख्याच आहेत. फ़ुरिअर अनालिसिस सांगतो की {cos(n t), sin(m t): n, m are integers} हा संच C([0,1], R) चा (अनलिटिकल) बेसिस आहे. अल्जेब्राईक पाया हा अनलिटिकल पायाहून कायम मोठा असतो, त्यामुळे C([0,1], R) हे अनंत मितीय आहे. 

∆  ∆

वेळ काढून प्रद्युम्नने लेखाचे प्रूफ रीडिंग केले. धन्नो भावा! 
प्रश्नाबद्दल आभारी आहे चै! शिवाय भर सुट्टीच्या काळात "असल्या" ;) चर्चा मनमोकळेपणाने केल्याबद्दल चैतन्य आणि प्रद्युम्न दोघांस आभार!

सदिशावकाश उर्फ व्हेक्टर स्पेसेस

If then I find myself writing, not mathematics, but ‘about’ mathematics,

 it is a confession of weakness, 

for which I may rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous mathematicians.

- Prof. G.H. Hardy

खरेतर मी "म्याट्रिक्सचा जन्म" असा विषय घेऊन लिहायाला सुरुवात केली आणि मग जाणवले की तत्पूर्वी खूप सारी तयारी करावी लागेल. आणि मग लिनियर स्पेसेस, लिनिअर म्याप हे डोळ्यांसमोर नाचू लागले. एक न धड भरभर चिंध्या होण्या ऐवजी विचार केला, एक एक विषय घेऊन निट लिहावे नि म्यट्रिक्सच्या जन्माची कहाणी अखेरीस निरुपावी! त्या दृष्टीने हा पहिला लेख. माझ्या अनेक फिजिक्सच्या मित्रांची व्हेक्टर स्पेस वरील लेखाची विनंती म्हणूनही या लेखाकडे पाहता येईल!  हा लेख म्हणजे काही "पेशल" लोक, ज्यांनी आम्हाला गणिती मिती-अवकाश असे शब्द वापरून पिडले आहे, त्यांच्या मेंदूस खाद्य म्हणूनही पाहता येईल (त्यांना हा सहन व्हावयाचा नाही, ही कल्पना आहे तरीही…)!

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी ५मिरच्या
 लेख वाचण्यासाठी १०-१२वी तील व्हेक्टर, संचांचे कार्तेशियान प्रोडक्ट ठावूक हवे. 

सदिशावकाश (Vector Space):

   म्याट्रीक्सचा जन्म कसा होतो, हे पाह्यचे असेल तर, दोन अतिशय महत्वाच्या संकल्पना आधी पाहणे गरजेचे आहे त्याम्हणजे: सांतमितीय सदिशावकास नि त्यांवरील रेषीय फलने. सांत मितीय  सदिश अवकाश म्हणजे आपल्या मराठीमध्ये Finite dimensional vector space नि रेषीय फलन म्हणजे linear map. फिजिक्स-इंजिनियरिंगमध्ये linear mapला linear transformation किंवा नुसतेच transformation म्हणतात. व्हेक्टर स्पेस आणि लिनिअर म्याप ह्या केवळ या म्यट्रिक्सच्या जन्माकथेसाठीच नाही तर तर एरवीच गाणितामधील अत्यंत महत्वाच्या संकल्पना आहेत. आपण या लेखात मुलत्वेकरुन फ़ायनाईट-डिमेन्शनल-"रियल"-व्हेक्टर स्पेसेसचा म्हणजेच वास्तव सांत-मितीय-सदिश-अवकाशाचा विचार करणार आहोत. लिनिअर म्याप म्हणजे दोन व्हेक्टर स्पेसेस न जोडणारा पूल होय. या पुलाबद्दल पुढील लेखात लिहीन. चला, बरीच भिती घालून झाली. ही इतकी मोठी आणि जड जड नवे वाचूनही इथून पोबारा न केलेल्यांना आता या बाबी नेमक्या काय आहेत हे सांगतो. आधी शब्दभेद पाहू, कसा आहे तो.

अवकाश म्हणजे अवकाश! पण इथे अवकाश हा शब्द संच किंवा साठा या अर्थाने आला आहे. सदिश म्हणजे आपण सातवी-आठवीत शिकलेल्या सदिश राशी, ज्या राशींचे वर्णन करण्यासाठी त्यांची दिशा आणि वजन या दोहोंची  गरज असते अशा बाबी. उदाहरणार्थ फोर्स=बल, संवेग= मोमेण्टम इ. सदिश अवकाश म्हणजे (एकाच प्रकारच्या) सदिशांचा संच, i.e. set of vectors (of same type).

सांत= स+अंत थोडक्यात काय तर अनंत नसणाऱ्या, finite.

मितीय हा शब्द मिती = dimension वरून बनवलेला आहे.

सांत मितीय म्हणजे ज्यांच्या मिती अनंत नाहीत ते थोडक्यात finite dimensional.

आणि सांत-मितीय-सदिश-अवकाश म्हणजे सदिश राशींचा संच/ साठा आणि या साठ्याची मिती मोजेबल ;) आहेत, म्हणजेच a bunch of vectors such that the bunch has finit dimension. वास्तव सांत-मितीय-सदिशावकाश म्हणजे जे अवकाश बनवताना वास्तव संख्यांचा=real numbers, वापर केला आहे ते. आपण  "R" हे चिह्न वास्तव संख्यांचा संच दर्शवण्याकरिता वापरू नि V हे व्हेक्टर स्पेससाठी. चाणाक्ष वाचकांना आता कल्पना आली असेल की आपण फिजिक्स मधल्या व्हेक्टर या संकल्पनेचा गणितीय अभ्यास करणार आहोत. 

आब्स्ट्र्याक्ट म्यथेम्याटिक्स मध्ये सात-आठ गृहीतके वापरून रिअल व्हेक्टर स्पेसची= वास्तव सदिश अवकाशाची व्याख्या करतात. एक संच घेऊन त्यातील घटकांवर बेरीज आणि वास्तव संख्याने गुणणे अशी दोन ऑपेरशन टाकतात. या बेरजेचे आणि गुणाकाराचे काही गुणधर्म असतात. अशा या संचास गणितामध्ये वास्तव सदिश अवकाश असे म्हणतात. जिज्ञासूना इथे टीचकी मारून विकीवर ही व्याख्या सविस्तर पाहता येईल. ज्यांना तांत्रिकतेमध्ये जाण्याची गरज वाटत नाही, त्यांनी स्पेस म्हणजे सेट थिअरितील सेट आणि व्हेक्टर ही नित्याची भौतिकशास्त्राच्या पुस्तकातली व्हेक्टर, हे असे सध्या गृहीत चला. रिअल व्हेक्टर स्पेस म्हणजे "एकाच प्रकारच्या" वास्तव सदिशांचा संच. ह्या संचात शुन्य हवाच नि कोणत्याही दोन सदिशांची:

१. बेरीज करता आली पाहिजे, २. वजाबाकी करता आली पाहिजे, 

३. कोणत्याही व्हेक्टरला वास्तव संख्येने गुणता आले पाहिजे 

आणि हे केल्यानंतर जे उत्तर येईल ती सदिशाही याच संचामध्ये हवी. 

शिवाय गुणाकार आणि बेरजेने एकमेकांचा आदर करायला हवा, उदा.  (a + b)v = av + bv अशी डिस्ट्रिब्यिटिव्हिटी इ. 

"एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर" म्हणजे एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले i.e. different forces acting on SAME point किंवा एकाच वस्तूचे विविध संवेग. परंतु दोन वेगळे वेगळे बिंदू असतील (two distinct points) तर त्यांवर कार्यान्वित होणार्या दोन बलांना आपण "एकाच प्रकारचे व्हेक्टर" या क्याट्यागिरीत टाकणार नाही. किंवा एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारे बल नि त्या बिंदूचा संवेग ह्यासुद्धा एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर मानल्या जाणार नाहीत.

एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर

वर म्हटले तसे व्हेक्टर स्पेस मध्ये शुन्य नामक व्हेक्टर असायलाच हवी. ही व्हेक्टर म्हणजे काय, हे भौतिकशास्त्राच्या उदाहरणात पहायचे असेल तर, एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले, हे उदाहरण पहा (वरील चित्र). शुन्य बल म्हणजे काहीच बल नाही, ही संकल्पना बिंदूचे स्थान सांगते. म्हणजेच ज्या बिंदूवर ह्या व्हेक्टर कार्यान्वित होताहेत त्या बिंदूचे स्थान देते. म्हणजेच सर्व बलांचे (गणिती) उगमस्थान. याच कारणामुळे आब्स्ट्र्याक्ट व्हेक्टर स्पेसमध्ये शुन्य सदिशला (झिरो व्हेक्टरला) origin किंवा center of vector space म्हटले जाते.
एक तपासण्याजोगी बाब अशी की जर संचामध्ये=स्पेसमध्ये एक शून्येतर सदिश असेल तर त्यात अनंत सदिश येतात. कारण v ही शून्येतर सदिश असेल तर प्रत्येक a εR वास्तव संख्येसाठी av ही सदिश या संचामध्ये असेल. R अनंत असल्याने {av} हा संचही अनंत असेल. म्हणजेच जर V ही वास्तव व्हेक्टर स्पेस असेल आणि त्यात एक अशुन्य घटक असेल तर तीत कायमच अनंत घटक असतात. हा मुद्दा असा प्रश्न निर्माण करतो की अशा मोठ्या संचाचा अभ्यास कसा करायचा? कारण (एरवी) अनंत म्हटले की सारेच काही किचकट होऊन जाते. यावरील एक जालीम  उपाय म्हणजे "मिती"ची संकल्पना! मितीकडे वळण्यापुर्वी सदिशावाकाशांची उदाहणे पाहू.

उदा१: R चा स्वतःसोबत दोन वेळा कार्तेशियान गुणाकार RXR= {(a, b): a नि b वास्तव संख्या} असे दिसणारा संच हा एक वास्तव सदिश अवकाश आहे. त्यावर (a, b)+(c, d)= (a+c, b+d) आणि r(a, b)= (ra, rb) अशी बेरीज नि गुणाकार देऊन वरील सर्व गुणधर्म तपासता येतात. या सदिशावकाशास R^२ असे लिहितात. हे म्हणजे आपले फ़ेमस वास्तव प्रतल= real plane हे ओळखलेच असेल. (थोडे बाजूला जाऊन: रिअल प्लेन असेल तर त्याची मिती किती? तर दोन, हे फार पहिल्या पासून आपण शिकत आलोय. बरोबर? हिच संकल्पना जास्त रीगारासली पहायाचीये!).
कार्तेशियन गुणाकार माहीत नसल्यास या ओळीवर टिचकी मारा.

उदा२: अशाच प्रकारे  RXRXR= R^३वर वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि कंसाच्या आत घुसून गुणाकार केला तर R^३ सुद्धा वास्तव सदिश अवकाश होते.

उदा३: नि इन जनरल जर "न" ही नैसर्गिक संख्या† (natural nuber=  ०,१,२,३,…) असेल तर,  RXRX… न वेळा गुणाकार = R^न  ही सुद्धा वरील प्रक्रारे बेरीज-गुणाकार केल्यास वास्तव सदिश अवकाशे आहेत.

पाया नि मिती (Basis आणि dimension):

   आता एक छोटीशी आकडेमोड. समजा R^२ मधील एक सदिश (a, b) घेतली, तर बेरीज नि वास्तव संख्येने केलेला गुणाकार वापरून 

(a, b)= a(१, ०) + b(०, १) 

हे सहज पाहता येइल. किंवा R^न मधील

 (a,b,...n) = a(१,०…०)+ b(०,१,०,…०)+...+n(०,…०,१)

हे ही अगदीच उघड आहे. म्हणजे केवळ एकाच ठिकाणी एक आणि इतरत्र शुन्य असे दिसणाऱ्या सदिश नि वास्तव संख्या वापरून कोणतीही सदिश लिहिता येते.  R^२ मध्ये अशा दोनच सदिश असतात की ज्या आणि रिअल नंबर वापरून R^२ चे सर्वच व्हेक्टर लिहिता येतात, R^३ मध्ये अशा तीन आणि R^न मध्ये "न" इतक्या असतात. कारण R^न च्या व्हेक्टर मध्ये ( _, _, _,…, _) "न" कप्पे आहेत. म्हणजेच १ ठेवता येतो अशी "न" ठिकाणे उपलब्ध आहेत, इतरत्र शुन्य ठेवून द्या. ज्या व्हेक्टर मध्ये पहिल्या ठिकाणी एक येतो आणि इतरत्र शुन्य तिला e_१ म्हणतात, जीमध्ये दुसर्या ठिकाणी एक येतो तिला e_२ , … इ. 

एक थोडेसे किचकट काम म्हणजे हे सिद्ध करणे की जर e_१, e_२,… e_न यातील एकही व्हेक्टर काढली तर मात्र सर्वच्या सर्व व्हेक्टर वरील प्रमाणे लिहिता येत नाहीत. आता आपण व्हेक्टर स्पेसचा पाया म्हणजे काय ते पाहू:

व्याख्या: सदिशावकाश V चा पाया म्हणजे असा संच की ज्यातील व्हेक्टर वापरून V मधील इतर सर्व व्हेक्टरस् बेरीज नि वास्तव संख्यांनी केलेला गुणाकार वापरून करता येतात आणि या संचातील कोणतीही व्हेक्टर काढली असता V मधील निदान एक तरी व्हेक्टर अशा प्रकारे लिहिता येत नाही.

बरेच काही कष्ट करून आता एक बाब सिद्ध करता येते की प्रत्येक व्हेक्टर स्पेसला पाया असतो! आणि खरेतर शून्येतर स्पेसला एक नाही, दोन नाही तर तर "अनंत" पाया असतात. वरील उदाहरणांत दिल्याप्रमाणे पाया हा अतिशय छोटासा संच असतो आणि तो या सर्व अवकाशाचे वर्णन करू शकतो. पायाला इंग्रजीत basis of the vector space. शिवाय जर V मध्ये असे दोन पाया दिले असतील तर दोन्ही पायांमधील व्हेक्टर्सची संख्या सामानाच असते! म्हणजे  R^२ साठी {(१, ०), (०, १)} हा पाया आहे, हे आपण पहिलेच. पण जर R^२ चा इतर कुठलाही पाया घेतला तर त्यात दोन आणि दोनच व्हेक्टर असतील, ना कम ना ज्यादा! 

आता येते ती म्हणजे मिती. सदिशावकाश V ची मिती म्हणजे एखादा पाया दिला असता त्यामध्ये किती व्हेक्टर आहेत ती संख्या. 

 उदा४. 

  R^२ साठी (१, ०), (०, १) या दोनच सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^२ची मिती २ आहे.

  R^३ चा  (१, ०, ०), (०, १,०) नि (०, ०,१) या तीन सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^३ची मिती ३ आहे.

  R^न साठी (१,०…०), (०,१,०,…०),...,(०,…०,१) या न सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^न ची मिती "न" आहे.

जर पायामध्ये अनंत व्हेक्टर असतील तर V ला अनंत मितीय वास्तव सदिशावकाश = infinite dimensional vector space, म्हणतात.

 उदा५.   RXRX…अनंत वेळा. वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि गुणाकार देऊन हे एक सदिशावकाश होते.

थोडे इकडे तिकडे:

हा सदिशावाकाशांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला लिनियर अल्जेब्रा म्हणतात. लिनियर म्हणजे रेषीय. सदिशावकाशास फिजिक्समध्ये रेषीय अवकाश= Linear space असेही म्हणतात. याचे कारण म्हणजे या अवकाशांची भौमितिक रचना. या अवकाशाचा अभ्यास करताना रेषा हे मुलभुत एकक ठरते. 

 हे आपणास माहीतच आहे की वास्तव संख्यांचा संच R म्हणजे रेषा. मात्र   वरील बरीज आणि वजाबाकी सदिशावाकासाच्या व्याख्येतील सर्व गुणधर्म पळते. यामुळे R स्वतः एक वास्तव सदिशावकाश बनते, त्याचा (एक) पाया {१} नि मिती एक आहे. हे अवकाश दिसते कसे? तर R म्हणजे रेषा! हे आपण पूर्वीपासूनच शिकत आलोय. मग R^२म्हणजे काय, तर रेषेचा रेषेसोबत कार्तेशियान गुणाकार, तो येतो द्विमित प्रतल. हाच गुणाकार तीन वेळा केला की आपली युक्लिडियन स्पेस म्हणजे रोज जगतो ते त्रिमित अवकाश बनते! त्याच प्रमाणे पुढील उच्च मितीय (सदिश) अवकाशे बनतात. मात्र त्यांची सर्वांचीच चित्रे§ काढणे जमंत नाही. अस्तु. व्हेक्टर स्पेस मध्ये स्केलर प्रोडक्ट (आदिश गुणाकार) टाकले की तिला इनर प्रोडक्ट स्पेस म्हणतात. आपण १०वीत शिकलेली सर्व भूमिती करता येते. मिती वाढवली की या स्पेस मध्ये हायर डिमेन्शनल जिओमिट्रिक शेप्स मिळतात. 

आणि आता एक सिद्धांत सांगून गणित थांबवतो! 

सिद्धांत: समजा V ही वरील ऍब्स्ट्रक्ट व्याख्या वापरून मिळवलेली वास्तव व्हेक्टर स्पेस आहे. जर V ची मिती "न" इतकी असेल तर V ही मुळात R^न  च असते.

म्हणजेच आपण वर जी उदाहरणे पहिली R^२ , R^३ , … केवळ तेच वास्तव सदिशावकाश असते. इतर सर्व सदिशावाकाशे तशीच दिसतात! हा फार महत्वाचा सिद्धांत आहे. आणि तो सिद्ध करणे फारसे अवघडही नाही.

अनंत फांदी इष्टाईल, मात्र, गद्य फटका:

आईन्स्टाईन आणि त्याने केलेला उच्च मितींचा वापर, हा तत्वज्ञानाच्या लोकांचा आणि रिलेटिव्हिटीवरील एखादे एकही गणित/ सिद्धांत नसणारे पुस्तक वाचून रिलेटिव्हिटी एक्स्पर्ट बनलेल्या लोकांना उच्च मिती आणि त्या कशा अॅब्स्ट्रॅक्ट आहेत यावर टोळक्यात प्रवचन द्यायला नि खर्या फिजीक्स-गणिताच्या पोरांना आव आणायला नक्कीच आवडते! त्यावर हा एक शेरा:  R चे भूमितीय स्परूप म्हणजे रेषा हे सिद्ध करणे म्हणजे R या अल्जेब्राच्या संकल्पनेतुल रेषा नामक भौमितिक संकल्पनेत जाणे. हे सिद्ध करण्याकरिता संशोधकांना १८००चा शेवट उजाडला. मग त्यांनी R^२ हे प्रतलासारखे दिसते, R^३ हे त्रिमित अवकाशाचे गणितीकरण आहे असे रिझल्ट वरील व्हेक्टर स्पेस ची संकल्पना वापरून सिध्द केले. फिजिक्समध्ये याचा फायदा हा झाला की रोजच्या जीवनातील घटनांची/ प्रयोगांची म्याथेम्यटिकल मॉडेल  बनवणे खूप सोपे झाले. आईन्स्टाईनने (खरेतर त्याच्या पूर्वीही काहीजणांनी) एखादी घटना त्रिमित अवकाशात घडत असेल तर  ज्या ठिकाणी घडते त्या ठिकाणाचे कुऑर्डीनेट म्हणजे  (a, b, c) आणि जर ती t वेळी घडली असेल तर काळ दर्शवणारा कुऑर्डीनेट टाकून, ती घटना= event दर्शवण्यासाठी चार कुऑर्डीनेटस (a, b, c, t) वापरले. त्यामुळे त्याचे मॉडेलमध्ये R^४ मध्ये गेले. इथे केवळ मोडेलिंग साठी गणित वापरलेय. विश्वाला मिती अशा नाहीत! कोणतीही वस्तू आपले कुऑर्डीनेट (अ,ब,क,…) असे काही आहेत असे म्हणून येत नाही! त्यामुळे विश्वाची मिती ही  फिजिक्सच्या गणिती मॉडेल वापरलेल्या "व्हेक्टर स्पेस" ची मिती असते! विश्वोत्पात्तीच्या असंख्य सिद्धान्तांपैकी एका मॉडेल मध्ये २२ कुऑर्डीनेट वापरलेत! तिथे विश्व २२मितींचे आहे! पण त्याचा रोजच्या जीवनात काही अर्थ होत नाही. यामुळे स्ट्रिंग थिअरित १०+१ =११ मितींचे विश्व आहे म्हणून ती  सिद्धान्ताहून भारी आहे, अशी खुळचट विधाने किंवा प्रवचनामध्ये विश्व हे इतक्या मितींचे आहे असे काही म्हणून शब्दच्छल करणे हा निव्वळ हास्यास्पद प्रकार आहे! शिवाय शास्त्रीय लिखाणामध्ये space म्हणजेच अवकाश हा शब्द set म्हणजेच संच या गणिती अर्थाने वापरला जातो. त्यात सदिशावाकाशाची व्याख्याच मुळात इतकी अब्स्ट्रक्ट आणि गणिती आहे की या तात्विक चर्चा ऐकणे हा भौतिक-गणिताच्या लोकांना एकतर मनस्तप असतो किंवा करमणूक! जर इथून पुढे असा कोणी नग दिसला तर त्याला न चुकता Herstein चे अल्जेब्राचे†† पुस्तक किंवा हा लेख द्या!

"पेशल" लोक

∆  ∆

† जर आपणास कर्डिन्यलीटीची संकल्पना ठावूक असेल तर न म्हणजे केवळ नैसर्गिक संख्या न घेता, कोणताही कर्डीनल नंबर घेऊ शकता. इन्फ़यनाईट सुद्धा. संपूर्ण लेखामध्ये असे वापरले तरी चालेल. 
§ गणितीय संकल्पनेचे चित्र काढता येणे म्हणजे ती कल्पना वास्तववादी = real आहे, असे मनण्याचा एक पॉप-साय (Pop-Scie) लोकांचा नियम आहे. त्यामुळे हायर-डिमेन्शनल स्पेसेस कायमच त्यांचा वादाचा आवडीचा विषय असतो. पण हे म्हणजे, मला जर कळले तरच ते विधान सत्य, अशा कुपमंडूक प्रवृत्तीचे प्रदर्शन आहे!

†† हा  अतिशय सुंदर नि रोचक विषय आहे. याचे अप्लीकेशानाही प्रचंड आहेत. यावरील काही सुंदर पुस्तके:

•  हाल्मोस पा., व्हेक्टर स्पेसेस
•  हॉफमन आणि कुंझ, लिनिअर अल्जेब्रा
•  लॅंग स., लिनिअर अल्जेब्रा 

हा लेख लिहीताना प्रद्युम्नने त्याचा बराच वेळ दिला आणि पहिला ड्राफ्ट अगदी टाकून द्यायला लावला. जर लेख चांगला झाला असेल, तर त्याच्या टिप्पण्यांस श्रेय जाते! :) धन्यवाद पद्या!