लेख क्र. शुन्य- तुम्ही नेमकं करता काय? -१

यत्ता "बी.यस्सी." ला गेलो. गणित हा मुख्य विषय म्हणून घेतला आणि मग काही प्रश्न सतत कानावर पडू लागले.  पुढे यम. यस्सी. आलेला त्यातील एक प्रश्न म्हणजे,  "गणित…! त्यात एम.एस्सी. करतात…? इतके काय शिकतात बाबा?". यम. यस्सी. नंतर गणितामध्ये संशोधन करण्यासाठी तयारी करतोय, असे सांगितल्यावर नवा प्रश्न आला , 

"गणितात संशोधन…! बापरे, म्हणजे किती आकडी गुणाकार सोडवता तुम्ही?" 

हा ब्लॉग  लिहायचा ठरल्यावर माझ्या जितक्या मित्रांना विषय सुचवा, म्हणून विचारले, त्यापैकी बर्याच जणांनी माझा मूळ प्रश्न डावलून  प्रश्न केला...

 "अरे, पण तुम्ही नेमकं  करता काय? "

तुम्ही नेमकं शिकता काय?

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

१०वी पर्यंतचे गणित थोडेफार आठवत असेल तर उत्तमच!

      खरे सांगायचं तर याचे नेमके आणि परिपूर्ण उत्तर देणे मला शक्य नाही, तेवढी माझी पात्रताही नाही. गणित या विषयाचा आवाका इतका मोठा आहे की ते सर्वकाही स्पष्ट करता येईल असे लिहिणे, ते ही माझ्यासारख्या गणिताच्या विश्वात केवळ विद्यार्थी  असणाऱ्या माझ्याने हे शक्य नाही! पण आता एकदाच मौन सोडतो नि या प्रश्नांची उत्तरे देण्याचा एक प्रयत्न करतो. दहावी- बारावीच्या गणितानंतर गणितामध्ये काय शिकतात आणि संशोधन करतात म्हणजे नेमके काय करतात, याचे उत्तर देण्याचा मी प्रयत्न करीन. हा आहे भाग पहिला.

        हायस्कूलनन्तर गणित शिकणे म्हणजे मोठ्यात मोठ्या आकड्यांच्या बेरजा-गुणाकार करणे का? आणि गणित म्हणजे केवळ आकडेमोड, त्रिकोण-चौकोन यांचे कोण मोजणे आहे का? असे बरेच प्रश्न पडतात. यांचे सरळ उत्तर मी देत नाही. आधी एक अनालोजी देतो.

       मराठी कुमारांच्या आयुष्यात आलेले पहिले प्रेम, ही जशी कायम आठवणीत ठेवायची गोष्ट आहे, तशीच एक गोष्ट म्हणजे झपाटून जाऊन एका बैठकीत, किंवा एका रात्रीत वाचून काढलेली एखादी कादंबरी! आपल्यापैकी बर्याच जणांची एक तरी आवडती कादंबरी असेल, "शाळा" म्हणा किंवा "श्रीमान योगी".  हि आवड निर्माण होताना या वाचनाची सुरुवात आणि उत्क्रांती कशी झाली असावी याचे एक स्केच काढू. बालपणी मुळाक्षरे, बाराखडी शिकलो. त्यावेळी जर त्याने मुलाने विचारले की याचा उपयोग काय, तर तो "काहीतारी वाचणे" इतकाच, असे सांगितले जाते. पुढे वाचन वाढत गेले, की केवळ शब्दांचा अर्थ न पाहता लिखाणाचा-कादंबरीचा भावार्थ लावणे जमू लागले की अभ्यास वाढला म्हणायला हवे. याही पुढे जाऊन, कादंबरीच्या या भावार्थाचे तत्कालीन स्थितिसोबत संदर्भ जोडून कादंबरीचे साहित्यिक आणि सामाजिक मुल्य ठरवणे हे अजून एक पाउल पुढे झाले! ( त्यापलीकडे जाऊन लेखकाच्या खाजगी आयुष्याचा अभ्यास, मानसिकतेचा अभ्यास आणि मग सामाजिक स्थिती, लेखकाची-समाजाची मानसिकता आणि कादंबरीची भाषिक मुल्ये व लेखकाची भाषिक कौशल्ये यांचा परस्पर संबंध लाऊन निष्कर्ष काढणे म्हणजे संशोधन. ). एक साधारण ढोबळमानाने, असा होतो भाषेचा अभ्यास. आणि आपण सर्वांनी आपली आवडती कादंबरी वाचताना या साहित्य प्रवासाचा अनुभव घेतला असतोच, फक्त इतका अनालिसिस आपण करत नाही.

      आता मी हाच प्रवास "गणित" विषयासाठी मांडतो, सुरुवातीला आकडेमोड शिकणे म्हणजे गणित या विषयाचा "श्रीगणेशा" झाला. मग रेषीय-वर्गीय समीकरणे (= लिनिअर-क्वाड्राटिक इक्वेशन्स) सोडवणे, शाब्दिक उदाहरणे सोडवणे (म्हणजे पुलांचे फुटके नळ, गळके हौद इ. इ.) आणि x, y, z किंवा "क्ष" नावाचे चल पद वापरायला शिकणे, भौमितिक आकृत्या काढता येणे ही झाली मुळाक्षरे. या सर्वांना वापरून आणि साधे भौमितिक सिद्धांत† सोडवणे, साइन-क्वास-ट्यान ची ओळख म्हणजे झाले "मदन नमन कर", "रामा शिरा कर" अशी रचना वाचता येणे. बस्स…ही झाली १० वी !  इथे आपल्यापैकी बरेच जण मग गणिताला राम राम ठोकतात! इथून पुढे गणिताच्या नावे कानाला खडा लावलेल्यांनी पुढचा परिच्छेद सोडून वाचले तरी हरकत नाही.

हायस्कूलातील भूमिती!

      पुढे जे जातात त्यांची ओळख मग द्वि-त्रिमितीय भूमिती, क्याल्कुलस, म्यट्रिक्स थेअरी, प्रोबाबिलीटी यांसोबत होते. हि ११-१२ वी ची पुस्तके म्हणजे "छान छान गोष्टी"! मग बरेचसे गाणितला अलविदा करतात. जे कोणी प्युअर फिजिक्स-गणित न करता इतर विषयांकडे वळतात त्यांची आणि क्याल्कुलास्ची जी लढाई जुंपते की डिग्री मिळाल्यावर पुन्हा गणोबचे नावच नाही! खरे सांगायचे तर हा विषय त्यांच्या किडनिमधे खर्याखुर्या क्याल्कुलसने (= मुतखडा)†† त्रास होणार नाही, इतका त्रास त्यांना देतो! त्यामुळे त्यांच्या वेदानेपायी तोंडी आलेल्या शिव्या अगदीच रास्त आहेत! या लोकांच्या पुस्तकांतील गणित मी "बालभारती"च्या मराठीसारखे आहे, असे मी नक्कीच म्हणेन. ही  झाली गणिताची बालभारती पर्यंतची गाथा. इथवर बरेच लोक येतात नि त्यांना  इथवर गणित हे नक्कीच माहिती असते. 

क्याल्क्युलासाचा बळी :) 

थोडक्यात काय तर, १० पर्यंत फक्त आकडेमोड आणि त्रिकोण-चौकोन, त्यापुढे फक्त क्याल्कुलस-म्याट्रिक्स-प्रोबाबिलीटी, हे सारे गणितात येते. आत्ता प्रश्न राहिला, पुढे काय? …. पुढे येतो भावार्थ आणि "रीडिंग बिटवीन द लाइन्स"! मला काय म्हणायचेय हे जर स्पष्ट करतो.

खिशाकडे हात जाताच हसत हसत उठला, 

पैसे नकोत सर जरा एकटेपणा वाटला.…. 

…. मोडून पडला संसार तरी मोडला नाही कणा

पाठीवरती हात ठेउन, तुम्ही फक्‍त लढ म्हणा !

कुसुमाग्रजांच्या "कणा" मधील ओळी ऐकून केवळ पैसे नको असे म्हणणारा तरुण समोर उभा राहत नाही. त्याची कठीण परिस्थिती, त्यामध्ये ही दाखवलेले मनोधैर्य या सर्वांचे मिश्रण सहजच होते आणि आणि मग कवितेचा "अर्थ" सापडतो.  यासाठी तो तरुण सरांचा कोण आहे, त्याची परिस्थिती काय, त्याची मानसिकता काय असेल, असे प्रश्न पटकन मनात येतात आणि त्यांची उत्तरेही पटकन मिळतात. हे झाले- रीडिंग बिटवीन द लाइन्स. हा झाला कवितेचा अभ्यास! असेच रीडिंग बिटवीन द लाइन्स गणितातही करता येते का? असे प्रश्न विचारता येतात का? असाच एक प्रसिद्ध प्रश्न म्हणजे न्युटनचा "सफरचंद खालीच का पडले§" हा प्रश्न! 

     

      होय, असेच भावार्थ शोधणारे प्रश्न गणितात पडतात. त्यापैकी काही पुढे दिले आहेत. यापैकी कितीतरी प्रश्न गम्मत म्हणून एरवी आपण विचारतो. परीक्षेआधी पुस्तक फेकून "साले, हे असाच का?" असं ओरडतोही.  पण, कोणी सांगायला नसते, की हे "खरेच" महत्वाचे प्रश्न आहेत. आणि त्यांची उत्तरेही उघड नसतात. 

उदाहरणार्थ, 

• १+१=२च का? १+०= १च का? 
•  वर्तुळाच्या परिमिती-क्षेत्रफळामध्ये, तो आकडी आणणारा आकडा "π" कुठून येतो?
• मूळ संख्या वापरून एखादी संख्या लिहिता येते, यात इतके काय भारी? लसावी मसावी का शिकायचा?
• वजा गुणिले वजा बरोबर अधिक, वजा गुणिले अधिक बरोबर वजा, असेच का?

हे बेसिक झाले. पुढे गेले तर, 

• म्याट्रिक्स गुणाकार तसाच का करायचा? (सरळ सरळ एकास एक गुणता येते की!)
• डिटरमिनंट का जन्माला आला? (आणि तो ही इतका किचकट फार्मुला जन्माला घेऊन!)
• लिमिट-कनटिन्युटीचा चा धडा कायम क्यालक्युलसच्या पहिल्या पानावर असतो, पण पुढे ते येते कुठे? 
• इंटिग्रेशन कायम [a, b] अशाच इण्टर्व्हल मध्ये का करायचे? जर इंफायनाईट इण्टिग्रल करायला गेले की वेगळा अभ्यास का करावा लागतो?

     एकदातरी असा प्रश्न तुम्ही स्वतःला किंवा मित्रला किंवा शिक्षकांना विचारलाच असेल, I am so very sure about it! गम्मत अशी आहे की, हेच खरे गणितातील प्रश्न आहेत. बेरजा-वजाबाक्या-फुटके गळके हौद हा केवळ ट्रेलर आहे! पुढे ते कुठेही येत नाहीत! तथाकथित हायर (प्युअर?) म्याथेम्यटिक म्हणजे याच प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा अभ्यास! ही उत्तरे मिळवण्याकरिता काही विषय, जे बी.(\ यम) एस्सी. ला शिकावे लागतात. 

म्हणजे नेमके कोणते विषय?

     जरा चटकन सांगतो. मागील लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे आधी शिकायची ती लॉजिकची भाषा! मग संच सिद्धांत (सेट थिअरी) आणि यांचा वापर करून ०+१ = १ वगैरे दाखवता येते! हेच पुढे चालवत पूर्णांक ( = इण्टिजर्स) आणि परिमेय संख्यांपर्यंत जाता येते. मग शिकतात ते म्हणजे "अनालिसिस". रिअल अनालिसिस म्हणजे रिअल क्यालक्युलसची जन्मकहाणी तर कॉम्प्लेक्स अनालिसिस ही कॉम्प्लेक्स क्यालक्युलसची! हे दोन्ही क्यालक्युलस कसे जन्मले, कसे वाढले, असेच कसे वाढले, इ. इ. प्रश्नांची उत्तरे हा विषय देतो. हाच विषय - x - = + नि - x + = -    या नियमांचे करण उलगडतो. लिमिट, इंटिग्रेशन, इंफायनाईट इण्टिग्रल यांचा परस्पर संबंध स्पष्ट करतो. नंबर थिअरि म्हणजे (पूर्णांक) संख्यांचा अभ्यास (पुढे अब्स्ट्रक्ट संख्यांचाही अभ्यास करतात). यामध्ये मूळ संख्या कशा मूळ आहेत, लसावी-मसावी साठी किती झगडा करावा लागतो आणि ते का महत्वाचे आहेत हे शिकवले जाते. मग "लिनिअर अल्जेब्रा" नावाचा विषय म्याट्रिक्स, व्हेक्टर्स, डिटरमिनंट यांची अख्खी कुंडली मांडतो. मेझ्यर थिअरी हा विषय प्रोबलिलिटिची सारी कहाणी कथन करते. तर डिफरंल्शिअल जिओमेट्री सगळ्या भूमितीची पायाभरणी करते. 

      संशोधन करताना, एक प्रश्न सुटतो, पण तो नव्या शंभर प्रश्नांना जमना देऊन जातो. त्यामुळे, या प्रश्नांची उत्तरे, नवे प्रश्न निर्माण करतात नि ही चेन अशीच सुरु राहते! यामुळे अजूनही कित्येक विषय आहेत जे आम्ही शिकतो की जेणेकरुन या प्रश्नंाची उत्तरे मिळवित! असे दोन फ़ेमस विषय म्हणजे: टोपोलोजी आणि अल्जेब्राइक जिओमेट्री.

      या सर्व विषयांचा वाढता विस्तार शिकणे म्हणजे कुमारभारती वाचणे नि त्यांचा परस्पर संबंध लावत, पूर्वी विचारलेल्या नि बावळट म्हणून गणल्या गेलेल्या प्रश्नांची उत्तरे शोधणे म्हणजे गणित नावाच्या कवितेचे आकालन होणे होय!

पुढील भागामध्ये "तुम्ही संशोधन म्हणजे नेमके काय करता? आणि सध्याचे नेमके प्रश्न कोणते आहेत?"

∆  ∆

लिहून त्यावर सुधारणा कशी करावी अशी चर्चा करत असता, "गणित करता म्हणजे नेमके काय करता" ह्याच विषयांवर लिहिण्यासाठी मला नितीन, योगेश आणि श्रेयस यांनी भाग पाडले! त्यामुळे जर ह्या लेखामुळे तुमचे काही प्रश्न सुटले असतील, तर ह्या तिकडीला ही त्याचे श्रेय! :)

तळटिपा:

†भौमितिक सिद्धांत- इथे भूमिती म्हणजे आपली १० वीतील युक्लिडीअन प्रतलीय भूमिती होय

††क्याल्कुलस- Oxford Dictionary प्रमाणे याचा एक अर्थ "मुतखडा" असा होतो.

§ ही कथा खरी की खोटी या वादामध्ये पडण्यापेक्षा मला हे उदाहरण महत्वाचे आहे! ;)

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - ३

हा आहे पहिल्या लेखाचा अखेरचा भाग. माझी तक्रार मी का केली याचे कारण मी इथे देणार आहे. शिवाय फार महत्वाचा प्रश्न असा की हा लॉजिक नावाचा प्रकार कसा वापरायचा, त्याचा दैनंदिन जीवनात कसा संबंध येतो, यावर विवेचन आहे. 

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५ पैकी १/२ मिरची

आता हे तर्कशास्त्र प्रकरण गणितात आणि संशोधनात हे कुठं येतं?

थेट सांगायचं म्हटलं तर संचाचा सिद्धांत मांडताना गणित्यांच्या पिढ्यांनी दिलेली ही चिह्ने ही गणिताची लिपी आहे , संच सिद्धांत ही भाषा आहे आणि गणितीय तर्कशास्र हे या भाषेचे व्याकरण आहे! कोणताही गणिती सिद्धांत जगातील कोण्याच भाषेचा वापर न करता केवळ हे सारे वापरून लिहीता येतो! पण ही भाषा इतकी साधी आहे, की मग लिहीताना फारच त्रास होतो, म्हणून नित्याच्या साध्या भाषांची मदत घ्यायची! गणित करताना त्यामधील संकल्पना, युक्त्या, पद्धती या सार्या मिळून गणित होते. आणि अशी गोष्टींवर कमी त्रास घेऊन, सुटसुटीतपणे विचार करण्यास नि लिहीण्यास तर्कशास्त्राची मदत होते. नि तर्कशास्राचा एक खुपचा छोटा नि पायाभूत विभाग म्हणजे गणितीय तर्कशास्त्र . त्यामुळे गणित म्हणजेच तर्कशास्त्र किंवा तर्कशास्त्र म्हणजेच गणित असं म्हणणे नक्कीच चुकीचं आहे. किंबहुना आपल्या अज्ञानाचं प्रदर्शन करणारं ;-) तर हे झाले फा.शि. लोकांसाठी स्पष्टीकरण.

    मागे उल्लेख केल्याप्रमाणे डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्सचा सैद्धांतिक पाया या शास्त्राने रचला आहे. वर सांगितल्याप्रमाणे हि चिह्ने आणि लॉजिक एकमेकांना जोडून गणिताची भाषा तयार होते. समजा, जर या प्रत्येक चिह्नासाठी एक इलेक्ट्रॅनिक सर्किट बनवले आणि प्रत्येक मुलभुत नियमांसाठी एक सर्किट बनवले तर ती जोडून सारे गणित करता येईल. मग "गणन" म्हनजेच कम्प्युटिंग करण्यासाठी ही  यंत्रे जोडून एक मोठे यंत्र करता येईल. कोणतेही लॉजिकल इनपुट ही यंत्रे तपासू शकतील. अस साधा विचार करून पहिल्यांदा प्रत्येक बेसिक सर्किट्स बनवली आणि त्यांना नाव दिले "लॉजिक गेट्स"! तर, प्रत्येक डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्सच्या पुस्तकाच्या आरंभी हा धडा का असतो याचे हे स्पष्टीकरण! आणि हिच ती संकल्पना जी आपल्या आजच्या संगणकाच्या जन्माचे कारण ठरली!

चार्ल्स ब्याबेज आणि त्याच्या संगणकावरील एक व्यंगचित्र
(Picture downloaded from Google. I do not claim the rights.)

रोजच्या जीवनात हे कुठं येतं?

लिखाण करताना, अर्ज करताना, जाहिरातींमध्ये हे मुलभूत तर्कशास्त्र तरी निदान वापरले जावे अशी एक आपेक्षा असते.  त्याच्या अभावी वाक्याचा अनर्थ होऊ शकतो. जसे की अर्ज किंवा एसओपी लिहीताना दिसणारे वाक्य म्हणजे 'मला तमुक एका विषयात रस होता आणि मी अमुक एक पदवी मिळवली म्हणून मी ह्या प्रोजेक्टचा विचार केला'. वरकरणी हे वाक्य ठिक आहे. पण या वाक्याच्या अर्थाकडे जरा खोलवर पाहूयात :

समजा,

…मला रस होता…  = क्ष

…मी पदवी मिळवली… = य

… प्रोजेक्टचा विचार केला= र

अशी विधाने घेतली तर 

तर वरचे वाक्य बनते,

(क्ष ⋀ य़) → र

पण नियमांप्रमाणे:

                                   (क्ष ⋀ य़) → र = (क्ष → र) ⋀ (य → र)           (विचार करा..!)

चिह्ने काढून परत वाक्ये टाकली तर हे विधान होते,
मला रस होता म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला आणि मला पदवी मिळाली म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला…इथे पहिले वाक्य ठिक आहे, पण अर्जामधे दुसरे वाक्य नक्कीच चांगले इंप्रेशन देत नाही!

अजून एक उदाहरण म्हणजे नवकविता. हे माझे स्वतःचे निरीक्षण नि मत आहे की पारंपारीक कावितांमधे लांबलचक वाक्ये असतात, परंतु ती वाक्ये योग्य त्या उभयान्वयी अव्ययांनी जोडली असल्या कारणाने कवितांचा अर्थ स्पष्ट असतो. नवकवितांमधे वाक्यांची लांबी कमी होते आणि ही उभयान्वयी अव्यये जवळ जवळ वापरलीच जात नाहीत. त्यामुळे दोन वाक्यांचा नेमका संबंधच कवी सांगत नाही. त्यामुळे वाचकाच्या मानातील उभयान्वयी अव्यये ती जागा भरून काढून नवनवा अर्थ देत राहतात!

अस्तु, एक नित्याचा अनुभव म्हणजे वाक्याची किंमत बदलणे. याचे पुढील उदाहरण माझ्या आवडीचे आहे. पण त्याचे स्पष्टीकरण (कदाचित) "डोक्याला शॉट" आहे असे तुम्हाला वाटेल. वेळ झाला तर नक्की वाचा.
माझा आणि एक ब्यांक कर्मचार्यांचा संवाद. काऊंटरवर पैसे घेताना.

ब्यां.क.- अच्छा तुम्ही होळकरांचे चिरंजीव. हे घ्या पैसे. तुमचं पासबुक भरलं नै ना?

मी- हो.

ब्यां.क. (गोंधळून)- हो? अहो, पण तुमचे वडील म्हणाले की नाही भरलं?

(आता) मी- (गोंधळून) हो, नाही भरलंय?

ब्यां.क.- तुम्ही काय करता?

मी- एम्.एस्सी., गणितात.

ब्यां.क.- अहो, इतकं गणित शिकताय, जरा लॅजिकली बोला की राव! पासबुक भरलं नाहीतर हो काय म्हणताय!

मी गुपचूप निघुन आलो.

   आता तुम्ही म्हणाल की यात  लॉजिकचा संबंध काय? तर ते स्पष्टीकरण असे: ब्यांक कर्मचार्यांने विचारलं की पासबुक भरलं नाही ना? हे वाक्य अजून सोपे करून असे म्हणता येईल की- तुमचं पासबुक भरलं नाही. होय ना? ईंग्रजीमधे "isn't it?" अशी जी रचना असते तशी ही रचना आहे. त्यामुळे उत्तर
असेल की "होय, पासबुक भरले नाही" , होय ना? ;-)  (पुन्हा तीच रचना! त्यामुळे याचेही उत्तर होकारार्थीच येईल).  मी नाही म्हटलो तर तो नकार झाला असता. त्याचे उत्तर "नाही, पासबुक भरले आहे" असा अर्थ झाला असता.

     आता इथे आपले वरील तर्कशास्र कसे लागू होते? तर अशा रचनेमधे मुळ वाक्याचीच  लॉजिकल किंमत  उत्तर म्हणून आपेक्षित असते. मुळ वाक्यातच नकार आहे. तो असा: पासबुक भरलं नाही = -(पासबुक भरलं आहे).  उत्तर नकारार्थी दिले असते तर 'नियम ३'  प्रमाणे नकाराचा नकार तो होकार झाला. म्हणजेच -(-(पासबुक भरलं आहे)) = पासबुक भरलं आहे! आता, या सगळ्यामुळे मी होकारार्थी उत्तर दिले. पण झालं उलट! अशाच मजेदार जाहीरातीतही असतात, ज्यांच्यामधे असाच तर्कशास्त्राचा खून केलेला असतो आणि नेमका काहीतरी तिसराच संदेश दिलेला असतो. डोळे आणि मेंदू उघडा असेल तर ती तर्कशास्त्रीय मजा नक्कीच लुटता येईल!

आता, शेवट करतो लेखाचा. शेवटी एकच खडा टाकतो, सुरुवातीला मी जी फा.शि. लोकांबद्दल तक्रार केलीये, ती  अ- लॉजिकल आहे, म्हणजेच त्यात काही तर्क नाही असं म्हटलंय. सांगू शकाल का ते?

∆ ∆

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - २

राम राम मंडळी, मागचे लिखाण पचले असेल तर सुरुवात करूयात! यावेळी लॉजिकची दोन महत्वाची (आणि अखेरची) चिन्हे पहायाचीयेत. ती चिन्हे आहेत, <-> आणि  V.  

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा : ५ पैकी २ मिरच्या

तर , <-> आणि  V या चिह्नानांबद्दल काही गेस?

पहिले चिह्न म्हणजेच  < - >  पाहू. खालील चित्र पाहिले तर ते नेमके कळेल. 

हा बाण असा तोडता येईल  : <-- आणि --> असे. पण मग याचा अर्थ काय?  जरा लॉजिकली विचार करूयात. समजा अ आणि ब अशी दोन विचाने आहेत तर अ < - > ब म्हणजे काय तर, एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ  -> ब.  म्हणजे एकदा "ब" चे कारण "अ " आहे आणि एकदा "अ " चे कारण "ब " आहे असं. थोडक्यात काय तर दोन्हीही विधाने एकमेकांची करणे आहेत!

        वाह..! नेमका हाच अर्थ आहे या चिह्नाचा! याचे उदाहरण द्यायचे झाले तर मागच्या लेखातील गाण्य-गाणी ग्रुप अथवा. समज गाण्या आणि गाणीची भांडणे झालीत आणि दोघांनीही  एकमेकांशी कट्टर वैर जाहीर केलेय! मग, जेव्हा जेव्हा गणी दिसणार तेव्हातेव्हा गण्या जाणार आणि अचानक गण्या गेला रे गेला कि समजायचे कुठेतरी गणी  आहेत! थोडा बाद करून मग हे विधान असे करता येईल की,

५. गणी आली म्हणजेच†† गण्या जातो.

थोडक्यात दोन्ही वाक्यांचा अर्थ एकच आहे.  पण असे असेल तर वाक्यांची जागा बदलली तरी चालेल. हेच वाक्य आपण असेही लिहू शकतो की,

६. गण्या अचानक जातो म्हणजेच गणी आली.

आणि ५ नि ६ चा अर्थ एकाच आहे. मागील लेखातील संज्ञा वापरायची तर दोघांची किंमत एकाच आहे. जर विधान अ = गणी  आली घेतले आणि विधान २ = गण्या अचानक जातो असे घेतले तर चिह्न वापरून हि विधाने अशी लिहिली जातील:

५.  वि. अ <-> वि. ब
६.  वि. ब <-> वि. अ

क्या वात हैं, ही चिह्ने पाहताच कळते की दोन्हींचा विधानांचा अर्थ एकच आहे! ही आहे चिह्नांनाची कमाल! क्या वात हैं, उ. नि ऊ. पाहताच कळते की दोन्हींचा अर्थ एकच आहे.
यावरून येणारा नवा नियम असा की

नियम ३. (अ  <-> ब ) ची किंमत = (ब <-> अ ) ची किंमत

अजून एक असे कि अ <->  ब चा अर्थ आपण असा घेतला होता कि "एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ - >  ब ". हा अर्थ "आणि" साठीचे चिह्न (^) वापरून लिहिला तर होईल    "(अ <-  ब) ^ (अ - >  ब)".
हि दोन्ही वाक्ये सारखीच आहेत त्यामुळे

नियम ४. (अ <-> ब) ची किंमत = [(अ -> ब) ^ (ब -> अ )] ची किंमत 

बरेच नियम झाले आपल्याकडे. पुढे तर्कशास्त्राच्या मुलभूत गृहीतकांची यादी दिलेली आहे:

गृहितकांची यादी. यापैकी दोन चिह्नांची चर्चा पुढे केली आहे

हीच इलेक्ट्रॅनिक्स नि संगणकीय अभ्यासातील सुत्रे नि त्यांचा उगम. आहे खरा सोपा!

अशीच साधी उदाहरणे वापरून इतर नियम शोधता येतील.

    अजून एक महत्वाचे अव्यय आहे "किंवा". याच्या वापराचा एक नियम आहे. त्यासाठी एक चवदार उदाहरण पाहू:

मला जर आईने दमून आल्यावर पोळी भाजी हवी की खीर पोळी हवी असे विचारले. घरात दोन्ही आहेत. नि मी "पोळी-भाजी किंवा खीर-पोळी काहीही घेईन" असं म्हटल्यावर जो अर्थ होतो, त्याच अर्थाने तार्कीक  "किंवा" वापरला जातो. म्हणजे, मी दोन्हींपैकी एक काहीतरी घेईनच, पण, मला मनात आले तर दोन्हीही घेईन. असाच तार्कशास्त्रसातील किंवा चा अर्थ आहे (हा नियम आहे, सो नो क्वेश्चन!). पण मग "मी येईन किंवा येणार नाही" याचा तार्कीक अर्थ प्रॅक्टीकली निरर्थक होतो. मी येईन, अथवा नाही येणार अथवा दोन्हीही! रोजच्या आयुष्यात "दोन्हीही" ला अर्थ नाही. पण शास्त्रात सगळे चालते! अस्तु, किंवासाठीचे चिह्न  आहे V (उलटा ^). 

    आता आपल्याकडे गणितीय तर्कशास्त्राच्या अभ्यासाठी पुरेशी सामग्री जमली आहे.

सुरुवातीस म्हटले तसे, आपले ध्येय आहे ते वाक्यसमुहाचा अर्थ समजून घेणे. आणि आत्तापर्यात डेव्हलप केलेल्या पद्धतीवापरून त्याचे सोपे नियम शोधणे.  एक प्रश्न असा की "आणि"असणार्या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे करायचे. 

समजा मी मित्राला वचन दिलेय की मी तुला उद्या सीडी आणि बॅट देतो. तर हे वचन कधी मोडले जाईन? या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे होईल? मी दोन्ही गोष्टी देण्याचे कबूल केले आहे. त्यामुळे एक जरी बाब दिली नाही तरी वचन मोडले 

नि वाक्याची किंमत बदलली- म्हणजेच मी (सीडी दिली नाही आणि बॅट दिली) किंवा (सीडी दिली आणि बॅट दिली नाही) किंवा दोन्ही दिले नाही.

आपल्या पद्धतीप्रमाणे समजा

क्ष: मी तुला सीडी देईन

य: मी तुला बॅट दिईन

     माझे वचन = क्ष ⋀  य

त्याचा नकारार्थ =  सीडी दिली नाही किंवा बॅट दिली नाही = (सीडी दिली नाही) ⋀ (बॅट दिली नाही)

                                                                 = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)] ⋁ [(-क्ष) ^ (-य)]

पण आपल्या "किंवा"च्या नियमाप्रमाणे शेवटचा [(-क्ष) ⋀ (-य)] भाग लिहीला नाही तरी चालेल. 

म्हणूनच 

वचनाचा नकारार्थ = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

आणि हा आहे नावा नियम:

नियम ४.  -(क्ष ⋀ य़) [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

बुल (George Boole) नामक एका गणित्याने असे काही नकारार्थाचे नियम शोधून काढले. त्याला लक्षात आले की विधानांची किंमत बदलताना "⋀" व "⋁" यांची मजेशीर आणि सिमेट्रिक अदलाबदल होते. बुलने कंस सोडवण्याचे नियमही अभ्यासले. त्याने या "⋀" व "⋁"  चा अभ्यास करून दाखवले की गणितातील बर्याच विषयांमध्ये अशी अदलाबदल होते. मुल नियमाचे स्वरूप बदलत नाही. बुल्चे हे नियम सेट थिअरी म्हणजेच संच सिद्धांतामध्ये हि दिसतात, आकडेमोड करतानाही काहीवेळेस दिसतात. यांचा वापर करून डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्स मधील पायाभूत सर्किट्स बनवली गेली आणि आजच्या डिजिटल यंत्रांचा जन्म झाला. आरशातील प्रतिबिंबाप्रमाणे ही दोन्ही चिह्ने गणितीय तर्कशास्त्रात वागतात असे बुलच्या या नियमांमधे दिसते.

∆ ∆

††"म्हणजेच" हा शब्द मी वापरलाय. पुस्तकांत "तर आणि तरच" अशी रचना असते. "तर आणि तरच" ही माझ्या माहितीप्रमाणे पारंपारीक वाक्यरचना नाही. ईंग्रजीतील "if and only if" चा तो मराठी अवतार आहे. त्याचा अर्थ असा की पहीले "तर" म्हणजे - गणी आली म्हणून गण्या गेला; नि  "आणि तरच" म्हणजे - गण्या गेला म्हणून गणी आली. पण मला काही ही रचना फारशी पटत नाही. मराठीचे ईंग्रजीकरण वाटते. तरी जाणकरांनी जरूर कळवावे नि चूक दुरुस्त करावी.

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - १

-->

   एका मैत्रिणीने तिच्या एके ठिकाणच्या प्रवेशाकरीता लिहीलेले स्टटमेंट ऑफ पर्पज वाचायला दिले. वाचून झाल्यवर मी तिला कळवले "अगं ते लिहीलंय चांगलं, ईंग्रजीही चांगलं आहे पण लॉजिक जरा एकदा तपासून पहा." यावर तिने "अरे, ह्युमॅनिटीचा एस्ओपी आहे गणिताचा नाही. लॉजिक काय तपासतोयेस? " असं उलट उत्तर पाठवले. खरं सांगायचं तर कायमच लोकांकडून हे ऐकावं लागतं. तर काही वेळा आपलं लॉजिक लोकांना कळालं नाही की "अहो तुम्ही गणिताचे ना? तरी साधं लॉजिक कळत नाही?" अस उलटही ऐकायला मिळतं. "फार" शिकलेली माणसं ('फार' वर डबल ईन्वर्टेड कॉमाज दिलेत हे ध्यानात घ्या ! ) "अच्छा, तू गणित करतोयेस, म्हणजे नुसतं लॉजिकच ना दिवभर? डोकं उठत असेल नाही?" असं विचारतात. यावर आपण नाही असं उत्तर दिलेलं त्यांना आवडत नाही. खरं सांगू का, संशोधन नावाच्या धंद्यातले लोक फारच प्रा. विसरभोळे असतात, अति लॉजिकली किंवा अगदीच लॉजिक न वापरता वागतात, अशी जी नित्याची तक्रार असते, तशीच माझीपण ह्या अशा लोकांविरुद्ध  (एक अ-लॉजिकल) तक्रार आहे ती अशी की "ओ, जरा लॉजिकली बोला की राव!"

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा : ५ पैकी २ मिरच्या

    लिखाणमालिकेच्या संकल्पातील पहिल्या पुष्पात मी याच माझ्या तक्रारीला ब्याकअप करणारेय. ज्यांचा लॉजिकचा अभ्यास चांगला आहे त्यांनी थेट ह्या लिंकवर टिचकी देऊन भाग-३ कडे जा.   

     तर, गणित आणि लॉजिक, म्हणजे तर्कशास्त्र यांचा नेमका संबंध काय आणि या शिवाय नेहमीच्या जगण्यात हा लॉजिक नावाचा प्रकार नेमका कुठे नजरेस पडतो यावर हा पहिला लेख. लॉजिक लावणे म्हणजे तर्क करणे. तर आता, हे तर्कशास्त्र म्हणजेच गणित, असा फा.शि. लोकांचा जो समज त्याबद्दल- गणित म्हणजेच तर्कशास्त्र हे विधान चुकीचे आहे, नि तर्कशास्त्र म्हणजेच गणित हेही. याचे उत्तम उदाहरण असे की, आपण बोलत असणार्या भाषेमधे शब्दांना अर्थ असतो. शब्दांची रचना करून त्याला अर्थ देण्याचे शास्त्र म्हणजे व्याकरण, ते प्रत्येक भाषेला असते. अशा वाक्यांची सुंदर रचना केली मग निर्माण होणार्या वाक्यसमुहाला अर्थ देण्यासाठी केवळ व्याकरणच पुरेसे नसते. त्या प्रत्येक वाक्याचा अर्थ नि अशा अर्थांचा परस्पर संबंध जोडून या वाक्यसमुहाला अर्थ प्राप्त होतो. उदाहरणार्थ, पुढील दृष्य नजरेसमोर आणा,

     ...सकाळची वेळ आहे. फर्ग्युसन की अशाच एखाद्या मस्त कालेजच्या मुख्या कट्ट्यावर व्यक्तीमत्वे न्याहाळत एखादा "ग्रुप" बसलाय. सगळ्या "ग्रुप" मधे असतात, असा एक मुलगा, गण्या नि एक मुलगी गणी सुद्धा ह्या ग्रुप मधे आहेत (गण्या-गणी ही जोडी फेसबुकवरून उधार धेतलीये. माझ्या एका मित्राच्या मते गण्या-गणिका अशी जोडी जास्त योग्य आहे. पण मराठीमधे गणिकाचा अर्थ फारसा सुसंस्कृत नसल्याने, गणीच बरी!). पैकी गण्या आत्ता तिथे आहे पण गणी नाही. गणी आली. गण्या गेला.
----- इथवरची कथा कळाली असावी. आता शेवटच्या दोन वाक्यांवर नजर टाकू. तुमच्या ग्रुपमधे काय होत असे, हा विचार काढून टाकून केवळ परिच्छेदातील दोन वाक्ये म्हणून पहता आता वाचली तर काय वाटते? दोन्ही वाक्यात काही संबंध नाही. असं म्हणण्याचे कारण असे की या दोन वाक्यांबद्दल परिच्छेदात काहीही माहिती नाहीये. गण्या आणि गणीचे काही झाले भांडण-संवाद किंवा  अजून काहीही झाले होते का, हे दिलेले नाही. आपण त्यामुळे ती वाक्ये केवळ रुक्ष विधाने म्हणूनच घेऊ (अभ्यास म्हटले की रुक्षपणा आलाच तो!). तर वाक्य १ नि वाक्य २, परस्पर संबंध काही नाही. या वाक्यांचा क्रम बदलला तरी अर्थ बदलत नाही हे ध्यानात घ्या, कारण इथे काहीही पुर्वस्थिती दिलेली नाही नि कोठेही कार्यकारण भाव नाही. आता, ही दोन वाक्ये आपण खालील प्रकारे जोडू:

१. गणी आली आणि गण्या गेला.

२. गण्या गेला आणि गणी आली.

३. गणी आली म्हणून गण्या गेला.

४. गण्या गेला म्हणून गणी आली.

     इथे, दोन्ही वाक्ये उभयान्वयी अव्यये† लावून जोडली आहेत. त्यांचा वापर कसा करायचा हे झाले भाषिक व्याकरण. पण त्यांचा अर्थ वापरून या जोडणीचा अर्थ कसा करायचा हे झाले तर्क करणे. वाक्य १ नि २ चा अर्थ सारखाच आहे. कोणतेही वाकया दुसर्याला इंफ्लुएन्स करत नाही. आणि हे अव्यय वपरल्याने दोन्ही वाक्फ्यांचा क्रम बदलला तरी फरक पडत नाही. तो आणि ती काय किंवा ती आणि तो काय, सारखेच! मात्र  वाक्य ३. नि ४. चा अर्थ मात्र सारखा नाही. दोन्ही ठिकाणी पहीले वाक्य हे दुसर्या वाक्यातील घटनेचे कारण आहे.

   ही वेगवेगळी वाक्ये आता वरच्या प्यार्यामधे टाकून वाचली की परीस्थितीचे वेगवेगळे अर्थ होतात. ते असे की, जर १. किंवा २. वापरले तर गण्या का गेला? ह्या प्रश्नाचे उत्तर वाक्यात सापडत नाही, कारण रचनेमधे दोन्ही वाक्ये स्वतंत्र आहेत. पण तेच जर, ३. वापरले तर या  प्रश्नाचे उत्तर या प्याराग्राफमध्ये सापडते! अशी ही उभयान्वयी अव्ययांच्या अर्थाची कमाल. वाक्यसमूहांच्या एकमेकांसोबतच्या (= अन्योन्य) संबंधांचा  अभ्यास म्हणजे मुलभूत तर्कशास्त्र आणि तेच गणितीय तर्कशास्त्र. मी गणितीय तर्कशास्त्र म्हटले, कारण इतर तर्कशास्त्रे मला येत नाहीत. त्यामुळे, मी जे सांगेन, ते नेमके कशाकशात येते, याची मला कल्पना नाही. पण ते गणितात नक्की येते ही खात्री आहे. भारतीय तर्कशास्त्र वाचण्याचा प्रयत्न केला होता, परंतु ते तत्वज्ञानासोबत फारच जवळीक दाखवते असे वाटले. किंवा ग्रीकांनी निर्माण केलेले तर्कशास्त्रही तत्वज्ञासोबत शिकले तर फायदेशीर आहे असे वाटले. परंतु, गणित करण्यासाठी गण्या-गणी वाक्यांची चर्चा पुरेशी आहे. आता, काही वेळेस ही वाक्ये फार मोठी असू शकतात. त्यांचा अभ्यास करण्यासाठी सोपी पद्धत शोधणे गरजेचे आहे. ती अशी की आपण "स्पेशल" वाक्याला आता विधान म्हणूयात. पेशल की ज्याला खरं किंवा खोटं अशी किंमत देता येते ते वाक्य. म्हणजे काय की गण्या गेला, ह्या वाक्यातील क्रियापदाने सांगितलेली क्रिया एकतर खरंच झाली किंवा ती खोटी, म्हणजेच झाली नाही, असं म्हणता येतं. पण, गण्या कदाचित गेला, असं म्हटलं की खरं नि खोटं यांच्यामधे कुठेतरी अडकतो. तर, असा खरं-खोटेपणाबद्दल घोळ निर्माण करणारी वाक्ये विधाने नाहीत.  "आणि", "व" यांचा अर्थ सारखाच, वाक्य १. मधे वापरल्यसारखा. आपण "आणि", "व" अशा अन्वयांकरीता ^ असे चिह्न वापरू. जर विधान अ हे  विधान ब चे कारण असेल तर वि. अ  -> वि. ब  असे लिहूयात. 

आता आपल्या वि. अ = गणी आली व वि. ब = गण्या गेला बद्दल बोलू. वरची वाक्ये आता अशी सोपी सुटसुटीत दिसतील.

१. वि. अ  ^ वि. ब 

२.  वि. ब  ^ वि. अ

३.  वि. अ  -> वि.  ब

४.  वि. अ  <- वि.  ब

आपल्या चर्चेप्रमाणे विधान १. नि २. चा अर्थ सारखाच आहे.  "अमिताभ आणि धर्मेंद्रने शोलेमध्ये काम केले" हे वाक्य काय नि "धर्मेंद्रने आणि अमिताभने शोलेमध्ये काम केले" हि  वाक्ये तर्काशास्त्रामधे सारखीच.

हे पटले असेल तर जरा जनरल विचार करू. अ नि ब अशी जर दोन विधाने असतील नि त्याच्या खरं खोटं किमती ठरलेल्या आहेत तर अ ^ब , ब ^अ  या जोडलेल्या वाक्यांच्या किंमतीबद्दलचे गृहीतक असे करावे लागेल की:

गृहीतक १.  (अ  ^ ब ) ची किंमत = (ब  ^ अ) ची किंमत

 या नियमामुळे "आजचे प्रमुख पाहुणे  महानेते अबक आणि सूत्रसंचालक श्री. यरल आहेत" हे विधान  "आजचे सूत्रसंचालक श्री. यरल आहेत आणि प्रमुख पाहुणे  महानेते अबक" या विधानासाराखेच आहेत, मात्र रोजच्या आयुष्यात त्यांना वेगळा अर्थ प्राप्त होतो कारण महानेत्यांच्या नावापूर्वी सुत्रासंचालाकाचे नाव येणे हा महानेत्यांचा अपमान आहे..! त्यामुळे तर्कशास्त्राचे जग नि रोजचे जग असे वेगळे होते.
अजून एक अशी सोपी संकल्पना म्हणजे 'विधानाची किंमत उलटवणे'. विधानाची किंमत एकतर खरं किंवा खोटं (सत्य- असत्य) अशीच असते, कारण आपण तसेच गृहितक केले आहे. किंमत उलटवणे म्हणजे जर क्ष ची किंमत "खरं" (खोटं ) आशी आहे तर "-क्ष" ची किंमत "खोटं" (खरं, अनुक्रमे).

   उदाहरण असे की,  वि. १= गणी आली, तर (- वि. १) = गणी आली नाही.

किंवा 'मी जेवण केले नाही' असे वाक्य असेल तर त्याचे उलट म्हणजे 'मी जेवण केले.' आता एखादे विधान दोनदा उलट केले की तेच मूळ विधान परत मिळणार. हा झाला एक नियम:

नियम १. - (-क्ष) ची किंमत = क्ष ची किंमत

मूळ लेखावरील जे अभिप्राय आले, खासकरून गणित किंवा फिजिक्स/इंजिनियरिंग न करणाऱ्या मंडळींकडून, त्यांची कॉमन तक्रार होती की लेख फार मोठा आहे. एका बैठकीत वाचणे जड पडतेय. त्यामुळे मुल लेख तोडून त्यात अजून स्पष्टीकरणे टाकून लहान मालिका करतोय. त्यामुळे पहिल्या लेखनासाठी एवढेच पुरे! पुढील लेखात अजून दोन महात्वाच्या क्रिया आणि त्यासाठी लागणारी चिन्हे यावर लिखाण असेल. सोबतच काही सोपे पण प्राथमिक नियम कसे येतात त्यावर बोलेन.

आजची उजळणी  "आणि" , "व" अशी उभयान्वयी अव्यये आणि विधानाची किंमत उलट करणे या दोन महत्वाच्या क्रिया नि त्यासाठी तर्कशास्त्रात वापरली जाणारी चिन्हे पाहिली.

∆ ∆

तळटीपा-
†उभयान्वयी अव्यय: उभय = दोन, दोन्ही; अन्वय- संवंध , उभयान्वयी शब्द- दोन (वाक्यांचा किंवा शब्दांचा) परस्पर संबंध सांगणारे शब्द
                       अव्यय= न बदलणारे/ संपणारे
                       उभयान्वयी अव्यय = दोन वाक्यांचा किंवा शब्दांचा परस्पर संबंध सांगणारे शब्द ज्यांचे रुप बदलत नाही, उदा. व, आणि, किंवा, म्हणजे, तथापि, इ.

उपोद्घात

यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा |
तद्वद्  वेदाङ्गशास्त्राणां गणितं मूर्धनि स्थितम् ||

                           

अर्थ: ज्या प्रमाणे, मोरांच्या मस्तकी तुरा, नागांच्या मस्तकी नागमणी, त्याचप्रमाणे, 

वेदांगांच्या शिरोभागी गणित शोभून दिसते.

गणित या विषयावर बर्याच थोरामोठ्या लेखकांनी बरेच लिहून ठेवलेय. ते एकतर काहीतरी नकारार्थी किंवा फारच गहन नि उदात्त  अशाच स्वरुपाचं आहे. पण गणित करणार्या लोकांनी मात्र, त्याला सामान्यांच्या जवळ आणण्याचा पर्यत्न शक्यतो केला नाही. गणित करणार्या आम्ही लोकांनीच हे गहन, क्लिष्ट, "ऍबस्ट्रॅक्ट" आहे असं म्हणत वेगळं पाडलं.

असे हे शास्त्र मला जे काही थोडेफार उमगले, त्याच्या बळावर, पुन्हा जास्तीत जास्त लोकांना कळेलसं सांगण्याचा, त्यातील गमती जमती नि विचार सांगण्याचा आणि (माझे गणितातील वय फरसे नसूनही) या विषयाचे तत्वज्ञान सांगण्याचा हा एक प्रयत्न.