प्रश्न (नैसर्गिक) संख्यांच्या अस्तित्वाचा

God gave us the integers, all else is the work of man
- Kronecker 

(मागील लेखावरून पुढे चालू)
मागे बरीच तात्विक चर्चा झाली. पण युद्ध आणि पीएच. डी. केल्याशिवाय त्याचा अर्थ कळत नाही, असा म्हणतात, कदाचित गणिताचेही तसेच आहे. गणित केल्याविना त्याचा अर्थ कळणे शक्य नाही. मी या लेखामध्ये "नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात असतात"  ( :-o ) हे सिद्ध करतोय. या साठी केवळ संच सिद्धांत आणि लॉजिक वापरतोय. शक्य तितक्या वाचकांना कळेलसा प्रुफ देण्याचा प्रयत्न आहे. या सिद्धातेमागिल विचार आणि तत्वज्ञान पूर्वीच्या लेखात सांगितले आहे आणि ते ध्यानात ठेऊन वाचले तर नक्कीच तुम्हाला वाचताना बोअर  होणार नाही, उलट "गणित कळल्याचा" आनंदच होईल, हे मी खात्रीने सांगतो! तर, हा आनंद उपभोगण्यासाठी मागील  लेखातील विचार हवे आणि मागील लेख नेमका कळण्यासाठी थोडे गणित हवे… रोजच्या आकडेमोडीसाठी ०,१,२,... अशा संख्या आपण वापरतो. त्यांचा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. या संख्या आपण वापरताना त्यांचं अस्तित्व आपल्यासाठी अगदीच स्पष्ट असतं. मात्र गणिती मात्र प्रश्न विचारतात की संच सिद्धांत नि तर्कशास्त्र वापरून अशी (संचीय+तर्कीय :P) सिस्टीम बनवता येईल का, की जीमधे नैसर्गिक संख्यांचे सर्व गुणधर्म असतील?
 लेखामध्ये अशील संचीय+तर्कीय सिस्टीम अस्तित्वात आहेत याची गणिती सिद्धता मी देतोय. याच सिस्टीमला नैसर्गिक संख्याचा संच म्हणतात.
चटपटीत भाषेत सांगायचं, तर "नैसर्गिक संख्यांच्या अस्तीत्वाची" गणिती सिद्धता मी देतोय.
तर करूयात सुरुवात… 

या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी २ मिरच्या

(नैसर्गिक) संख्या म्हणजे नेमकं काय?

     गणिताच्या खेळाचे नियम पाळूत मुळापासून विचार करू. खेळाची पहिली अट आहे  की प्रत्येक संख्या संचांच्या भाषेत 

लिहिता आले पाहिजे आणि प्रत्येकाची संचीय व्याख्या असायला हवी. इथे पहिला प्रश्न उभा राहतो तो असा की १ म्हणजे नेमके काय? किंवा २ म्हणजे काय? किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणजे काय?

१=एक सफरचंद, २= दोन सफरचंद,…?

१ म्हणजे "एक सफरचंद" काय? पण तसे असेल तर "एक आंबा" ही संकल्पना दाखवण्यासाठी वेगळे चिह्न वापरले पाहिजे. शिवाय सफरचंद, आंबा ह्या संकल्पना संचाच्या भाषेत लिहिणे अशक्य आहे! त्यामुळे मुळ प्रश्न बाजूला ठेवून पहिला प्रश्न सोडवावा लागेल, तो म्हणजे नैसर्गिक संख्यांची योग्य अशी व्याख्या करणे. मग संख्या दिल्या की दोन संख्यांची बेरीज कायची म्हणजे नेमके काय करायचे हे ठरवणे. आणि मग आपले विधान सिद्ध करणे आले. चला तर मग, नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय हे संचांच्या राज्यामध्ये शोधूयात….!

                                                           १. नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या

नैसर्गिक संख्यांचा वापर मुळात मोजण्यासाठी होतो. त्यामुळे त्यांची व्याख्या देताना हा त्यांचा गुणधर्म लक्षात ठेवणे गरजेचे आहे. दुसरी बाब अशी की नैसर्गिक संख्यामध्ये क्रमवारीतेचा गुणधर्म (= वेल डिफ़ायिण्ड ऑर्डरिंग) असतो. म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्या दिल्या तर त्यामधील लहान कोणती, मोठी कोणती ते सांगता येते. शिवाय दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते†. खरेतर, साधे सुधे काउण्टिङ्ग करताना केवळ आणि केवळ नैसर्गिक संख्यांच्या मुलभुत गुणधार्माचाच वापर होतो. अजून एक सांगायची बाब अशी की नैसर्गिक संख्या म्हणजे {१, २, ३, … } असे आपल्याला सांगितलेले असते, मात्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ्यांनी {०, १, २, ३, … } यांना नैसर्गिक संख्या म्हटले होते, आणि आज गणितामधेही यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात. याची काही महत्वाची कारणे आहेत (जिज्ञासुंनी  मेल लिहून कळवा, उत्तर दिले जाईल). आपणही ० ला घेणार आहोत. तर पहिले ठरवू ० म्हणजे काय.  याचे उत्तर सोपे आहे. जर ० म्हणून मला संच वापरायचा असेल तर नक्कीच मी रिक्त संच (एम्प्टी सेट) वापरेन! म्हणजेच रिक्त संचास नेहमी आपण ∅ असे लिहितो, ते आज ० म्हणून लिहायचे. तर,

० := ∅ 

मग प्रश्न येतो तो १ म्हणजे काय असा. इथे थोडे डोके लावावे लागेल. कारण १ साठी पण एक संचच लिहिण्याचा मानस आहे. आणि मग सारे नैसर्गिक आकडे मी असेच संच म्हणून लिहित जाईन. त्यांची बेरीज म्हणजे या संचांचा योग संच घेणे (युनियन घेणे)  अस विचार आहे. पण तो कितीपत यशस्वी ठरेल हे माहिती नाही. आता १ साठी कोणता संच घ्यायचा ते ठरवायचं आहे. पण संच सिद्धांतामध्ये फक्त एकाच संच "देवाने" दिला आहे, तो म्हणजे रिक्त संच ∅! नवे संच बनवायला नवी सिम्बल घ्यावी लागतील आणि मग ती सिम्बल्स काय आहेत हे सांगण्यासाठी नवी गृहीतके घ्यावी लागतील. हे तर आपल्याला नको आहे. म्हणून मग, ∅ वापरूनच नवे सिम्बल बनवावे लागेल. ते कसे बनवायचे? एक युक्ती आहे, तिला म्हणतात सक्सेसर सेट. दिलेल्या संचाचा सक्सेसर सेट म्हणजे तो संच आणि त्यामधील सारे घटक असणारा संच.  उदा. अ चा सक्सेसर संच = अ ∪ {अ}. 

तसेच,

∅ चा सक्सेसर संच =  ∅ ∪ {∅} = {∅}

लक्षात घ्या की ∅ आणि {∅} वेगळे आहेत. ∅ रिक्त आहे आणि {∅} मध्ये एक घटक आहे, त्यामुळे तो रिक्त नाही.

उत्तम, आता हिच क्लुप्ती वापरून नवे संच बनवू, 

म्हणजेच रिक्त संच, रिक्त संचास इनक्लुड करणारा संच, रिक्त संच आणि या मागील संचास इनक्लुड करणारा संच, … इत्यादी.

आता हे लिहिणे सुटसुटीत व्हावे म्हणून त्यांना नावे देवूयात, 

∅ ला नाव दिलेच आहे, शुन्य. 

∅ चा सक्सेसर संच =  {∅}  याला एक म्हणू 

{∅}  चा सक्सेसर संच = {∅,  {∅} } याला दोन म्हणू, 

. 

. 

आणि असेच पुढे. 

थोडक्यात काय तर 

०  := ∅

१  := {∅} 

 २ := {∅,  {∅} } ={ ०, १}

३ := {∅,  {∅},  {∅,  {∅}}  } = {०, १, २}

.

.

.

आणि असेच पुढे.

     ही झाली ० ,१ , २ ची संचीय व्याख्या. नैसर्गिक संख्यांचा अतिमहत्वाचा एक गुणधर्म म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्यांची तुलना करता येते, म्हणजेच कोणती मोठी कोणती लहान हे सांगता येते. या सन्चीय व्याख्येमध्ये ही तुलना शक्य आहे का? तर होय! कसे? ते असे:

     न आणि म हे वरील प्रमाणे संच नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील दोन संच  (म्हणजेच दोन नैसर्गिक संख्याच ) घ्या. जर "न" हा "म" चा उपसंच असेल तर आपण न < म असे म्हणायचे . म्हणजेच "न" पुर्णपणे "म" च्या आत बसला असेल तर न हा म पेक्षा लहान आहे. ही व्याख्या फारच स्वाभाविक आहे. जसे पहा ∅ हा प्रत्येकच संचाचा उपसंच असतो, त्यामुळे ० = ∅ हा प्रत्येकच नैसर्गिक संख्येपेक्षा लहान ठरतो. तर १ = {∅} हा ∅ मध्ये नाहीये, त्यामुळे ० हा १ पेक्षा मोठा नाही. पण, १={∅} हा {∅,  {∅} } = २ चा उपसंच आहे. त्यामुळे  १ हा २ पेक्षा लहान होतो. त्यामुळे आपली व्याख्या बरीच योग्य आहे असे दिसते.

     आता वळू बेरजेकडे. संचाची युती म्हणजे बेरीज म्हणणे खूप स्वाभाविक वाटते, पण ते शक्य नाही. कारण ० ∪ १ = १ म्हणजेच ० + १ = १ किंवा ० ∪ २ = २ येते खरे, मात्र कोणत्याही संचाची त्याच्याच सोबत युती केली असता तोच संच परत मिळतो. त्यामुळे कोणतीही संख्या स्वतःमध्ये मिळवली असता आपल्याला तीच संख्या माघारी मिळेल! निसर्ग अशी बेरीज करत नाही! त्यामुळे दुसरे काहीतरी शोधणे भाग पडते.

२. संख्यांची बेरीज:

बरेच खटाटोप केल्यावर असे ध्यानात आले की,  सरळ सरळ बेरीज करणे शक्य नाही. सर्वच्या सर्व बेरजा देण्याऐवजी केवळ काही ठरावीक बेरजांची व्याख्या आपण करू नि मग त्यावरून इतर बेरजा करणे शक्य होईल. पहिली व्याख्या: शून्यासाठी नियम  ठरवायचा की ० +१ = १.  इतर संख्यांचे काय करायचे? आपण सक्सेसर वापरून संख्या बनवल्या आहेत. त्यामुळे ही बेरजेची व्याख्याही सक्सेसर वापरून करता आली तर गृहीतकं कमी होतील. एक छोटे निरीक्षण असे करता येईल की नित्याच्या आयुष्यात ०+१=१, १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असते. सक्सेसरची संकल्पना वापरून असे दिसेल की

१+१ := १ चा सक्सेसर संच = {० ,१} = २ . 

१+२ := २ चा सक्सेसर संच = ३

. 

.  

१+  न := न चा सक्सेसर = न+१

. 

. 

म्हणजेच कोणत्याही नैसर्गिक संख्येमध्ये १ मिळवायचा म्हणचे त्या संख्याशी निगडीत संचाचा सक्सेसर घ्यायचा. अरेरे, पण आत्ता खूपच जास्त (म्हणजे, खरेतर, अनंत) व्याख्या झाल्या! इतकी अझम्पशन्स बरी नाहीत. परंतु, नीट पहिले असता ध्यानात येईल की ह्या व्याख्या जरी अनंत दिसत असल्या तरी त्या एका ओळीमध्ये लिहिता येतात. त्या अशा की " शुन्येतर नैसर्गिक संख्या न साठी १+  न = न चा सक्सेसर". 

ही केवळ एकाच व्याख्या झाली! ही व्याख्या वापरून कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते, गुणकारही करता येतो! दोन संख्या  न आणि  म दिल्या असता त्यांची बेरीज  न + म = १+१+ … +१ (न वेळा) + म,  असे करून मग १+म  अशी बेरीज करता करता मूळ बेरीज काढता येईल. आणि न x म = न  वेळा म  ची बेरीज असे करता येईल.

     म्हणजेच महत्वाची आकडेमोड आपल्याला संच वापरून करता येतेय!

म्हणजे आपण सिद्ध केले की नैसर्गिक संख्या म्हणजे काही संचांचा बनलेला संच आहे, आणि क्रमवारीता, बेरीज, गुणाकार ही सर्व संचीय ऑपरेशनस आहेत! मातृभाषा इंग्रजीमध्ये ;) बोलायचे तर Set of natural numbers is a set which consists of some other sets. The operations: comparison, addition and multiplication of two natural numbers are also given by set theoretic operations.

३. तात्पर्य:

आता जर तुमचे डोके ठिकाणावर असेल तर, या सर्व द्राविडी प्राणायामाचे तात्पर्य  सांगतो. 

• पहिली बाब अशी की केवळ मुलभुत चिह्ने वापरून आपण  नैसर्गिक "संख्या" म्हणजे काय याचे उत्तर दिले.
• संख्या म्हणजे काय, हे ठरवल्यावर आपण लहान मोठी संख्या सांगू शकलो. 
• संख्यांचा बेरीज-गुणाकारही या मुलभुत स्वरुपात करता आला.
• इंग्रजी-मराठी भाषा, पेरू-आंबा ही फळे अशा बाबी न वापरता अतिशय रिगरसली पक्की थिअरी बनवता आली, केवळ संच आणि लॉजिक वापरल्याने, या थिअरीचा वापर यंत्रे करू शकतात (कारण यंत्रांना सेट आणि लॉजिकच कळते).
• गणित या शास्त्राची गृहीतके खूप कमी दिसत असली तरी निदान नित्याची आकडेमोड केवळ ही गृहीतके वापरून करता येते हे, सिद्ध झाले. त्यामुळे हे गणित नावाचे शास्त्र empty नाही हे सिद्ध होते ! :)

 ४. थोडीशी गंमत  

नैसर्गिक संख्या नावाची जी सिस्टीम एरवीच वापरली जाते, तिच्या अस्तीत्वासाठी जरा जास्तच गृहीतकं लागतात. म्हणजे की, प्रत्येक संख्या अस्तीत्वात असायलाच हवी (हे खरंतर खुप मोघम गृहीतक आहे. कारण संख्या अनंत आहेत नि कंटीनम हायपोथीसीस शिकलेल्यांना माहीतच असेल की अनंतची भानगड फार अंगाशी येणारी आहे!), शिवाय त्यांची बेरीज करताना १+१=२च हवे (१+१=० किंवा १ चालणार नाही). ही दोन गृहीतकंच या सिस्टीमच्या वापरावर मोठी बंधने आणतात (वापर म्हणजे कंप्युटींग किंवा संशोधनात इतरत्र). आपल्या रचनेमधे मात्र आपण अतिशय कमी गृहीतकं वापरली आहेत.

इथे सांगण्याची गंमत अशी की व्याख्येप्रमाणे १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असले तरी ३+४=७ हे इथे सिद्ध करावे लागते नि ते सिद्धही करता येते. कसे, तर

३+४ =(२+१)+४ =(१+१)+(१+४) =१+(१+५) =१+६=७ 

     अस्तु, रिगरस  गणिताची ही ओळख पुरे! अखेरीस सांगतो, गणित म्हणजे काय तर, दिलेला प्रश्न संच-लॉजिक-क्याटेगरी च्या भाषेत मांडणारे आणि त्याची उत्तरेही त्याच भाषेत शोधणारे  अन त्यासाठी नवनवीन कल्पना जन्माला घालणारे शास्त्र! कमीत कमी नियम वापरून  निसर्गाचा काटेकोरपणे अभ्यास करायचा प्रयत्न हा विषय करतो!

God gave us the integers, all else is the work of man

∆  ∆

हा लेख प्रूफरीड करायला भूषणने मदत केली. त्याबद्दल आभार :)

तळटीपा:

†नैसर्गिक संख्यांचे गणिताच्या दृष्टीने महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे  त्यांची क्रमवार मांडणी करता येते, कोणताही रिक्त नसणारा उपसंच घेतला तर त्यामध्ये एक सर्वात लहान संख्या असते (= प्रिन्सिपल ऑफ वेल ऑर्डरींग ) आणि त्या काउण्टेबल (ही तांत्रिक संज्ञा आहे) आहेत.

१ . Kronecker- हा एक प्रसिद्ध जर्मन गणिती आहे. त्याने लिनिअर अल्जेब्रास दिलेले क्रोनेकर डेल्टा चिह्न प्रसिद्ध आहे. त्याचे विकी पेज हे आहे.

२. वरील पद्धतीशिवाय कर्डिन्यालिटी अर्ग्युमेंट,  पियानोची गृहीतके वापरून केलेली व्याख्या या रचनाही नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात आहेत, हे सिद्ध करण्यासाठी वापरले जातात. मी पहिल्यांदा वाचलेली आणि अजूनही मला आवडणारी ही रचना आहे. शिवाय गणिताची बौद्धिक बैठक कमी असली तरीही ही सिद्धता देता येते. म्हणून लिहिली.

लेख क्रमांक शुन्य- तुम्ही नेमके करता काय?- २

"मी मुलीचा मामा. मी गणिताचा प्राध्यापक आहे. तुम्ही सध्या करता काय?", पलीकडल्या मंडळींनी विचारले. 

"सध्या पीएच. डी चालू आहे. गणितामध्ये संशोधन करतोय" मी. 

मामा टणकन उडाले. 

"काय? (मराठीमध्ये क्यापिटल लिहायची सोय नाही. हा "काय" क्यापिटल मध्ये वाचावा). गणितामध्ये संशोधन करतात?"

मामांच्या प्राध्यापकगिरी वरील माझा विश्वास आत्तपर्यंत पुर्णपणे ढासळला होता. मी जमेल त्या नम्रतेने उत्तर दिले,

"अहो, बरंच काम आहे करायला! खूप विषय आहेत, प्रश्न आहेत!"

बारावीच्या मुलाने १+१= ० असं उत्तर दिल्यावर करावसं तोंड करत अणि माझ्यावर जमेल तितका अविश्वास दाखवत मामांनी विचारले, 

"प्रश्न? अच्छा, मग तुम्ही मोठाच्या मोठा इण्टिग्रल सोडवता काय की हजार बाय हजारच्या म्याट्रिक्सचा गुणाकार करता?". प्रश्न सम्पताच इतरेतरांकडे एक विजयी मुद्रा टाकून माझ्याकडे प्रश्नार्थक चेहर्याने मामा बघते झाले.

     खरं सांगू, पुढे गणित प्राध्यापक मामांना मी काय उत्तर दिले, मग सगळे कसे फ़िसकटत गेले नि आईने मला नंतर कसे ताणले नि बाबा कसे खुसखुशीत हसत होते, ही कथा सांगण्यात काय फारसा अर्थ नाही! मात्र कोकणातील एका निवृत्त व्ह्यायला आलेल्या गणिताच्या शिक्षकांनी, बायो-केमिस्ट्रीच्य़ा सहसंशोधक मित्रांनी आणि गावाकडच्या अगणित अंतू बरव्यांनी विचारलेला प्रश्न असा सीन निर्माण करीन असं मला कधी वटलं नव्हतं! मागच्या भागात आम्ही काय विषय शिकतो यावर लिहीले, आणि आता उत्तर लिहिण्याचा प्रयत्न करतोय - "तुम्ही संशोधन करता म्हणजे करता काय?"

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

थोडीफार फ़ेमस फिजीक्साची उदाहरणे आहेत तेवढी.

शाळेमधे गुरुजी कायम सांगायचे की ज्ञानार्थींनी कायम का, कसे आणि कुठे हे प्रश्न विचारात राहिले पाहिजे. पण आता वाटते ज्ञानार्जन करणे हाच एकमेव हेतू आयुष्यभर असण्याला अर्थ नाही! आपणही कुठेतरी या ज्ञानभांडारात भर घालायला हवी. त्यामुळे ज्ञानार्थीपाणानंतर येते ती दशा म्हणजे संशोधन करणे. संशोधक हे वरील प्रश्नांची उत्तरे देतात. पण ही उत्तरे देण्याची प्रत्येक विषयाची स्वतःची पद्धती असते. म्हणजे, एखाद्या श्रद्धाळू आस्तिकाला प्रश्न केला की "झाडाची पाने हिरवी का असतात?" तर यावर उत्तर म्हणून "कारण ते देवाने तसे केला आहे" असा तो म्हणायला बसलाय. परंतु हे उत्तर जीवशास्त्रज्ञ मान्य करू शकत नाही. जर देवभक्ती हे शास्त्र मानले तर (मित्रहो, हा मोठा वादाचा मुद्दा आहे, मात्र मी जर-तर ची रचना केली आहे, हे ध्यानात असू द्या!) तर पहिले उत्तर या शास्त्राप्रमाणे बरोबर आहे. मात्र जीवशास्त्राची काम करण्याची रीत वेगळी आहे. ते लोक हे कारण मान्य करू शकत नाहीत. आज प्रत्येकच विषयातील संशोधनाची पद्धती आणि तत्वज्ञान जवळ जवळ ठरले आहे. यामध्ये तर्काशास्त्रानुरूप अर्ग्युमेंट देणे तर भाग आहेच, पण एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर कसे द्यायचे हे ही क्यरेक्टराईज केले आहे. उदा. रसायनशास्त्रामध्ये (ढोबळमानाने) एखादी रासायनिक प्रक्रिया फ़ोरकास्ट केली तरी पण जोवर ती ल्याबामध्ये केली जात नाही आणि आउट-पुट तपासले जात नाही, तोवर त्या थिरिओटीकल फ़ोरकास्टचा काही उपयोग नाही! असे एक प्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे आइनस्टाईनने त्याची "जनरल थिअरि ऑफ रिलटिव्हीटी" पब्लिश केल्यावरही जोपर्यंत एडिंगटनने सुर्यग्रहणामधे ती तपासली नाही तोवर ती मान्य केली नव्हती. आणि आत्ताचे उदाहरण म्हणजे लय लय फ़ेमस स्ट्रिंग  थिअरीचे! कागदोपत्री या थिअरीने बरेच प्रश्न सोडवलेत, पण तिला अजून प्रयोगांमधून यश आले नाहीये. त्यामुळे तिच्याबद्दल ठामपणे कोणी बोलत नाही.

एडिङ्गटनने आईन्स्टाइनचा सिद्धांत तपासताना
केलेल्या प्रयोगामागील कल्पना दाखवणारे चित्र

      अस्तु, तर गणित विषयामध्ये काय चालते? आकडा एक, की गणितामध्येही प्रश्न असतात, हे मागील लेखामधेच मी सांगितलेय (१+ १ = २ च का इ.इ.). आता याची उत्तरे कशी द्यायची? १+१=२ चा का, याचे मला शाळेतल्या एका मुलाकडून ऐकायला मिळालेले एक उत्तर म्हणजे, जर एक पेरू आणि अजून एक पेरू जवळ जवळ ठेवले तर दोन पेरू होतात, म्हणून! लहान मुलांसाठी हे ठीक आहे. पण थोडा विचार करा, खरेतर १+१=२ होतात म्हणून एक आणि एक पेरू मिळून दोन पेरू होतात! बरोबर ना?

     फार उदाहरणे न देत आता सांगतो. बराच काळ गणितामध्ये कोणते उत्तर खरे मानायचे यावर घोळ होता! महान गणल्या गेलेल्या लोकांनी एक प्रथा पाडून दिली होती की ज्या ज्या थिअरी वापरल्या आहेत त्यांची "Axioms" पाळणारे, सेट थिअरिचे नियम वापरून आणि इतर चिह्ने वापरून लिहिता येणारे, लॉजिकला पळणारे असे जर उत्तर असेल तर ते मान्य केले जाईल. परंतु अति-काटेकोर असणाऱ्या सार्याच गणितज्ञांना हे नियम अ-लिखित आहेत, ह्याचा फार त्रास होत असावा कदाचित! १९४० च्या सुमारास "एका" फ्रेंच गाणितज्ञाने† हा त्रास संपवला आणि एका महान पुस्तकामध्ये हे सारे नियम एकत्र केले. हे नियम वरील तीन नियमांप्रमाणेच होते, परंतु या गणितज्ञाने लॉजिकचे नेमके कोणते नियम वापरायचे, नेमकी कोणती चिह्ने=सिंबल्स वापरायची आणि त्यांचे अर्थ काय याची यादी केली, महत्वाची गृहीतके मांडली. इथेच मग पहिल्या लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे तर्कशास्त्र = गणिताचे व्याकरण आणि त्याने दिलेली यादी = गणिताची मुळाक्षरे असे ऒफ़िशिअली ठरवले गेले. हे नियम जगभर मान्य केले गेले. आज आपण जे गणित शिकतो त्यामध्ये इतकी सारी !, -> , =, ϵ ही चिह्ने, सेट थिअरी आणि लॉजिकमधील चिह्ने, कंस वापरण्याचे नियम का आहेत आणि तसेच का आहेत यांचा उगम या पुस्तकात आहे! गम्मत म्हणा किंवा दुर्दैव म्हणा, मला ज्यांनी शिकवले त्यापैकी एकही हायस्कूल मास्तरांना किंवा १२वी च्या ही शिक्षकांना हे माहिती नव्हते. यामुळे गणितामधील कॉन्सेप्ट राहतात दूर, पण चिह्नान्चाच बागुलबुवा उभा राहतो! तर हे झाले गणित आणि गणितातील उत्तरे लिहिण्याबद्दलाचे विवेचन. 

 

गणिताच्या लिपीतील काही अक्षरे

नाऊ लेट्स डिस्कस सम आयडीयाज!

       प्रश्न सोडवायचा कसा? याचा प्लान ऑफ अट्याक हा असा की: प्रश्न सोडवण्यासाठी मग आधी विचार केला जातो तो हा, की हाताशी असलेल्या काही थिअरिज आहेत का की ज्या वापरून हा प्रश्न सोडवता येईल. जर हे झाले तर ठीक. नाहीतर, हा प्रश्न कोणकोणत्या विषयांसोबत जोडला गेलेला आहे, त्यांचा परस्पर संबंध काय आहे आणि तो संबंध वापरून हा सोडवता येईल का का असा विचार होतो. यामुळे नवीन गृहीतके टाकावी लागत नाहीत. आणि हाताशी असणार्याच बाबी वापरून उत्तर मिळते. पण हे नाही नाही झाले तर बराच काथ्याकुट करावा लागल्याची उदाहरणे इतिहासात आहेत. उदाहरणार्थ, गर्ल/बॉय फ्रेंड जुना झाला असेल तर ती(तो) रुसली(ला) की फारसा विचार न करता आपण नेमका काय गुन्हा केला हे ध्यानात येते. कारण आजवरच्या अनुभावान्मुळे "रुसण्याची कारणे" हा डेटा अनालिसिस केला की एकतरी कारण सापडून जाते. पण तीच/तोच जेव्हा धर्मपत्नी/ पती होते/तो तेव्हा "माझे माहेर" वा "सकाळचे थंड पोहे" हे रुसव्याचे कारण असते नि ते शोधायला आत्ता पर्यंतचा डेटा नक्कीच पुरेसा नसतो! अशीच काहीशी गणितामध्ये ही स्थिती! उदाहरणार्थ, आइन्स्टाइनला त्याच्या कल्पना त्यावेळी वापरत असणारे गणित वापरून मांडता आल्या नाहीत. त्याने शोध घेतला तेव्हा त्याला मिन्कोव्हास्कीच्या भूमिती बद्दल कळाले आणि ही भूमिती वापरून त्याने काम केले. हे झाले पहिल्या प्रकाराचे उदाहरण, की जिथे असलेली साधनेच वापरली. नवीन थिअरी शोधाव्या लागल्याचे उदाहरण म्हणजे,: क्षेत्रफळ काढण्यासाठी न्युटनला त्या काळामध्ये जी गणिती अवजारे उपलब्ध होती, म्हणजे बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार-भागाकार-युक्लिडची भूमिती, ही काही पुरेशी पडली नाहीत. त्याला मग क्याल्कुलस=कलनाशास्त्र शोधून काढावे लागले.

      थोडे बाजूला जाउन, मला एका महत्वाच्या बाबीवर थोडे भाष्य करायचे आहे. ते म्हणजे "गणितामध्ये सगळ काही assume च करतात" ही टिका किंवा टिप्पणी वा ती जी काही असेल, तीवर थोडे विवरण. प्रत्येक प्रूफ किंवा थिअरम पूर्वी "समजा….", "असे मानूयात की…" "Let's assume…" किंवा "Let, ..." असे असते. शिवाय असंख्य व्याख्याही असतात. मग अशी टर उडवली जाते की गणितामध्ये सगळे समजूनच घ्यायचे असते. पण खरेतर या शब्दांचा शब्दशः अर्थ घ्यावयाचा नाही! एखादे उत्तर देण्यापूर्वी किंवा सिद्धांत मांडण्यापूर्वी आपल्या काय मर्यादा आहेत आणि आपल्याला नेमक्या कोणकोणत्या गोष्टी लागताहेत हे सांगण्यासाठी वापरले जाणारे ते शब्द आहेत. "माझी सिस्टिम अशी आहे, त्यामध्ये याचा अर्थ हा आहे,…" ही लांबलचक रचना टाळण्यासाठी "समजा…." असा साधा शब्द वापरला जातो. थोडक्यात तो एक syntax आहे. मोबाइल फोन वर काट मारलेली पाटी मंदिर किंवा हापिसासमोर असेल तर त्याचा अर्थ फोन घेऊन जाण्यास मनाई किंवा सायलेण्ट वर टाका असा असतो, फोन फोडा असा नाही! तशीच ही प्रथा††! 

याचा अर्थ फोन फोडा असा नाही!

आणि लिखाण करताना कायम सगळ्याच कन्स्ट्रेण्ट लिहित बसणे जिकीरीचे असते, त्यामुळे एखादी बाबा सारखी येत असेल तर त्या बाबीस किंवा संकल्पनेस नाव देऊन लिखाण सुलभ करावे म्हणून व्याख्या लिहिल्या जातात. उदा. 

 "वाहनाचे त्वरण (= acceleration) क्ष किमी/तास^२ आहे" 

हे लिहिणे 

"वाहनाने मागील तासामध्ये क्ष किमी अंतर कापले असून पुढील तासात ते क्ष^२ किमी अंतर कापेन आणि अशाच प्रकारे… (हुश्श… विचार करतानाच दम लागला!)" 

यापेक्षा कित्तीतरी पटीने सोपे आहे. 

म्हणून त्वरणची व्याख्या देणे गरजेचे आहे! शिवाय लेखकाने/ संशोधकाने नवी संकल्पना जन्माला घातली असेल आणि तिला नाव द्यायचे आहे, असे असेल तर त्या संकल्पनेची व्याख्या केली जाते. 

     तर हे झाले तात्विक विवेचन. लेख इथेच संपत नाही! पुढील पानावर ही सगळी फिलोसोफी वापरून नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय आणि त्यांची बेरीज करायची म्हणजे नेमके काय करायचे, हयांची उत्तरे सिद्ध केली आहेत. त्यामध्येच १+१=२ चे कारणही मिळेल. हि सिद्धता देताना सेट थिअरी सोडून इतर काहीही वापरलेले नाही! खरे सांगायचे तर प्रस्तुत लेख म्हणजे नंदीच्या शेपटाचे दर्शन आहे, शिवलिंग तर पुढे आहे!

∆  ∆

†एका फ्रेंच गाणितज्ञाने - याचे नाव मुद्दामच गाळलेय. या माणसावर एक मस्त खमंग लेख होऊ शकतो म्हणून! गाणिताभ्यासाकांनो Théorie des ensembles उर्फ Set Theory नामक अद्य पुस्तकाच्या महान लेखाकासंदार्भातच मी बोलतोय. या माणसाविषयीचे सत्य मला माहिती आहे, पण आवर्जून उल्लेख टाळतोय. :)

††खरेतर प्रथेपेक्षाही महत्वाचे कारण म्हणजे लॉजिकल अनालिसिस आहे. लॉजिक आवडणार्यांसाठी- समजा किंवा If (वा assume) मधील सर्व वाक्ये, हा लॉजिक डेटा मनाला जातो आणि ह्या डेटा मधील सर्व विधाने परस्परांशी ∧ ने जोडलेली आहेत असे समजले जाते. थिअरमचा रिझल्ट किंवा थिअरिचा रिझल्ट हा o/p मानला जातो.
आणि If ची विधाने imply  रिझल्ट अशी रचना असते. त्यामुळे डाटा बदलला तर o/p ही बदलले पाहिजे. म्हणून "समजा" किंवा if ची रचना केली जाते. हि रचना डाटा क्लेरीफाय करते.

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.

लेख क्र. शुन्य- तुम्ही नेमकं करता काय? -१

यत्ता "बी.यस्सी." ला गेलो. गणित हा मुख्य विषय म्हणून घेतला आणि मग काही प्रश्न सतत कानावर पडू लागले.  पुढे यम. यस्सी. आलेला त्यातील एक प्रश्न म्हणजे,  "गणित…! त्यात एम.एस्सी. करतात…? इतके काय शिकतात बाबा?". यम. यस्सी. नंतर गणितामध्ये संशोधन करण्यासाठी तयारी करतोय, असे सांगितल्यावर नवा प्रश्न आला , 

"गणितात संशोधन…! बापरे, म्हणजे किती आकडी गुणाकार सोडवता तुम्ही?" 

हा ब्लॉग  लिहायचा ठरल्यावर माझ्या जितक्या मित्रांना विषय सुचवा, म्हणून विचारले, त्यापैकी बर्याच जणांनी माझा मूळ प्रश्न डावलून  प्रश्न केला...

 "अरे, पण तुम्ही नेमकं  करता काय? "

तुम्ही नेमकं शिकता काय?

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

१०वी पर्यंतचे गणित थोडेफार आठवत असेल तर उत्तमच!

      खरे सांगायचं तर याचे नेमके आणि परिपूर्ण उत्तर देणे मला शक्य नाही, तेवढी माझी पात्रताही नाही. गणित या विषयाचा आवाका इतका मोठा आहे की ते सर्वकाही स्पष्ट करता येईल असे लिहिणे, ते ही माझ्यासारख्या गणिताच्या विश्वात केवळ विद्यार्थी  असणाऱ्या माझ्याने हे शक्य नाही! पण आता एकदाच मौन सोडतो नि या प्रश्नांची उत्तरे देण्याचा एक प्रयत्न करतो. दहावी- बारावीच्या गणितानंतर गणितामध्ये काय शिकतात आणि संशोधन करतात म्हणजे नेमके काय करतात, याचे उत्तर देण्याचा मी प्रयत्न करीन. हा आहे भाग पहिला.

        हायस्कूलनन्तर गणित शिकणे म्हणजे मोठ्यात मोठ्या आकड्यांच्या बेरजा-गुणाकार करणे का? आणि गणित म्हणजे केवळ आकडेमोड, त्रिकोण-चौकोन यांचे कोण मोजणे आहे का? असे बरेच प्रश्न पडतात. यांचे सरळ उत्तर मी देत नाही. आधी एक अनालोजी देतो.

       मराठी कुमारांच्या आयुष्यात आलेले पहिले प्रेम, ही जशी कायम आठवणीत ठेवायची गोष्ट आहे, तशीच एक गोष्ट म्हणजे झपाटून जाऊन एका बैठकीत, किंवा एका रात्रीत वाचून काढलेली एखादी कादंबरी! आपल्यापैकी बर्याच जणांची एक तरी आवडती कादंबरी असेल, "शाळा" म्हणा किंवा "श्रीमान योगी".  हि आवड निर्माण होताना या वाचनाची सुरुवात आणि उत्क्रांती कशी झाली असावी याचे एक स्केच काढू. बालपणी मुळाक्षरे, बाराखडी शिकलो. त्यावेळी जर त्याने मुलाने विचारले की याचा उपयोग काय, तर तो "काहीतारी वाचणे" इतकाच, असे सांगितले जाते. पुढे वाचन वाढत गेले, की केवळ शब्दांचा अर्थ न पाहता लिखाणाचा-कादंबरीचा भावार्थ लावणे जमू लागले की अभ्यास वाढला म्हणायला हवे. याही पुढे जाऊन, कादंबरीच्या या भावार्थाचे तत्कालीन स्थितिसोबत संदर्भ जोडून कादंबरीचे साहित्यिक आणि सामाजिक मुल्य ठरवणे हे अजून एक पाउल पुढे झाले! ( त्यापलीकडे जाऊन लेखकाच्या खाजगी आयुष्याचा अभ्यास, मानसिकतेचा अभ्यास आणि मग सामाजिक स्थिती, लेखकाची-समाजाची मानसिकता आणि कादंबरीची भाषिक मुल्ये व लेखकाची भाषिक कौशल्ये यांचा परस्पर संबंध लाऊन निष्कर्ष काढणे म्हणजे संशोधन. ). एक साधारण ढोबळमानाने, असा होतो भाषेचा अभ्यास. आणि आपण सर्वांनी आपली आवडती कादंबरी वाचताना या साहित्य प्रवासाचा अनुभव घेतला असतोच, फक्त इतका अनालिसिस आपण करत नाही.

      आता मी हाच प्रवास "गणित" विषयासाठी मांडतो, सुरुवातीला आकडेमोड शिकणे म्हणजे गणित या विषयाचा "श्रीगणेशा" झाला. मग रेषीय-वर्गीय समीकरणे (= लिनिअर-क्वाड्राटिक इक्वेशन्स) सोडवणे, शाब्दिक उदाहरणे सोडवणे (म्हणजे पुलांचे फुटके नळ, गळके हौद इ. इ.) आणि x, y, z किंवा "क्ष" नावाचे चल पद वापरायला शिकणे, भौमितिक आकृत्या काढता येणे ही झाली मुळाक्षरे. या सर्वांना वापरून आणि साधे भौमितिक सिद्धांत† सोडवणे, साइन-क्वास-ट्यान ची ओळख म्हणजे झाले "मदन नमन कर", "रामा शिरा कर" अशी रचना वाचता येणे. बस्स…ही झाली १० वी !  इथे आपल्यापैकी बरेच जण मग गणिताला राम राम ठोकतात! इथून पुढे गणिताच्या नावे कानाला खडा लावलेल्यांनी पुढचा परिच्छेद सोडून वाचले तरी हरकत नाही.

हायस्कूलातील भूमिती!

      पुढे जे जातात त्यांची ओळख मग द्वि-त्रिमितीय भूमिती, क्याल्कुलस, म्यट्रिक्स थेअरी, प्रोबाबिलीटी यांसोबत होते. हि ११-१२ वी ची पुस्तके म्हणजे "छान छान गोष्टी"! मग बरेचसे गाणितला अलविदा करतात. जे कोणी प्युअर फिजिक्स-गणित न करता इतर विषयांकडे वळतात त्यांची आणि क्याल्कुलास्ची जी लढाई जुंपते की डिग्री मिळाल्यावर पुन्हा गणोबचे नावच नाही! खरे सांगायचे तर हा विषय त्यांच्या किडनिमधे खर्याखुर्या क्याल्कुलसने (= मुतखडा)†† त्रास होणार नाही, इतका त्रास त्यांना देतो! त्यामुळे त्यांच्या वेदानेपायी तोंडी आलेल्या शिव्या अगदीच रास्त आहेत! या लोकांच्या पुस्तकांतील गणित मी "बालभारती"च्या मराठीसारखे आहे, असे मी नक्कीच म्हणेन. ही  झाली गणिताची बालभारती पर्यंतची गाथा. इथवर बरेच लोक येतात नि त्यांना  इथवर गणित हे नक्कीच माहिती असते. 

क्याल्क्युलासाचा बळी :) 

थोडक्यात काय तर, १० पर्यंत फक्त आकडेमोड आणि त्रिकोण-चौकोन, त्यापुढे फक्त क्याल्कुलस-म्याट्रिक्स-प्रोबाबिलीटी, हे सारे गणितात येते. आत्ता प्रश्न राहिला, पुढे काय? …. पुढे येतो भावार्थ आणि "रीडिंग बिटवीन द लाइन्स"! मला काय म्हणायचेय हे जर स्पष्ट करतो.

खिशाकडे हात जाताच हसत हसत उठला, 

पैसे नकोत सर जरा एकटेपणा वाटला.…. 

…. मोडून पडला संसार तरी मोडला नाही कणा

पाठीवरती हात ठेउन, तुम्ही फक्‍त लढ म्हणा !

कुसुमाग्रजांच्या "कणा" मधील ओळी ऐकून केवळ पैसे नको असे म्हणणारा तरुण समोर उभा राहत नाही. त्याची कठीण परिस्थिती, त्यामध्ये ही दाखवलेले मनोधैर्य या सर्वांचे मिश्रण सहजच होते आणि आणि मग कवितेचा "अर्थ" सापडतो.  यासाठी तो तरुण सरांचा कोण आहे, त्याची परिस्थिती काय, त्याची मानसिकता काय असेल, असे प्रश्न पटकन मनात येतात आणि त्यांची उत्तरेही पटकन मिळतात. हे झाले- रीडिंग बिटवीन द लाइन्स. हा झाला कवितेचा अभ्यास! असेच रीडिंग बिटवीन द लाइन्स गणितातही करता येते का? असे प्रश्न विचारता येतात का? असाच एक प्रसिद्ध प्रश्न म्हणजे न्युटनचा "सफरचंद खालीच का पडले§" हा प्रश्न! 

     

      होय, असेच भावार्थ शोधणारे प्रश्न गणितात पडतात. त्यापैकी काही पुढे दिले आहेत. यापैकी कितीतरी प्रश्न गम्मत म्हणून एरवी आपण विचारतो. परीक्षेआधी पुस्तक फेकून "साले, हे असाच का?" असं ओरडतोही.  पण, कोणी सांगायला नसते, की हे "खरेच" महत्वाचे प्रश्न आहेत. आणि त्यांची उत्तरेही उघड नसतात. 

उदाहरणार्थ, 

• १+१=२च का? १+०= १च का? 
•  वर्तुळाच्या परिमिती-क्षेत्रफळामध्ये, तो आकडी आणणारा आकडा "π" कुठून येतो?
• मूळ संख्या वापरून एखादी संख्या लिहिता येते, यात इतके काय भारी? लसावी मसावी का शिकायचा?
• वजा गुणिले वजा बरोबर अधिक, वजा गुणिले अधिक बरोबर वजा, असेच का?

हे बेसिक झाले. पुढे गेले तर, 

• म्याट्रिक्स गुणाकार तसाच का करायचा? (सरळ सरळ एकास एक गुणता येते की!)
• डिटरमिनंट का जन्माला आला? (आणि तो ही इतका किचकट फार्मुला जन्माला घेऊन!)
• लिमिट-कनटिन्युटीचा चा धडा कायम क्यालक्युलसच्या पहिल्या पानावर असतो, पण पुढे ते येते कुठे? 
• इंटिग्रेशन कायम [a, b] अशाच इण्टर्व्हल मध्ये का करायचे? जर इंफायनाईट इण्टिग्रल करायला गेले की वेगळा अभ्यास का करावा लागतो?

     एकदातरी असा प्रश्न तुम्ही स्वतःला किंवा मित्रला किंवा शिक्षकांना विचारलाच असेल, I am so very sure about it! गम्मत अशी आहे की, हेच खरे गणितातील प्रश्न आहेत. बेरजा-वजाबाक्या-फुटके गळके हौद हा केवळ ट्रेलर आहे! पुढे ते कुठेही येत नाहीत! तथाकथित हायर (प्युअर?) म्याथेम्यटिक म्हणजे याच प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा अभ्यास! ही उत्तरे मिळवण्याकरिता काही विषय, जे बी.(\ यम) एस्सी. ला शिकावे लागतात. 

म्हणजे नेमके कोणते विषय?

     जरा चटकन सांगतो. मागील लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे आधी शिकायची ती लॉजिकची भाषा! मग संच सिद्धांत (सेट थिअरी) आणि यांचा वापर करून ०+१ = १ वगैरे दाखवता येते! हेच पुढे चालवत पूर्णांक ( = इण्टिजर्स) आणि परिमेय संख्यांपर्यंत जाता येते. मग शिकतात ते म्हणजे "अनालिसिस". रिअल अनालिसिस म्हणजे रिअल क्यालक्युलसची जन्मकहाणी तर कॉम्प्लेक्स अनालिसिस ही कॉम्प्लेक्स क्यालक्युलसची! हे दोन्ही क्यालक्युलस कसे जन्मले, कसे वाढले, असेच कसे वाढले, इ. इ. प्रश्नांची उत्तरे हा विषय देतो. हाच विषय - x - = + नि - x + = -    या नियमांचे करण उलगडतो. लिमिट, इंटिग्रेशन, इंफायनाईट इण्टिग्रल यांचा परस्पर संबंध स्पष्ट करतो. नंबर थिअरि म्हणजे (पूर्णांक) संख्यांचा अभ्यास (पुढे अब्स्ट्रक्ट संख्यांचाही अभ्यास करतात). यामध्ये मूळ संख्या कशा मूळ आहेत, लसावी-मसावी साठी किती झगडा करावा लागतो आणि ते का महत्वाचे आहेत हे शिकवले जाते. मग "लिनिअर अल्जेब्रा" नावाचा विषय म्याट्रिक्स, व्हेक्टर्स, डिटरमिनंट यांची अख्खी कुंडली मांडतो. मेझ्यर थिअरी हा विषय प्रोबलिलिटिची सारी कहाणी कथन करते. तर डिफरंल्शिअल जिओमेट्री सगळ्या भूमितीची पायाभरणी करते. 

      संशोधन करताना, एक प्रश्न सुटतो, पण तो नव्या शंभर प्रश्नांना जमना देऊन जातो. त्यामुळे, या प्रश्नांची उत्तरे, नवे प्रश्न निर्माण करतात नि ही चेन अशीच सुरु राहते! यामुळे अजूनही कित्येक विषय आहेत जे आम्ही शिकतो की जेणेकरुन या प्रश्नंाची उत्तरे मिळवित! असे दोन फ़ेमस विषय म्हणजे: टोपोलोजी आणि अल्जेब्राइक जिओमेट्री.

      या सर्व विषयांचा वाढता विस्तार शिकणे म्हणजे कुमारभारती वाचणे नि त्यांचा परस्पर संबंध लावत, पूर्वी विचारलेल्या नि बावळट म्हणून गणल्या गेलेल्या प्रश्नांची उत्तरे शोधणे म्हणजे गणित नावाच्या कवितेचे आकालन होणे होय!

पुढील भागामध्ये "तुम्ही संशोधन म्हणजे नेमके काय करता? आणि सध्याचे नेमके प्रश्न कोणते आहेत?"

∆  ∆

लिहून त्यावर सुधारणा कशी करावी अशी चर्चा करत असता, "गणित करता म्हणजे नेमके काय करता" ह्याच विषयांवर लिहिण्यासाठी मला नितीन, योगेश आणि श्रेयस यांनी भाग पाडले! त्यामुळे जर ह्या लेखामुळे तुमचे काही प्रश्न सुटले असतील, तर ह्या तिकडीला ही त्याचे श्रेय! :)

तळटिपा:

†भौमितिक सिद्धांत- इथे भूमिती म्हणजे आपली १० वीतील युक्लिडीअन प्रतलीय भूमिती होय

††क्याल्कुलस- Oxford Dictionary प्रमाणे याचा एक अर्थ "मुतखडा" असा होतो.

§ ही कथा खरी की खोटी या वादामध्ये पडण्यापेक्षा मला हे उदाहरण महत्वाचे आहे! ;)

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - ३

हा आहे पहिल्या लेखाचा अखेरचा भाग. माझी तक्रार मी का केली याचे कारण मी इथे देणार आहे. शिवाय फार महत्वाचा प्रश्न असा की हा लॉजिक नावाचा प्रकार कसा वापरायचा, त्याचा दैनंदिन जीवनात कसा संबंध येतो, यावर विवेचन आहे. 

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५ पैकी १/२ मिरची

आता हे तर्कशास्त्र प्रकरण गणितात आणि संशोधनात हे कुठं येतं?

थेट सांगायचं म्हटलं तर संचाचा सिद्धांत मांडताना गणित्यांच्या पिढ्यांनी दिलेली ही चिह्ने ही गणिताची लिपी आहे , संच सिद्धांत ही भाषा आहे आणि गणितीय तर्कशास्र हे या भाषेचे व्याकरण आहे! कोणताही गणिती सिद्धांत जगातील कोण्याच भाषेचा वापर न करता केवळ हे सारे वापरून लिहीता येतो! पण ही भाषा इतकी साधी आहे, की मग लिहीताना फारच त्रास होतो, म्हणून नित्याच्या साध्या भाषांची मदत घ्यायची! गणित करताना त्यामधील संकल्पना, युक्त्या, पद्धती या सार्या मिळून गणित होते. आणि अशी गोष्टींवर कमी त्रास घेऊन, सुटसुटीतपणे विचार करण्यास नि लिहीण्यास तर्कशास्त्राची मदत होते. नि तर्कशास्राचा एक खुपचा छोटा नि पायाभूत विभाग म्हणजे गणितीय तर्कशास्त्र . त्यामुळे गणित म्हणजेच तर्कशास्त्र किंवा तर्कशास्त्र म्हणजेच गणित असं म्हणणे नक्कीच चुकीचं आहे. किंबहुना आपल्या अज्ञानाचं प्रदर्शन करणारं ;-) तर हे झाले फा.शि. लोकांसाठी स्पष्टीकरण.

    मागे उल्लेख केल्याप्रमाणे डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्सचा सैद्धांतिक पाया या शास्त्राने रचला आहे. वर सांगितल्याप्रमाणे हि चिह्ने आणि लॉजिक एकमेकांना जोडून गणिताची भाषा तयार होते. समजा, जर या प्रत्येक चिह्नासाठी एक इलेक्ट्रॅनिक सर्किट बनवले आणि प्रत्येक मुलभुत नियमांसाठी एक सर्किट बनवले तर ती जोडून सारे गणित करता येईल. मग "गणन" म्हनजेच कम्प्युटिंग करण्यासाठी ही  यंत्रे जोडून एक मोठे यंत्र करता येईल. कोणतेही लॉजिकल इनपुट ही यंत्रे तपासू शकतील. अस साधा विचार करून पहिल्यांदा प्रत्येक बेसिक सर्किट्स बनवली आणि त्यांना नाव दिले "लॉजिक गेट्स"! तर, प्रत्येक डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्सच्या पुस्तकाच्या आरंभी हा धडा का असतो याचे हे स्पष्टीकरण! आणि हिच ती संकल्पना जी आपल्या आजच्या संगणकाच्या जन्माचे कारण ठरली!

चार्ल्स ब्याबेज आणि त्याच्या संगणकावरील एक व्यंगचित्र
(Picture downloaded from Google. I do not claim the rights.)

रोजच्या जीवनात हे कुठं येतं?

लिखाण करताना, अर्ज करताना, जाहिरातींमध्ये हे मुलभूत तर्कशास्त्र तरी निदान वापरले जावे अशी एक आपेक्षा असते.  त्याच्या अभावी वाक्याचा अनर्थ होऊ शकतो. जसे की अर्ज किंवा एसओपी लिहीताना दिसणारे वाक्य म्हणजे 'मला तमुक एका विषयात रस होता आणि मी अमुक एक पदवी मिळवली म्हणून मी ह्या प्रोजेक्टचा विचार केला'. वरकरणी हे वाक्य ठिक आहे. पण या वाक्याच्या अर्थाकडे जरा खोलवर पाहूयात :

समजा,

…मला रस होता…  = क्ष

…मी पदवी मिळवली… = य

… प्रोजेक्टचा विचार केला= र

अशी विधाने घेतली तर 

तर वरचे वाक्य बनते,

(क्ष ⋀ य़) → र

पण नियमांप्रमाणे:

                                   (क्ष ⋀ य़) → र = (क्ष → र) ⋀ (य → र)           (विचार करा..!)

चिह्ने काढून परत वाक्ये टाकली तर हे विधान होते,
मला रस होता म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला आणि मला पदवी मिळाली म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला…इथे पहिले वाक्य ठिक आहे, पण अर्जामधे दुसरे वाक्य नक्कीच चांगले इंप्रेशन देत नाही!

अजून एक उदाहरण म्हणजे नवकविता. हे माझे स्वतःचे निरीक्षण नि मत आहे की पारंपारीक कावितांमधे लांबलचक वाक्ये असतात, परंतु ती वाक्ये योग्य त्या उभयान्वयी अव्ययांनी जोडली असल्या कारणाने कवितांचा अर्थ स्पष्ट असतो. नवकवितांमधे वाक्यांची लांबी कमी होते आणि ही उभयान्वयी अव्यये जवळ जवळ वापरलीच जात नाहीत. त्यामुळे दोन वाक्यांचा नेमका संबंधच कवी सांगत नाही. त्यामुळे वाचकाच्या मानातील उभयान्वयी अव्यये ती जागा भरून काढून नवनवा अर्थ देत राहतात!

अस्तु, एक नित्याचा अनुभव म्हणजे वाक्याची किंमत बदलणे. याचे पुढील उदाहरण माझ्या आवडीचे आहे. पण त्याचे स्पष्टीकरण (कदाचित) "डोक्याला शॉट" आहे असे तुम्हाला वाटेल. वेळ झाला तर नक्की वाचा.
माझा आणि एक ब्यांक कर्मचार्यांचा संवाद. काऊंटरवर पैसे घेताना.

ब्यां.क.- अच्छा तुम्ही होळकरांचे चिरंजीव. हे घ्या पैसे. तुमचं पासबुक भरलं नै ना?

मी- हो.

ब्यां.क. (गोंधळून)- हो? अहो, पण तुमचे वडील म्हणाले की नाही भरलं?

(आता) मी- (गोंधळून) हो, नाही भरलंय?

ब्यां.क.- तुम्ही काय करता?

मी- एम्.एस्सी., गणितात.

ब्यां.क.- अहो, इतकं गणित शिकताय, जरा लॅजिकली बोला की राव! पासबुक भरलं नाहीतर हो काय म्हणताय!

मी गुपचूप निघुन आलो.

   आता तुम्ही म्हणाल की यात  लॉजिकचा संबंध काय? तर ते स्पष्टीकरण असे: ब्यांक कर्मचार्यांने विचारलं की पासबुक भरलं नाही ना? हे वाक्य अजून सोपे करून असे म्हणता येईल की- तुमचं पासबुक भरलं नाही. होय ना? ईंग्रजीमधे "isn't it?" अशी जी रचना असते तशी ही रचना आहे. त्यामुळे उत्तर
असेल की "होय, पासबुक भरले नाही" , होय ना? ;-)  (पुन्हा तीच रचना! त्यामुळे याचेही उत्तर होकारार्थीच येईल).  मी नाही म्हटलो तर तो नकार झाला असता. त्याचे उत्तर "नाही, पासबुक भरले आहे" असा अर्थ झाला असता.

     आता इथे आपले वरील तर्कशास्र कसे लागू होते? तर अशा रचनेमधे मुळ वाक्याचीच  लॉजिकल किंमत  उत्तर म्हणून आपेक्षित असते. मुळ वाक्यातच नकार आहे. तो असा: पासबुक भरलं नाही = -(पासबुक भरलं आहे).  उत्तर नकारार्थी दिले असते तर 'नियम ३'  प्रमाणे नकाराचा नकार तो होकार झाला. म्हणजेच -(-(पासबुक भरलं आहे)) = पासबुक भरलं आहे! आता, या सगळ्यामुळे मी होकारार्थी उत्तर दिले. पण झालं उलट! अशाच मजेदार जाहीरातीतही असतात, ज्यांच्यामधे असाच तर्कशास्त्राचा खून केलेला असतो आणि नेमका काहीतरी तिसराच संदेश दिलेला असतो. डोळे आणि मेंदू उघडा असेल तर ती तर्कशास्त्रीय मजा नक्कीच लुटता येईल!

आता, शेवट करतो लेखाचा. शेवटी एकच खडा टाकतो, सुरुवातीला मी जी फा.शि. लोकांबद्दल तक्रार केलीये, ती  अ- लॉजिकल आहे, म्हणजेच त्यात काही तर्क नाही असं म्हटलंय. सांगू शकाल का ते?

∆ ∆

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - २

राम राम मंडळी, मागचे लिखाण पचले असेल तर सुरुवात करूयात! यावेळी लॉजिकची दोन महत्वाची (आणि अखेरची) चिन्हे पहायाचीयेत. ती चिन्हे आहेत, <-> आणि  V.  

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा : ५ पैकी २ मिरच्या

तर , <-> आणि  V या चिह्नानांबद्दल काही गेस?

पहिले चिह्न म्हणजेच  < - >  पाहू. खालील चित्र पाहिले तर ते नेमके कळेल. 

हा बाण असा तोडता येईल  : <-- आणि --> असे. पण मग याचा अर्थ काय?  जरा लॉजिकली विचार करूयात. समजा अ आणि ब अशी दोन विचाने आहेत तर अ < - > ब म्हणजे काय तर, एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ  -> ब.  म्हणजे एकदा "ब" चे कारण "अ " आहे आणि एकदा "अ " चे कारण "ब " आहे असं. थोडक्यात काय तर दोन्हीही विधाने एकमेकांची करणे आहेत!

        वाह..! नेमका हाच अर्थ आहे या चिह्नाचा! याचे उदाहरण द्यायचे झाले तर मागच्या लेखातील गाण्य-गाणी ग्रुप अथवा. समज गाण्या आणि गाणीची भांडणे झालीत आणि दोघांनीही  एकमेकांशी कट्टर वैर जाहीर केलेय! मग, जेव्हा जेव्हा गणी दिसणार तेव्हातेव्हा गण्या जाणार आणि अचानक गण्या गेला रे गेला कि समजायचे कुठेतरी गणी  आहेत! थोडा बाद करून मग हे विधान असे करता येईल की,

५. गणी आली म्हणजेच†† गण्या जातो.

थोडक्यात दोन्ही वाक्यांचा अर्थ एकच आहे.  पण असे असेल तर वाक्यांची जागा बदलली तरी चालेल. हेच वाक्य आपण असेही लिहू शकतो की,

६. गण्या अचानक जातो म्हणजेच गणी आली.

आणि ५ नि ६ चा अर्थ एकाच आहे. मागील लेखातील संज्ञा वापरायची तर दोघांची किंमत एकाच आहे. जर विधान अ = गणी  आली घेतले आणि विधान २ = गण्या अचानक जातो असे घेतले तर चिह्न वापरून हि विधाने अशी लिहिली जातील:

५.  वि. अ <-> वि. ब
६.  वि. ब <-> वि. अ

क्या वात हैं, ही चिह्ने पाहताच कळते की दोन्हींचा विधानांचा अर्थ एकच आहे! ही आहे चिह्नांनाची कमाल! क्या वात हैं, उ. नि ऊ. पाहताच कळते की दोन्हींचा अर्थ एकच आहे.
यावरून येणारा नवा नियम असा की

नियम ३. (अ  <-> ब ) ची किंमत = (ब <-> अ ) ची किंमत

अजून एक असे कि अ <->  ब चा अर्थ आपण असा घेतला होता कि "एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ - >  ब ". हा अर्थ "आणि" साठीचे चिह्न (^) वापरून लिहिला तर होईल    "(अ <-  ब) ^ (अ - >  ब)".
हि दोन्ही वाक्ये सारखीच आहेत त्यामुळे

नियम ४. (अ <-> ब) ची किंमत = [(अ -> ब) ^ (ब -> अ )] ची किंमत 

बरेच नियम झाले आपल्याकडे. पुढे तर्कशास्त्राच्या मुलभूत गृहीतकांची यादी दिलेली आहे:

गृहितकांची यादी. यापैकी दोन चिह्नांची चर्चा पुढे केली आहे

हीच इलेक्ट्रॅनिक्स नि संगणकीय अभ्यासातील सुत्रे नि त्यांचा उगम. आहे खरा सोपा!

अशीच साधी उदाहरणे वापरून इतर नियम शोधता येतील.

    अजून एक महत्वाचे अव्यय आहे "किंवा". याच्या वापराचा एक नियम आहे. त्यासाठी एक चवदार उदाहरण पाहू:

मला जर आईने दमून आल्यावर पोळी भाजी हवी की खीर पोळी हवी असे विचारले. घरात दोन्ही आहेत. नि मी "पोळी-भाजी किंवा खीर-पोळी काहीही घेईन" असं म्हटल्यावर जो अर्थ होतो, त्याच अर्थाने तार्कीक  "किंवा" वापरला जातो. म्हणजे, मी दोन्हींपैकी एक काहीतरी घेईनच, पण, मला मनात आले तर दोन्हीही घेईन. असाच तार्कशास्त्रसातील किंवा चा अर्थ आहे (हा नियम आहे, सो नो क्वेश्चन!). पण मग "मी येईन किंवा येणार नाही" याचा तार्कीक अर्थ प्रॅक्टीकली निरर्थक होतो. मी येईन, अथवा नाही येणार अथवा दोन्हीही! रोजच्या आयुष्यात "दोन्हीही" ला अर्थ नाही. पण शास्त्रात सगळे चालते! अस्तु, किंवासाठीचे चिह्न  आहे V (उलटा ^). 

    आता आपल्याकडे गणितीय तर्कशास्त्राच्या अभ्यासाठी पुरेशी सामग्री जमली आहे.

सुरुवातीस म्हटले तसे, आपले ध्येय आहे ते वाक्यसमुहाचा अर्थ समजून घेणे. आणि आत्तापर्यात डेव्हलप केलेल्या पद्धतीवापरून त्याचे सोपे नियम शोधणे.  एक प्रश्न असा की "आणि"असणार्या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे करायचे. 

समजा मी मित्राला वचन दिलेय की मी तुला उद्या सीडी आणि बॅट देतो. तर हे वचन कधी मोडले जाईन? या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे होईल? मी दोन्ही गोष्टी देण्याचे कबूल केले आहे. त्यामुळे एक जरी बाब दिली नाही तरी वचन मोडले 

नि वाक्याची किंमत बदलली- म्हणजेच मी (सीडी दिली नाही आणि बॅट दिली) किंवा (सीडी दिली आणि बॅट दिली नाही) किंवा दोन्ही दिले नाही.

आपल्या पद्धतीप्रमाणे समजा

क्ष: मी तुला सीडी देईन

य: मी तुला बॅट दिईन

     माझे वचन = क्ष ⋀  य

त्याचा नकारार्थ =  सीडी दिली नाही किंवा बॅट दिली नाही = (सीडी दिली नाही) ⋀ (बॅट दिली नाही)

                                                                 = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)] ⋁ [(-क्ष) ^ (-य)]

पण आपल्या "किंवा"च्या नियमाप्रमाणे शेवटचा [(-क्ष) ⋀ (-य)] भाग लिहीला नाही तरी चालेल. 

म्हणूनच 

वचनाचा नकारार्थ = [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

आणि हा आहे नावा नियम:

नियम ४.  -(क्ष ⋀ य़) [(-क्ष) ⋀ (य)] ⋁ [(क्ष) ⋀ (-य)]

बुल (George Boole) नामक एका गणित्याने असे काही नकारार्थाचे नियम शोधून काढले. त्याला लक्षात आले की विधानांची किंमत बदलताना "⋀" व "⋁" यांची मजेशीर आणि सिमेट्रिक अदलाबदल होते. बुलने कंस सोडवण्याचे नियमही अभ्यासले. त्याने या "⋀" व "⋁"  चा अभ्यास करून दाखवले की गणितातील बर्याच विषयांमध्ये अशी अदलाबदल होते. मुल नियमाचे स्वरूप बदलत नाही. बुल्चे हे नियम सेट थिअरी म्हणजेच संच सिद्धांतामध्ये हि दिसतात, आकडेमोड करतानाही काहीवेळेस दिसतात. यांचा वापर करून डिजिटल इलेक्ट्रॅनिक्स मधील पायाभूत सर्किट्स बनवली गेली आणि आजच्या डिजिटल यंत्रांचा जन्म झाला. आरशातील प्रतिबिंबाप्रमाणे ही दोन्ही चिह्ने गणितीय तर्कशास्त्रात वागतात असे बुलच्या या नियमांमधे दिसते.

∆ ∆

††"म्हणजेच" हा शब्द मी वापरलाय. पुस्तकांत "तर आणि तरच" अशी रचना असते. "तर आणि तरच" ही माझ्या माहितीप्रमाणे पारंपारीक वाक्यरचना नाही. ईंग्रजीतील "if and only if" चा तो मराठी अवतार आहे. त्याचा अर्थ असा की पहीले "तर" म्हणजे - गणी आली म्हणून गण्या गेला; नि  "आणि तरच" म्हणजे - गण्या गेला म्हणून गणी आली. पण मला काही ही रचना फारशी पटत नाही. मराठीचे ईंग्रजीकरण वाटते. तरी जाणकरांनी जरूर कळवावे नि चूक दुरुस्त करावी.