If then I find myself writing, not mathematics, but ‘about’ mathematics,
it is a confession of weakness,
for which I may rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous mathematicians.
- Prof. G.H. Hardy
खरेतर मी "म्याट्रिक्सचा जन्म" असा विषय घेऊन लिहायाला सुरुवात केली आणि मग जाणवले की तत्पूर्वी खूप सारी तयारी करावी लागेल. आणि मग लिनियर स्पेसेस, लिनिअर म्याप हे डोळ्यांसमोर नाचू लागले. एक न धड भरभर चिंध्या होण्या ऐवजी विचार केला, एक एक विषय घेऊन निट लिहावे नि म्यट्रिक्सच्या जन्माची कहाणी अखेरीस निरुपावी! त्या दृष्टीने हा पहिला लेख. माझ्या अनेक फिजिक्सच्या मित्रांची व्हेक्टर स्पेस वरील लेखाची विनंती म्हणूनही या लेखाकडे पाहता येईल! हा लेख म्हणजे काही "पेशल" लोक, ज्यांनी आम्हाला गणिती मिती-अवकाश असे शब्द वापरून पिडले आहे, त्यांच्या मेंदूस खाद्य म्हणूनही पाहता येईल (त्यांना हा सहन व्हावयाचा नाही, ही कल्पना आहे तरीही…)!
 |
या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी ५मिरच्या
लेख वाचण्यासाठी १०-१२वी तील व्हेक्टर, संचांचे कार्तेशियान प्रोडक्ट ठावूक हवे. |
सदिशावकाश (Vector Space):
म्याट्रीक्सचा जन्म कसा होतो, हे पाह्यचे असेल तर, दोन अतिशय महत्वाच्या संकल्पना आधी पाहणे गरजेचे आहे त्याम्हणजे: सांतमितीय सदिशावकास नि त्यांवरील रेषीय फलने. सांत मितीय सदिश अवकाश म्हणजे आपल्या मराठीमध्ये Finite dimensional vector space नि रेषीय फलन म्हणजे linear map. फिजिक्स-इंजिनियरिंगमध्ये linear mapला linear transformation किंवा नुसतेच transformation म्हणतात. व्हेक्टर स्पेस आणि लिनिअर म्याप ह्या केवळ या म्यट्रिक्सच्या जन्माकथेसाठीच नाही तर तर एरवीच गाणितामधील अत्यंत महत्वाच्या संकल्पना आहेत. आपण या लेखात मुलत्वेकरुन फ़ायनाईट-डिमेन्शनल-"रियल"-व्हेक्टर स्पेसेसचा म्हणजेच वास्तव सांत-मितीय-सदिश-अवकाशाचा विचार करणार आहोत. लिनिअर म्याप म्हणजे दोन व्हेक्टर स्पेसेस न जोडणारा पूल होय. या पुलाबद्दल पुढील लेखात लिहीन. चला, बरीच भिती घालून झाली. ही इतकी मोठी आणि जड जड नवे वाचूनही इथून पोबारा न केलेल्यांना आता या बाबी नेमक्या काय आहेत हे सांगतो. आधी शब्दभेद पाहू, कसा आहे तो.
अवकाश म्हणजे अवकाश! पण इथे अवकाश हा शब्द संच किंवा साठा या
अर्थाने आला आहे. सदिश म्हणजे आपण सातवी-आठवीत शिकलेल्या सदिश राशी, ज्या
राशींचे वर्णन करण्यासाठी त्यांची दिशा आणि वजन या दोहोंची गरज असते
अशा बाबी. उदाहरणार्थ फोर्स=बल, संवेग= मोमेण्टम इ. सदिश अवकाश म्हणजे (एकाच प्रकारच्या) सदिशांचा संच, i.e. set of vectors (of same type).
सांत= स+अंत थोडक्यात काय तर अनंत नसणाऱ्या, finite.
मितीय हा शब्द मिती = dimension वरून बनवलेला आहे.
सांत मितीय म्हणजे ज्यांच्या मिती अनंत नाहीत ते थोडक्यात finite dimensional.
आणि सांत-मितीय-सदिश-अवकाश म्हणजे सदिश राशींचा संच/ साठा आणि या साठ्याची मिती मोजेबल ;) आहेत, म्हणजेच a bunch of vectors such that the bunch has finit dimension. वास्तव सांत-मितीय-सदिशावकाश म्हणजे जे अवकाश बनवताना वास्तव संख्यांचा=real numbers, वापर केला आहे ते. आपण "R" हे चिह्न वास्तव संख्यांचा संच दर्शवण्याकरिता वापरू नि V हे व्हेक्टर स्पेससाठी. चाणाक्ष वाचकांना आता कल्पना आली असेल की आपण फिजिक्स मधल्या व्हेक्टर या संकल्पनेचा गणितीय अभ्यास करणार आहोत.
आब्स्ट्र्याक्ट म्यथेम्याटिक्स मध्ये सात-आठ गृहीतके वापरून रिअल व्हेक्टर स्पेसची= वास्तव सदिश अवकाशाची व्याख्या करतात. एक संच घेऊन त्यातील घटकांवर बेरीज आणि वास्तव संख्याने गुणणे अशी दोन ऑपेरशन टाकतात. या बेरजेचे आणि गुणाकाराचे काही गुणधर्म असतात. अशा या संचास गणितामध्ये वास्तव सदिश अवकाश असे म्हणतात. जिज्ञासूना इथे टीचकी मारून विकीवर ही व्याख्या सविस्तर पाहता येईल. ज्यांना तांत्रिकतेमध्ये जाण्याची गरज वाटत नाही, त्यांनी स्पेस म्हणजे सेट थिअरितील सेट आणि व्हेक्टर ही नित्याची भौतिकशास्त्राच्या पुस्तकातली व्हेक्टर, हे असे सध्या गृहीत चला. रिअल व्हेक्टर स्पेस म्हणजे "एकाच प्रकारच्या" वास्तव सदिशांचा संच. ह्या संचात शुन्य हवाच नि कोणत्याही दोन सदिशांची:
१. बेरीज करता आली पाहिजे, २. वजाबाकी करता आली पाहिजे,
३. कोणत्याही व्हेक्टरला वास्तव संख्येने गुणता आले पाहिजे
आणि हे केल्यानंतर जे उत्तर येईल ती सदिशाही याच संचामध्ये हवी.
शिवाय गुणाकार आणि बेरजेने एकमेकांचा आदर करायला हवा, उदा.
(a + b)v = av + bv अशी डिस्ट्रिब्यिटिव्हिटी इ.
"एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर" म्हणजे एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले i.e. different forces acting on SAME point किंवा एकाच वस्तूचे विविध संवेग. परंतु दोन वेगळे वेगळे बिंदू असतील (two distinct points) तर त्यांवर कार्यान्वित होणार्या दोन बलांना आपण "एकाच प्रकारचे व्हेक्टर" या क्याट्यागिरीत टाकणार नाही. किंवा एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारे बल नि त्या बिंदूचा संवेग ह्यासुद्धा एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर मानल्या जाणार नाहीत.
 |
| एकाच प्रकारच्या व्हेक्टर |
वर म्हटले तसे व्हेक्टर स्पेस मध्ये शुन्य नामक व्हेक्टर असायलाच हवी. ही व्हेक्टर म्हणजे काय, हे भौतिकशास्त्राच्या उदाहरणात पहायचे असेल तर, एकाच बिंदूवर कार्यान्वित होणारी वेगवेगळी बले, हे उदाहरण पहा (वरील चित्र). शुन्य बल म्हणजे काहीच बल नाही, ही संकल्पना बिंदूचे स्थान सांगते. म्हणजेच ज्या बिंदूवर ह्या व्हेक्टर कार्यान्वित होताहेत त्या बिंदूचे स्थान देते. म्हणजेच सर्व बलांचे (गणिती) उगमस्थान. याच कारणामुळे आब्स्ट्र्याक्ट व्हेक्टर स्पेसमध्ये शुन्य सदिशला (झिरो व्हेक्टरला) origin किंवा center of vector space म्हटले जाते.
एक तपासण्याजोगी बाब अशी की जर संचामध्ये=स्पेसमध्ये एक शून्येतर सदिश असेल तर त्यात अनंत सदिश येतात. कारण v ही शून्येतर सदिश असेल तर प्रत्येक a εR वास्तव संख्येसाठी av ही सदिश या संचामध्ये असेल. R अनंत असल्याने {av} हा संचही अनंत असेल. म्हणजेच जर V ही वास्तव व्हेक्टर स्पेस असेल आणि त्यात एक अशुन्य घटक असेल तर तीत कायमच अनंत घटक असतात. हा मुद्दा असा प्रश्न निर्माण करतो की अशा मोठ्या संचाचा अभ्यास कसा करायचा? कारण (एरवी) अनंत म्हटले की सारेच काही किचकट होऊन जाते. यावरील एक जालीम उपाय म्हणजे "मिती"ची संकल्पना! मितीकडे वळण्यापुर्वी सदिशावाकाशांची उदाहणे पाहू.
उदा१: R चा स्वतःसोबत दोन वेळा कार्तेशियान गुणाकार RXR= {(a, b): a नि b वास्तव संख्या} असे दिसणारा संच हा एक वास्तव सदिश अवकाश आहे. त्यावर (a, b)+(c, d)= (a+c, b+d) आणि r(a, b)= (ra, rb) अशी बेरीज नि गुणाकार देऊन वरील सर्व गुणधर्म तपासता येतात. या सदिशावकाशास R२ असे लिहितात. हे म्हणजे आपले फ़ेमस वास्तव प्रतल= real plane हे ओळखलेच असेल. (थोडे बाजूला जाऊन: रिअल प्लेन असेल तर त्याची मिती किती? तर दोन, हे फार पहिल्या पासून आपण शिकत आलोय. बरोबर? हिच संकल्पना जास्त रीगारासली पहायाचीये!).
कार्तेशियन गुणाकार माहीत नसल्यास या ओळीवर टिचकी मारा.
उदा२: अशाच प्रकारे RXRXR= R३वर वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि कंसाच्या आत घुसून गुणाकार केला तर R३ सुद्धा वास्तव सदिश अवकाश होते.
उदा३: नि इन जनरल जर "न" ही नैसर्गिक संख्या† (natural nuber= ०,१,२,३,…) असेल तर, RXRX… न वेळा गुणाकार = Rन ही सुद्धा वरील प्रक्रारे बेरीज-गुणाकार केल्यास वास्तव सदिश अवकाशे आहेत.
पाया नि मिती (Basis आणि dimension):
आता एक छोटीशी आकडेमोड. समजा R२ मधील एक सदिश (a, b) घेतली, तर बेरीज नि वास्तव संख्येने केलेला गुणाकार वापरून
(a, b)= a(१, ०) + b(०, १)
हे सहज पाहता येइल. किंवा Rन मधील
(a,b,...n) = a(१,०…०)+ b(०,१,०,…०)+...+n(०,…०,१)
हे ही अगदीच उघड आहे. म्हणजे केवळ एकाच ठिकाणी एक आणि इतरत्र शुन्य असे दिसणाऱ्या सदिश नि वास्तव संख्या वापरून कोणतीही सदिश लिहिता येते. R२ मध्ये अशा दोनच सदिश असतात की ज्या आणि रिअल नंबर वापरून R२ चे सर्वच व्हेक्टर लिहिता येतात, R३ मध्ये अशा तीन आणि Rन मध्ये "न" इतक्या असतात. कारण Rन च्या व्हेक्टर मध्ये ( _, _, _,…, _) "न" कप्पे आहेत. म्हणजेच १ ठेवता येतो अशी "न" ठिकाणे उपलब्ध आहेत, इतरत्र शुन्य ठेवून द्या. ज्या व्हेक्टर मध्ये पहिल्या ठिकाणी एक येतो आणि इतरत्र शुन्य तिला e१ म्हणतात, जीमध्ये दुसर्या ठिकाणी एक येतो तिला e२ , … इ.
एक थोडेसे किचकट काम म्हणजे हे सिद्ध करणे की जर e१, e२,… eन यातील एकही व्हेक्टर काढली तर मात्र सर्वच्या सर्व व्हेक्टर वरील प्रमाणे लिहिता येत नाहीत. आता आपण व्हेक्टर स्पेसचा पाया म्हणजे काय ते पाहू:
आता येते ती म्हणजे मिती. सदिशावकाश V ची मिती म्हणजे एखादा पाया दिला असता त्यामध्ये किती व्हेक्टर आहेत ती संख्या.
उदा४.
R२ साठी (१, ०), (०, १) या दोनच सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R२ची मिती २ आहे.
R३ चा (१, ०, ०), (०, १,०) नि (०, ०,१) या तीन सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे R३ची मिती ३ आहे.
Rन साठी (१,०…०), (०,१,०,…०),...,(०,…०,१) या न सदिश पाया बनवतात. त्यामुळे Rन ची मिती "न" आहे.
जर पायामध्ये अनंत व्हेक्टर असतील तर V ला अनंत मितीय वास्तव सदिशावकाश = infinite dimensional vector space, म्हणतात.
उदा५. RXRX…अनंत वेळा. वरीलप्रमाणेच बेरीज आणि गुणाकार देऊन हे एक सदिशावकाश होते.
थोडे इकडे तिकडे:
हा
सदिशावाकाशांचा अभ्यास करणाऱ्या गणिताच्या शाखेला लिनियर अल्जेब्रा
म्हणतात. लिनियर म्हणजे रेषीय. सदिशावकाशास फिजिक्समध्ये रेषीय अवकाश=
Linear space असेही म्हणतात. याचे कारण म्हणजे या अवकाशांची भौमितिक रचना. या अवकाशाचा अभ्यास करताना रेषा हे मुलभुत एकक ठरते.
हे आपणास माहीतच आहे की वास्तव संख्यांचा संच R म्हणजे रेषा. मात्र वरील बरीज आणि वजाबाकी सदिशावाकासाच्या व्याख्येतील सर्व गुणधर्म पळते. यामुळे R स्वतः एक वास्तव सदिशावकाश बनते, त्याचा (एक) पाया {१} नि मिती एक आहे. हे अवकाश दिसते कसे? तर R म्हणजे रेषा! हे आपण पूर्वीपासूनच शिकत आलोय. मग R२म्हणजे काय, तर रेषेचा रेषेसोबत कार्तेशियान गुणाकार, तो येतो द्विमित प्रतल. हाच गुणाकार तीन वेळा केला की आपली युक्लिडियन स्पेस म्हणजे रोज जगतो ते त्रिमित अवकाश बनते! त्याच प्रमाणे पुढील उच्च मितीय (सदिश) अवकाशे बनतात. मात्र त्यांची सर्वांचीच चित्रे§ काढणे जमंत नाही. अस्तु. व्हेक्टर स्पेस मध्ये स्केलर प्रोडक्ट (आदिश गुणाकार) टाकले की तिला इनर प्रोडक्ट स्पेस म्हणतात. आपण १०वीत शिकलेली सर्व भूमिती करता येते. मिती वाढवली की या स्पेस मध्ये हायर डिमेन्शनल जिओमिट्रिक शेप्स मिळतात.
आणि आता एक सिद्धांत सांगून गणित थांबवतो!
सिद्धांत: समजा V ही वरील ऍब्स्ट्रक्ट व्याख्या वापरून मिळवलेली वास्तव व्हेक्टर स्पेस आहे. जर V ची मिती "न" इतकी असेल तर V ही मुळात Rन च असते.
म्हणजेच आपण वर जी उदाहरणे पहिली R२ , R३ , … केवळ तेच वास्तव सदिशावकाश असते. इतर सर्व सदिशावाकाशे तशीच दिसतात! हा फार महत्वाचा सिद्धांत आहे. आणि तो सिद्ध करणे फारसे अवघडही नाही.
