रेषीय फलने

नमस्कार,
बर्याच काळानंतर ताजा लेख घेऊन पुन्हा हजर आहे! मागे व्हेक्टर स्पेसेस वरचा लेख लिहीला नि लिनीअर ट्रान्स्फॉर्मेशनस् चा हा लेख लिहीण्यासही सुरूवात केली. व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास लिनीअर ट्रान्सफॉर्मेशनस् नि मॅट्रीक्स् च्या अभ्यासाशिवाय पूर्ण होत नाही. प्रस्तुत लेखात लिनीअर मॅप म्हणजे काय हे सांगीतले आहे, नि लिनीअर मॅपस् ची काही अतिशय सोपी उदाहरणे दिली आहेत. आपल्या लेखमालिकेमधे आत्तापर्यांत मी फंक्शनस् ची= फलनांची व्याख्या दिली नव्हती. त्यामुळे या लेखामधे खरं तर फंक्शनस् नि लिनीअर फंक्शनस् या दोन संकल्पनांवर चर्चा केलेली आहे. बरीच उदाहरणे दिली आहेत, जेणेकरून वाचकांना या संकल्पना "पाहता" येतील. शिवाय बरीच चित्रेही काढली आहेत.
फार विचार करायची इच्छा नसेल  किंवा गणिताशी फारसा संबंध नसल्यास तर हा लेख वाचण्याच्या फंदात तुर्तास पडू नका. हा लेख बराच तांत्रिक आहे! :)

एक विनंती अशी, गणिती वाचकांना हा लेख एका बैठकीत वाचण्यायोग्य नाही, असे वाटले तर खाली तशी प्रतिक्रीया जरूर लिहा. मग याचे दोन भाग करीन.

हा लेख मी नि अभिजीत बेंद्रे (अभिजीतचे G+) ने मिळून लिहीलाय. माझे थिसीस लिखाण चालू असताना, मी लिहीलेल्या पहील्या प्रतीवरून त्याने हात फिरवला नि ती वाचेबल केली. प्रद्युम्नने काही महत्वाचे टंकणदोष दाखवले, याबद्दल धन्यवाद!

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा- ५ पैकी ५ मिरच्या!
जरा खबरदारीनेच वाचा. बराच तांत्रिक लेख आहे. सहज म्हणून वाचायचा असेल, तर थेट सोडून द्या, असा माझा सल्ला असेल!

फलने (Functions)

प्रथमतः फलन म्हणजे काय ते पाहू. फलन  म्हणजे इंग्रजीत function.

 असं समजा, की  “A” आणि “B” हे संच आहेत, तर A वरून B मध्ये जाणारे फलन  “f”, म्हणजे A मधील प्रत्येक घटकास B  मधला एका आणि एकाच घटकासोबत जोडी लावून द्यायची प्रक्रीया होय.

म्हणजेच“A” मधील प्रत्येक घटकास "B" मधे एक तरी जोड हवा नि तो जोड युनिक- एक आणि एकच हवा!

म्हणजे काय, तर A च्या घटकांच्या, B च्या घटकांसोबत जोड्या लावायच्या. नि त्या लावताना दोन नियम पाळायचे, एक तर हा की Aच्या प्रत्येक घटकाला Bमधे जोड मिळालाच पाहीजे नि दुसरा म्हणजे एका घटकाला एकाहून जास्त जोड द्यायचे नाहीत! लग्न ही प्रक्रीया फंक्शन म्हणून पहणे शक्य आहे. ती आजच्या पद्धतीप्रमाणे थोडी 'इम्प्रॅक्टीकल' होते, पण तरीही हे उदाहरण पहा-
 Aमधे जर विवाहेच्छूक अविववाहीत तरूण ठेवा नि B मधे विवाहेच्छूक अविवाहीत तरूणी. तर वरील व्याख्येतील पहिल्या अटीप्रमाणे सर्वच तरूणांना जोड मिळायला हवी नि नियम दोन म्हणतो की एका तरूणास एकाहून अधिक मुलींसोबत लग्न करता येणार नाही. जर पांडवांनी एकच लग्न केले असे मानले, तर (ते काही खरे नाही, मात्र उदाहरणाखातर तसे मानू!) B मधे द्रौपदीला स्थान आहे. म्हणजेच, B मधल्या एका घटकास A मधील एकाहून अधीक जोड मिळू शकतात. उलटपक्षी, B मधल्या एखादा घटक जोडीशिवायही राहू शकतो, उदाहरणार्थ एखादी अविवाहीत स्त्री.

लिहीताना आपण f: A → B असे लिहीतो. म्हणजे,  f हे A वरुन B वर जाणारे फलन,  म्हणजे इंग्रजीत फंक्शन, आहे.

उदाहरण १:  (समजायला सोपे जावे म्हणून ;-) ) "पैश्यांचे" उदाहरण घेऊ.

समजा, H हा जगातील माणसांचा संच आहे आणि R हा वास्तव संख्यांचा संच आहे, आपण H वरुन R मधे जाणारे “रुपये” नामक फलन बनवू . हे रुपयांचे फलन ₹ ने दर्शवू. उपरोधृत पद्धतीप्रमाणे, ₹ हे H वरुन R वर जाणारे फलन आहे, म्हणजेच, 

 ₹: H → R.

₹ काय करते, तर ते  माणसांचा संच असणार्या H मधील, एखाद्या माणसाकडे किती पैसे आहेत, हे सांगते. अमिताभ बच्चन हा H मधला माणूस घेतला, तर 

₹(अमिताभ बच्चन)= अमिताभ बच्चन कडील पैशांचा आकडा (तो नक्कीच शून्येतर आहे!).

 झिंगा-लाला-झिंग हा अमेझॉनच्या खोर्यातील, इतर जगासोबत संबंध नसलेला आदिवासी असेल, तर झिंगा-लाला-झिंगकडे काहीच पैसे असणार नाहीत, त्यामुळे

₹(झिंगा-लाला-झिंग)= ०.

एखाद्याकडे कर्ज असेल तर त्याला ऋण संख्या मिळेल, इ.इ.

उदाहरण २: फलनाचे गणिती उदाहरण घ्यायचे झाले तर f: R →R असे घ्यायचे की f हे  कोणत्याही वास्तव संख्येला तिचा वर्ग असणार्या संख्येकडे पाठवते, म्हणजेच 

f(x)= x^२.

हे फलन २ ला ४ वर पाठवेन, १.५ ला २.२५ वर , π ला π^२ वर इत्यादी. लिहीताना हे f(२)=४, f(१.५)= २.२५ व f(π)=π ^२ असे लिहीले जाते. 

उदाहरण ३: अजून एखादे उदाहरण म्हणजे h: Z → N, 

जर x ऋण संख्या असेल तर, h(x) = -x, 

जर x ऋणेतर (शून्य किंवा धन ) संख्या असेल तर h(x)= x.

या उदाहणामधे एकच सूत्र वापरून h ची व्याख्या दिलेली नाही, तर ती दोन वेगळ्या सूत्रांनी दिलेली आहे. मात्र फंक्शनच्या व्याख्येप्रमाणे Z मधील प्रत्येक घटकास N मधील एक नि एकच घटक नियुक्त केला आहे.  हे फंक्शन काय करते तर, सर्व संख्याना त्यांचे केवल मूल्य (absolute value) नियुक्त करते. थोड्या बाष्कळ भाषेत सांगायचं तर ते प्रत्येक पुर्णांकास त्याच्याशी संबंधीत ऋणेतर नैसर्गिक संख्येवर पाठवते. जसे की 

h(३)= ३,   h(०)=०,    h(-३४५२३)=३४५२३.

उदाहरण ४: एक अखेरचे उदाहरण म्हणजे, g: Z→ Z, 

g(x)= २+x 

हे फलन कोणत्याही संख्येत २ मिळवते. जसे की g(८०५)= २+८०५=८०७, g(-२३)=२+(-२३)=  २१, g(०)= २+० =२ असे.

उदाहरण ५: एक खास उदाहरण: वरील उदाहरणे तुम्ही कदाचित तुमच्या पाठ्यपुस्तकांतही पाहीली असतील. फलनाचे जास्त चांगले शास्त्रीय उदाहरण कोणते? भौतिकशास्त्रात गतीचा अभ्यास करतात. समजा एखादा कण त्रिमीत अवकाशात फिरतोय, उदाहरणार्थ, एखादा परागकण हवेत तरंगतोय. एखाद्या बिंदूस त्रिमीत अवकाशाचा मूलबिंदू= ओरीजीन ऑफ रेफरन्स फ्रेम ठरवा नि या मूलबिदूंपासून तीन अक्ष काढा, आपण भुमितीमधे नेहमी करतो तसे. त्यामुळे अवकाशातील प्रत्येक बिंदू (x, y, z) अशा तीन वास्तव संख्या वापरून दाखवता येइल.

परागकणाचे विस्थापन, मुलबिंदूपासूनचे अंतर नि विस्थापनाची दिशा

 परागकणाचे t या वेळीचे विस्थापन= displacement मोजूयात. आपणास माहीतच आहे की विस्थापन ही सदीश राशी आहे, म्हणजे तिला दिशा=डिरेक्शन आणि वजन=मॅग्निट्यूड असते. परागकणाच्या सर्व डिसप्लेसमेंटचा संच घ्या. हा कण त्रिमीत अवकाशात फिरत असल्याने प्रत्येक विस्थापन सदीश = डिसप्लेसमेंट व्हेक्टर त्रिमीत असेल नि ती (x, y, z) अशी दिसेल, इथे x, y नि z वास्तव संख्या आहेत नि त्या काळावर t वर अवलंबून आहेत. या संख्या t वर अवलंबून असल्याने काही वेळा लिहीताना (x, y, z) ऐवजी लोक

 (x(t), y(t), z(t)) असे लिहीतात. तर, या कणाचे एखादे विस्थापन घेतले (x, y, z) तर त्याच्या मॅग्नीट्यूडचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची मॅग्नीट्यूड = √(x^२ + y^२+ z^२).

प्रत्येक सदीशाची मॅग्नीट्यूड ही ऋणेतर धन संख्या असते. या उदाहरणात डिसप्लेसमेंटची मॅग्नीट्यूड म्हणजे बिंदूचे ओरीजीनपासूनचे अंतर= डिस्टन्स, बरं का!

नि (x, y, z) च्या दिशेचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची दिशा = (x, y, z)/ √(x^२ + y^२+ z^२).

आपल्याकडे आता दोन सुत्रे झालीत. एक सूत्र (x,y,z) अशी डिसप्लेसमेंट सदीश घेते नि तिचा आकार= मॅग्निट्यूड सांगते तर दुसरे सूत्र (x, y, z) ला तिची दिशा देते. पण नीट पाहीलेत तर लक्षात येइल ही सूत्रे सर्वच (x, y, z) अशा त्रिकूटांसाठी वापरता येतील. परागकणाची डिसप्लेसमेंट हे केवळ उदाहरण आहे. म्हणजेच त्रिमीत वास्तव अवकाशावरील प्रत्येक सदीशासाठी आपल्यालडे दोन सुत्रे आहेत. पहीले सुत्र त्रिमीत सदिशचा आकार सांगते नि दुसरे तिची दिशा.

या उदाहरणाच्या गणिती मॉडेल मधे दोन फलने आहेत.

१. वास्तव त्रिमीत अवकाशावरून R^३ वरून ऋणेतर वास्तव संख्यांत जाणारे एक फलन नि 

२. R^३ वरून R^३ मधे जाणारे एक फलन. 

कसे तर:

१.  M: R^३ → R

M((x, y, z)) = √(x^२ + y^२+ z^२).

२. D: R^३ → R^३

D((x, y, z)) = (x, y, z)/√(x^२ + y^२+ z^२).

रेषीय फलने

उदाहरण ६: आता फलनाचे एक खास उदाहरण देतो. ते म्हणजे `ताणणारे फलन’ किंवा scaling: समजा t ही वास्तव संख्या आहे. नि R^३ हे त्रिमीत वास्तव आवकाश. तर 

T: R^३ → R^३ असे आहे की, 

T((x, y, z)) = (tx, ty, tz).

T काय करते तर प्रत्येक व्हेक्टरची लांबी t या फॅक्टरने ‘स्केल’ करते.

घरचा अभ्यास: जर (अ) t= 0,  (ब) 0< t <1 ,  (क) -1> t > 0 आणि t< 0 असेल तर T काय करते, ते चित्र काढून पहा.

आता थोडी चर्चा करू. फलने ही संचांवर डिफाइन केलेली असतात. व्हेक्टर स्पेसेस् पण संच आहेत. मात्र व्हेक्टर स्पेसवर काही जास्तीचे स्ट्रक्चर असते, ते म्हणजे (छानशी) बेरीज नि अदिशांचा गुणाकार. त्यामुळे जर दोन सदिशावकाशांत एखादे “नम्र” फंक्शन दिले असेल नि ते फंक्शन बेरीज नि गुणाकाराचा ‘आदर’ करत असेल, ते पहिल्या व्हेक्टर स्पेसने बेरीज-गुणाकाराच्या स्वरूपात एनकोड केलेली माहिती, दुसर्या स्पेसवर नक्कीच नेउ शकते. मागील लेखात आपण पाहीले आहे की, कंटीन्यूअस सिग्नलची स्पेस घेतली तर बेरीज नि गुणाकार, यांचा अर्थ वेव्ह ओव्हरलॅपींग नि व्होल्टेज ऍम्प्लिट्यूट वाढवणे असा असतो. त्यामुळे सिग्नल स्पेसवरून तिच्यावर जाणारे नम्र फंक्शन ओव्हरलॅप झालेल्या वेव्हज् नि स्केल केलेल्या ऍमप्लिट्यूटसोबत निट वागतील. अशी नम्र फंक्शनस व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास करताना महत्वाची ठरतील. या नम्र फंक्शंनस् ना “लिनीअर फंक्शनस्/ मॅप्स्/ ट्रान्सफॉर्मेशनस्”  किंवा केवळ “ट्रॅन्सफॉर्मेशनस्” म्हणतात. आपण त्यांना रेषीय फलने म्हणू शकतो. 

रेषीय फलने बेरीज-गुणाकाराचा आदर करतात म्हणजे काय, तर V नि W ही सदिशावकाशे असतील, T हे फलन असेल T: V → W तर T रेषीय आहे म्हणजे, जर u,v या सदिश असतील नि r ही वास्तव संख्या आहे तर:

१. T(u+v) = T(v) + T(v)    :  बेरजेचा आदर करणे

    २. T(r ×v) = r × T(u)          : गुणाकाराचा आदर करणे

ही झाली रेषीय फलनाची तांत्रिक व्याख्या. याला "रेषीय" म्हणतात कारण असं आहे की, सुरुवातील बरेच गणिती आणि भौतिकशस्त्रज्ञ सदिश अवकाशास  "रेषीय अवकाश" म्हणत. म्हणून रेषीय अवकाशातील फलन ते रेषीय फलन. अजून एक कारण असे कि, २ नि ३ मितीय सदिश अवकाशात रेषा काढता येतात, (आपली नित्याची coordinate geometry हो, पॅरामीटर फॉर्ममधे रेषेचे सूत्र लिहीणे!). जर V वरून V मधे एखादे रेषीय फलन जात असेल तर V मधील रेषेला ते V मधील रेषेवर नेते. त्यामुळेही या फलनास रेषीय फलन असे म्हणतात.

   वरील उदाहरण ६ मधील ताणणारे फलन रेषीय फलन आहे. कारण (x, y, z) नि (a,b,c) या सदीश असतील नि r ही वास्तव संख्या असेल तर, 

T((x, y, z)+ (a,b,c)) = T((x+a, y+b, z+z)) = (t(x+a), t(y+b), t(z+c)) = (tx+ta, ty+tb, tz+tz)= 

(tx, ty, tz)+ (ta, tb, tc) = T((x, y, z))+ T((a,b,c)).

नि

T(r(x, y, z))= T((rx, ry, rz)) = (trx, try, trz) = t (rx, ry, rz) = rT((x, y, z)).

घरचा अभ्यास: V= R^२ नि मग R^३ ठेवून वरील स्केलींग ट्रान्सफॉर्मेशन T वापरा नि पहा की पॅरामीटर फॉर्मधील रेषेस T रेषेवरच नेते.

रेषेचा पॅरामीटर फॉर्म पाहण्यासाठी इथे टिचकी मारा नि या विकीपानावरील Parametric equations पहा.

   रेषीय फलनाचा अजून एक गुणधर्म म्हणजे ते पहिल्या अवकाशाच्या मुलबिंदुला ( म्हणजे (०,०,…०) ह्या सदिशाला) दुसर्या अवकाशाच्या मुलबिंदुवर नेते.

उदाहरण ७: R^३ ➝ R^२ जाणारे एक फेमस उदाहरण पाहू. समजा R^३ म्हणजे त्रिमित अवकाश, म्हणजे आपल्या आजूबाजूचे अवकाश. त्याचा मुलाबिंदू हा जमिनीवरचा कोणताही एक बिंदू माना. तात्पुरते विसरू की पृथ्वी गोल अहे. समजा की ती द्विमित नि सपाट आहे. तर ती द्विमित अवकाश म्हणजेच XY-plane होइल. जमीनीवर एक काठी रोवून तिच्या रोवण्याचा बिंदू हा मूलबिंदू=ओरीजीन म्हणून घ्या. काठीचे हवेमध्ये असलेल्या टोकाचे स्थान सांगण्यासाठी तीन आकडे लागतील (कारण ते टोक त्रिमित अवकाशात आहे), तर (x, y, z) हे त्या टोकाचे R^३ मधले स्थान आहे. सुर्य माथ्यावर असताना त्या टोकाची सावली सपाट जमीनीवर, म्हणजेच, R^२ वर पडेल. तर त्या सावलीच्या टोकाचे कुऑर्डीनेट काय असतील?

 उत्तर सोपे आहे, ते (x, y, 0) असे असतील. त्यातील शून्य बिनकामी आहे. आपण तो काढला तर ते (x, y) असे दिसेल.

ही "सावली" हे त्रिमित अवकाशातल्या बिंदूंना द्विमित अवकाशात नेणारे फलन आहे: (x, y, x) → (x, y, ०). हे मुळात रेषीय फलन आहे, हे तपासणे सोपे आहे. या फ़लनास projection = छाया फलन  असेच म्हणतात.

कुऑर्डीनेट वापरून छाया फलनाचे वर्णन

अशाच प्रकारचे छाया फलन R^२ ➝ R^१ वरही देता येते.  इन जनरल, जर n≥m असेल तर Rⁿ➞ R^m वरून असे फलन बनवता येते. कोणत्या प्रतलावर छाया हवी हे ठरवायचे. नि मग जी व्हेक्टर आहे, तिचे त्या ठरवलेल्या प्रतलाचे अक्ष सोडून इतर अक्ष शून्य करायचे! 

कम्प्युटर वा गेमींग अनिमेशन करताना याच्यात थोडा बदल करून सावल्या बनवतात.

हा लेख लिहीण्यापूर्वी, प्रोजेक्शनचे उदाहरण सांगण्यासाठी, फार आधी, वरचे चित्र न काढता खालील व्यंगचित्र काढले होते.

अर्जुनाने मारलेल्या बाणाची सावली- इथे बाणाच्या विस्थापनाची ट्रॅजेक्टरी नि शेवटी दिशाही व सावलीही दिसते

आणि आता एक प्रश्न, वर परागकणाच्या उदाहरणात R^३ ➝ R^१ वर जाणारे, व्हेलोसिटीला म्यग्निट्युडवर नेणारे फलन दिलेय, 

(x, y, z)➞ √(x^२ +y^२ +z^२).

सांगा पाहू की हे रेषीय फलन आहे का?

∆  ∆

प्रस्तुत लेखातील फलन या शब्दावर बर्याच जणांनी आक्षेप घेतला आहे. त्या संदर्भात एक पुरवणी वजा टीप वाचण्यासाठी इथे टिचकी मारा.

सदिशावकाश उर्फ व्हेक्टर स्पेसेस

If then I find myself writing, not mathematics, but ‘about’ mathematics,

 it is a confession of weakness, 

for which I may rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous mathematicians.

- Prof. G.H. Hardy

खरेतर मी "म्याट्रिक्सचा जन्म" असा विषय घेऊन लिहायाला सुरुवात केली आणि मग जाणवले की तत्पूर्वी खूप सारी तयारी करावी लागेल. आणि मग लिनियर स्पेसेस, लिनिअर म्याप हे डोळ्यांसमोर नाचू लागले. एक न धड भरभर चिंध्या होण्या ऐवजी विचार केला, एक एक विषय घेऊन निट लिहावे नि म्यट्रिक्सच्या जन्माची कहाणी अखेरीस निरुपावी! त्या दृष्टीने हा पहिला लेख. माझ्या अनेक फिजिक्सच्या मित्रांची व्हेक्टर स्पेस वरील लेखाची विनंती म्हणूनही या लेखाकडे पाहता येईल!  हा लेख म्हणजे काही "पेशल" लोक, ज्यांनी आम्हाला गणिती मिती-अवकाश असे शब्द वापरून पिडले आहे, त्यांच्या मेंदूस खाद्य म्हणूनही पाहता येईल (त्यांना हा सहन व्हावयाचा नाही, ही कल्पना आहे तरीही…)!

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी ५मिरच्या
 लेख वाचण्यासाठी १०-१२वी तील व्हेक्टर, संचांचे कार्तेशियान प्रोडक्ट ठावूक हवे. 

सदिशावकाश (Vector Space):

   म्याट्रीक्सचा जन्म कसा होतो, हे पाह्यचे असेल तर, दोन अतिशय महत्वाच्या संकल्पना आधी पाहणे गरजेचे आहे त्याम्हणजे: सांतमितीय सदिशावकास नि त्यांवरील रेषीय फलने. सांत मितीय  सदिश अवकाश म्हणजे आपल्या मराठीमध्ये Finite dimensional vector space नि रेषीय फलन म्हणजे linear map. फिजिक्स-इंजिनियरिंगमध्ये linear mapला linear transformation किंवा नुसतेच transformation म्हणतात. व्हेक्टर स्पेस आणि लिनिअर म्याप ह्या केवळ या म्यट्रिक्सच्या जन्माकथेसाठीच नाही तर तर एरवीच गाणितामधील अत्यंत महत्वाच्या संकल्पना आहेत. आपण या लेखात मुलत्वेकरुन फ़ायनाईट-डिमेन्शनल-"रियल"-व्हेक्टर स्पेसेसचा म्हणजेच वास्तव सांत-मितीय-सदिश-अवकाशाचा विचार करणार आहोत. लिनिअर म्याप म्हणजे दोन व्हेक्टर स्पेसेस न जोडणारा पूल होय. या पुलाबद्दल पुढील लेखात लिहीन. चला, बरीच भिती घालून झाली. ही इतकी मोठी आणि जड जड नवे वाचूनही इथून पोबारा न केलेल्यांना आता या बाबी नेमक्या काय आहेत हे सांगतो. आधी शब्दभेद पाहू, कसा आहे तो.

अवकाश म्हणजे अवकाश! पण इथे अवकाश हा शब्द संच किंवा साठा या अर्थाने आला आहे. सदिश म्हणजे आपण सातवी-आठवीत शिकलेल्या सदिश राशी, ज्या राशींचे वर्णन करण्यासाठी त्यांची दिशा आणि वजन या दोहोंची  गरज असते अशा बाबी. उदाहरणार्थ फोर्स=बल, संवेग= मोमेण्टम इ. सदिश अवकाश म्हणजे (एकाच प्रकारच्या) सदिशांचा संच, i.e. set of vectors (of same type).

सांत= स+अंत थोडक्यात काय तर अनंत नसणाऱ्या, finite.

मितीय हा शब्द मिती = dimension वरून बनवलेला आहे.

सांत मितीय म्हणजे ज्यांच्या मिती अनंत नाहीत ते थोडक्यात finite dimensional.

आणि सांत-मितीय-सदिश-अवकाश म्हणजे सदिश राशींचा संच/ साठा आणि या साठ्याची मिती मोजेबल ;) आहेत, म्हणजेच a bunch of vectors such that the bunch has finit dimension. वास्तव सांत-मितीय-सदिशावकाश म्हणजे जे अवकाश बनवताना वास्तव संख्यांचा=real numbers, वापर केला आहे ते. आपण  "R" हे चिह्न वास्तव संख्यांचा संच दर्शवण्याकरिता वापरू नि V हे व्हेक्टर स्पेससाठी. चाणाक्ष वाचकांना आता कल्पना आली असेल की आपण फिजिक्स मधल्या व्हेक्टर या संकल्पनेचा गणितीय अभ्यास करणार आहोत. 

आब्स्ट्र्याक्ट म्यथेम्याटिक्स मध्ये सात-आठ गृहीतके वापरून रिअल व्हेक्टर स्पेसची= वास्तव सदिश अवकाशाची व्याख्या करतात. एक संच घेऊन त्यातील घटकांवर बेरीज आणि वास्तव संख्याने गुणणे अशी दोन ऑपेरशन टाकतात. या बेरजेचे आणि गुणाकाराचे काही गुणधर्म असतात. अशा या संचास गणितामध्ये वास्तव सदिश अवकाश असे म्हणतात. जिज्ञासूना इथे टीचकी मारून विकीवर ही व्याख्या सविस्तर पाहता येईल. ज्यांना तांत्रिकतेमध्ये जाण्याची गरज वाटत नाही, त्यांनी स्पेस म्हणजे सेट थिअरितील सेट आणि व्हेक्टर ही नित्याची भौतिकशास्त्राच्या पुस्तकातली व्हेक्टर, हे असे सध्या गृहीत चला. रिअल व्हेक्टर स्पेस म्हणजे "एकाच प्रकारच्या" वास्तव सदिशांचा संच. ह्या संचात शुन्य हवाच नि कोणत्याही दोन सदिशांची:

१. बेरीज करता आली पाहिजे, २. वजाबाकी करता आली पाहिजे, 

३. कोणत्याही व्हेक्टरला वास्तव संख्येने गुणता आले पाहिजे 

आणि हे केल्यानंतर जे उत्तर येईल ती सदिशाही याच संचामध्ये हवी. 

शिवाय गुणाकार आणि बेरजेने एकमेकांचा आदर करायला हवा, उदा.  (a + b)v = av + bv अशी डिस्ट्रिब्यिटिव्हिटी इ. 

"एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर" म्हणजे एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले i.e. different forces acting on SAME point किंवा एकाच वस्तूचे विविध संवेग. परंतु दोन वेगळे वेगळे बिंदू असतील (two distinct points) तर त्यांवर कार्यान्वित होणार्या दोन बलांना आपण "एकाच प्रकारचे व्हेक्टर" या क्याट्यागिरीत टाकणार नाही. किंवा एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारे बल नि त्या बिंदूचा संवेग ह्यासुद्धा एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर मानल्या जाणार नाहीत.

एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर

वर म्हटले तसे व्हेक्टर स्पेस मध्ये शुन्य नामक व्हेक्टर असायलाच हवी. ही व्हेक्टर म्हणजे काय, हे भौतिकशास्त्राच्या उदाहरणात पहायचे असेल तर, एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले, हे उदाहरण पहा (वरील चित्र). शुन्य बल म्हणजे काहीच बल नाही, ही संकल्पना बिंदूचे स्थान सांगते. म्हणजेच ज्या बिंदूवर ह्या व्हेक्टर कार्यान्वित होताहेत त्या बिंदूचे स्थान देते. म्हणजेच सर्व बलांचे (गणिती) उगमस्थान. याच कारणामुळे आब्स्ट्र्याक्ट व्हेक्टर स्पेसमध्ये शुन्य सदिशला (झिरो व्हेक्टरला) origin किंवा center of vector space म्हटले जाते.
एक तपासण्याजोगी बाब अशी की जर संचामध्ये=स्पेसमध्ये एक शून्येतर सदिश असेल तर त्यात अनंत सदिश येतात. कारण v ही शून्येतर सदिश असेल तर प्रत्येक a εR वास्तव संख्येसाठी av ही सदिश या संचामध्ये असेल. R अनंत असल्याने {av} हा संचही अनंत असेल. म्हणजेच जर V ही वास्तव व्हेक्टर स्पेस असेल आणि त्यात एक अशुन्य घटक असेल तर तीत कायमच अनंत घटक असतात. हा मुद्दा असा प्रश्न निर्माण करतो की अशा मोठ्या संचाचा अभ्यास कसा करायचा? कारण (एरवी) अनंत म्हटले की सारेच काही किचकट होऊन जाते. यावरील एक जालीम  उपाय म्हणजे "मिती"ची संकल्पना! मितीकडे वळण्यापुर्वी सदिशावाकाशांची उदाहणे पाहू.

उदा१: R चा स्वतःसोबत दोन वेळा कार्तेशियान गुणाकार RXR= {(a, b): a नि b वास्तव संख्या} असे दिसणारा संच हा एक वास्तव सदिश अवकाश आहे. त्यावर (a, b)+(c, d)= (a+c, b+d) आणि r(a, b)= (ra, rb) अशी बेरीज नि गुणाकार देऊन वरील सर्व गुणधर्म तपासता येतात. या सदिशावकाशास R^२ असे लिहितात. हे म्हणजे आपले फ़ेमस वास्तव प्रतल= real plane हे ओळखलेच असेल. (थोडे बाजूला जाऊन: रिअल प्लेन असेल तर त्याची मिती किती? तर दोन, हे फार पहिल्या पासून आपण शिकत आलोय. बरोबर? हिच संकल्पना जास्त रीगारासली पहायाचीये!).
कार्तेशियन गुणाकार माहीत नसल्यास या ओळीवर टिचकी मारा.

उदा२: अशाच प्रकारे  RXRXR= R^३वर वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि कंसाच्या आत घुसून गुणाकार केला तर R^३ सुद्धा वास्तव सदिश अवकाश होते.

उदा३: नि इन जनरल जर "न" ही नैसर्गिक संख्या† (natural nuber=  ०,१,२,३,…) असेल तर,  RXRX… न वेळा गुणाकार = R^न  ही सुद्धा वरील प्रक्रारे बेरीज-गुणाकार केल्यास वास्तव सदिश अवकाशे आहेत.

पाया नि मिती (Basis आणि dimension):

   आता एक छोटीशी आकडेमोड. समजा R^२ मधील एक सदिश (a, b) घेतली, तर बेरीज नि वास्तव संख्येने केलेला गुणाकार वापरून 

(a, b)= a(१, ०) + b(०, १) 

हे सहज पाहता येइल. किंवा R^न मधील

 (a,b,...n) = a(१,०…०)+ b(०,१,०,…०)+...+n(०,…०,१)

हे ही अगदीच उघड आहे. म्हणजे केवळ एकाच ठिकाणी एक आणि इतरत्र शुन्य असे दिसणाऱ्या सदिश नि वास्तव संख्या वापरून कोणतीही सदिश लिहिता येते.  R^२ मध्ये अशा दोनच सदिश असतात की ज्या आणि रिअल नंबर वापरून R^२ चे सर्वच व्हेक्टर लिहिता येतात, R^३ मध्ये अशा तीन आणि R^न मध्ये "न" इतक्या असतात. कारण R^न च्या व्हेक्टर मध्ये ( _, _, _,…, _) "न" कप्पे आहेत. म्हणजेच १ ठेवता येतो अशी "न" ठिकाणे उपलब्ध आहेत, इतरत्र शुन्य ठेवून द्या. ज्या व्हेक्टर मध्ये पहिल्या ठिकाणी एक येतो आणि इतरत्र शुन्य तिला e_१ म्हणतात, जीमध्ये दुसर्या ठिकाणी एक येतो तिला e_२ , … इ. 

एक थोडेसे किचकट काम म्हणजे हे सिद्ध करणे की जर e_१, e_२,… e_न यातील एकही व्हेक्टर काढली तर मात्र सर्वच्या सर्व व्हेक्टर वरील प्रमाणे लिहिता येत नाहीत. आता आपण व्हेक्टर स्पेसचा पाया म्हणजे काय ते पाहू:

व्याख्या: सदिशावकाश V चा पाया म्हणजे असा संच की ज्यातील व्हेक्टर वापरून V मधील इतर सर्व व्हेक्टरस् बेरीज नि वास्तव संख्यांनी केलेला गुणाकार वापरून करता येतात आणि या संचातील कोणतीही व्हेक्टर काढली असता V मधील निदान एक तरी व्हेक्टर अशा प्रकारे लिहिता येत नाही.

बरेच काही कष्ट करून आता एक बाब सिद्ध करता येते की प्रत्येक व्हेक्टर स्पेसला पाया असतो! आणि खरेतर शून्येतर स्पेसला एक नाही, दोन नाही तर तर "अनंत" पाया असतात. वरील उदाहरणांत दिल्याप्रमाणे पाया हा अतिशय छोटासा संच असतो आणि तो या सर्व अवकाशाचे वर्णन करू शकतो. पायाला इंग्रजीत basis of the vector space. शिवाय जर V मध्ये असे दोन पाया दिले असतील तर दोन्ही पायांमधील व्हेक्टर्सची संख्या सामानाच असते! म्हणजे  R^२ साठी {(१, ०), (०, १)} हा पाया आहे, हे आपण पहिलेच. पण जर R^२ चा इतर कुठलाही पाया घेतला तर त्यात दोन आणि दोनच व्हेक्टर असतील, ना कम ना ज्यादा! 

आता येते ती म्हणजे मिती. सदिशावकाश V ची मिती म्हणजे एखादा पाया दिला असता त्यामध्ये किती व्हेक्टर आहेत ती संख्या. 

 उदा४. 

  R^२ साठी (१, ०), (०, १) या दोनच सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^२ची मिती २ आहे.

  R^३ चा  (१, ०, ०), (०, १,०) नि (०, ०,१) या तीन सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^३ची मिती ३ आहे.

  R^न साठी (१,०…०), (०,१,०,…०),...,(०,…०,१) या न सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R^न ची मिती "न" आहे.

जर पायामध्ये अनंत व्हेक्टर असतील तर V ला अनंत मितीय वास्तव सदिशावकाश = infinite dimensional vector space, म्हणतात.

 उदा५.   RXRX…अनंत वेळा. वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि गुणाकार देऊन हे एक सदिशावकाश होते.

थोडे इकडे तिकडे:

हा सदिशावाकाशांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला लिनियर अल्जेब्रा म्हणतात. लिनियर म्हणजे रेषीय. सदिशावकाशास फिजिक्समध्ये रेषीय अवकाश= Linear space असेही म्हणतात. याचे कारण म्हणजे या अवकाशांची भौमितिक रचना. या अवकाशाचा अभ्यास करताना रेषा हे मुलभुत एकक ठरते. 

 हे आपणास माहीतच आहे की वास्तव संख्यांचा संच R म्हणजे रेषा. मात्र   वरील बरीज आणि वजाबाकी सदिशावाकासाच्या व्याख्येतील सर्व गुणधर्म पळते. यामुळे R स्वतः एक वास्तव सदिशावकाश बनते, त्याचा (एक) पाया {१} नि मिती एक आहे. हे अवकाश दिसते कसे? तर R म्हणजे रेषा! हे आपण पूर्वीपासूनच शिकत आलोय. मग R^२म्हणजे काय, तर रेषेचा रेषेसोबत कार्तेशियान गुणाकार, तो येतो द्विमित प्रतल. हाच गुणाकार तीन वेळा केला की आपली युक्लिडियन स्पेस म्हणजे रोज जगतो ते त्रिमित अवकाश बनते! त्याच प्रमाणे पुढील उच्च मितीय (सदिश) अवकाशे बनतात. मात्र त्यांची सर्वांचीच चित्रे§ काढणे जमंत नाही. अस्तु. व्हेक्टर स्पेस मध्ये स्केलर प्रोडक्ट (आदिश गुणाकार) टाकले की तिला इनर प्रोडक्ट स्पेस म्हणतात. आपण १०वीत शिकलेली सर्व भूमिती करता येते. मिती वाढवली की या स्पेस मध्ये हायर डिमेन्शनल जिओमिट्रिक शेप्स मिळतात. 

आणि आता एक सिद्धांत सांगून गणित थांबवतो! 

सिद्धांत: समजा V ही वरील ऍब्स्ट्रक्ट व्याख्या वापरून मिळवलेली वास्तव व्हेक्टर स्पेस आहे. जर V ची मिती "न" इतकी असेल तर V ही मुळात R^न  च असते.

म्हणजेच आपण वर जी उदाहरणे पहिली R^२ , R^३ , … केवळ तेच वास्तव सदिशावकाश असते. इतर सर्व सदिशावाकाशे तशीच दिसतात! हा फार महत्वाचा सिद्धांत आहे. आणि तो सिद्ध करणे फारसे अवघडही नाही.

अनंत फांदी इष्टाईल, मात्र, गद्य फटका:

आईन्स्टाईन आणि त्याने केलेला उच्च मितींचा वापर, हा तत्वज्ञानाच्या लोकांचा आणि रिलेटिव्हिटीवरील एखादे एकही गणित/ सिद्धांत नसणारे पुस्तक वाचून रिलेटिव्हिटी एक्स्पर्ट बनलेल्या लोकांना उच्च मिती आणि त्या कशा अॅब्स्ट्रॅक्ट आहेत यावर टोळक्यात प्रवचन द्यायला नि खर्या फिजीक्स-गणिताच्या पोरांना आव आणायला नक्कीच आवडते! त्यावर हा एक शेरा:  R चे भूमितीय स्परूप म्हणजे रेषा हे सिद्ध करणे म्हणजे R या अल्जेब्राच्या संकल्पनेतुल रेषा नामक भौमितिक संकल्पनेत जाणे. हे सिद्ध करण्याकरिता संशोधकांना १८००चा शेवट उजाडला. मग त्यांनी R^२ हे प्रतलासारखे दिसते, R^३ हे त्रिमित अवकाशाचे गणितीकरण आहे असे रिझल्ट वरील व्हेक्टर स्पेस ची संकल्पना वापरून सिध्द केले. फिजिक्समध्ये याचा फायदा हा झाला की रोजच्या जीवनातील घटनांची/ प्रयोगांची म्याथेम्यटिकल मॉडेल  बनवणे खूप सोपे झाले. आईन्स्टाईनने (खरेतर त्याच्या पूर्वीही काहीजणांनी) एखादी घटना त्रिमित अवकाशात घडत असेल तर  ज्या ठिकाणी घडते त्या ठिकाणाचे कुऑर्डीनेट म्हणजे  (a, b, c) आणि जर ती t वेळी घडली असेल तर काळ दर्शवणारा कुऑर्डीनेट टाकून, ती घटना= event दर्शवण्यासाठी चार कुऑर्डीनेटस (a, b, c, t) वापरले. त्यामुळे त्याचे मॉडेलमध्ये R^४ मध्ये गेले. इथे केवळ मोडेलिंग साठी गणित वापरलेय. विश्वाला मिती अशा नाहीत! कोणतीही वस्तू आपले कुऑर्डीनेट (अ,ब,क,…) असे काही आहेत असे म्हणून येत नाही! त्यामुळे विश्वाची मिती ही  फिजिक्सच्या गणिती मॉडेल वापरलेल्या "व्हेक्टर स्पेस" ची मिती असते! विश्वोत्पात्तीच्या असंख्य सिद्धान्तांपैकी एका मॉडेल मध्ये २२ कुऑर्डीनेट वापरलेत! तिथे विश्व २२मितींचे आहे! पण त्याचा रोजच्या जीवनात काही अर्थ होत नाही. यामुळे स्ट्रिंग थिअरित १०+१ =११ मितींचे विश्व आहे म्हणून ती  सिद्धान्ताहून भारी आहे, अशी खुळचट विधाने किंवा प्रवचनामध्ये विश्व हे इतक्या मितींचे आहे असे काही म्हणून शब्दच्छल करणे हा निव्वळ हास्यास्पद प्रकार आहे! शिवाय शास्त्रीय लिखाणामध्ये space म्हणजेच अवकाश हा शब्द set म्हणजेच संच या गणिती अर्थाने वापरला जातो. त्यात सदिशावाकाशाची व्याख्याच मुळात इतकी अब्स्ट्रक्ट आणि गणिती आहे की या तात्विक चर्चा ऐकणे हा भौतिक-गणिताच्या लोकांना एकतर मनस्तप असतो किंवा करमणूक! जर इथून पुढे असा कोणी नग दिसला तर त्याला न चुकता Herstein चे अल्जेब्राचे†† पुस्तक किंवा हा लेख द्या!

"पेशल" लोक

∆  ∆

† जर आपणास कर्डिन्यलीटीची संकल्पना ठावूक असेल तर न म्हणजे केवळ नैसर्गिक संख्या न घेता, कोणताही कर्डीनल नंबर घेऊ शकता. इन्फ़यनाईट सुद्धा. संपूर्ण लेखामध्ये असे वापरले तरी चालेल. 
§ गणितीय संकल्पनेचे चित्र काढता येणे म्हणजे ती कल्पना वास्तववादी = real आहे, असे मनण्याचा एक पॉप-साय (Pop-Scie) लोकांचा नियम आहे. त्यामुळे हायर-डिमेन्शनल स्पेसेस कायमच त्यांचा वादाचा आवडीचा विषय असतो. पण हे म्हणजे, मला जर कळले तरच ते विधान सत्य, अशा कुपमंडूक प्रवृत्तीचे प्रदर्शन आहे!

†† हा  अतिशय सुंदर नि रोचक विषय आहे. याचे अप्लीकेशानाही प्रचंड आहेत. यावरील काही सुंदर पुस्तके:

•  हाल्मोस पा., व्हेक्टर स्पेसेस
•  हॉफमन आणि कुंझ, लिनिअर अल्जेब्रा
•  लॅंग स., लिनिअर अल्जेब्रा 

हा लेख लिहीताना प्रद्युम्नने त्याचा बराच वेळ दिला आणि पहिला ड्राफ्ट अगदी टाकून द्यायला लावला. जर लेख चांगला झाला असेल, तर त्याच्या टिप्पण्यांस श्रेय जाते! :) धन्यवाद पद्या!