लेख क्रमांक शुन्य- तुम्ही नेमके करता काय?- २

"मी मुलीचा मामा. मी गणिताचा प्राध्यापक आहे. तुम्ही सध्या करता काय?", पलीकडल्या मंडळींनी विचारले. 

"सध्या पीएच. डी चालू आहे. गणितामध्ये संशोधन करतोय" मी. 

मामा टणकन उडाले. 

"काय? (मराठीमध्ये क्यापिटल लिहायची सोय नाही. हा "काय" क्यापिटल मध्ये वाचावा). गणितामध्ये संशोधन करतात?"

मामांच्या प्राध्यापकगिरी वरील माझा विश्वास आत्तपर्यंत पुर्णपणे ढासळला होता. मी जमेल त्या नम्रतेने उत्तर दिले,

"अहो, बरंच काम आहे करायला! खूप विषय आहेत, प्रश्न आहेत!"

बारावीच्या मुलाने १+१= ० असं उत्तर दिल्यावर करावसं तोंड करत अणि माझ्यावर जमेल तितका अविश्वास दाखवत मामांनी विचारले, 

"प्रश्न? अच्छा, मग तुम्ही मोठाच्या मोठा इण्टिग्रल सोडवता काय की हजार बाय हजारच्या म्याट्रिक्सचा गुणाकार करता?". प्रश्न सम्पताच इतरेतरांकडे एक विजयी मुद्रा टाकून माझ्याकडे प्रश्नार्थक चेहर्याने मामा बघते झाले.

     खरं सांगू, पुढे गणित प्राध्यापक मामांना मी काय उत्तर दिले, मग सगळे कसे फ़िसकटत गेले नि आईने मला नंतर कसे ताणले नि बाबा कसे खुसखुशीत हसत होते, ही कथा सांगण्यात काय फारसा अर्थ नाही! मात्र कोकणातील एका निवृत्त व्ह्यायला आलेल्या गणिताच्या शिक्षकांनी, बायो-केमिस्ट्रीच्य़ा सहसंशोधक मित्रांनी आणि गावाकडच्या अगणित अंतू बरव्यांनी विचारलेला प्रश्न असा सीन निर्माण करीन असं मला कधी वटलं नव्हतं! मागच्या भागात आम्ही काय विषय शिकतो यावर लिहीले, आणि आता उत्तर लिहिण्याचा प्रयत्न करतोय - "तुम्ही संशोधन करता म्हणजे करता काय?"

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: काय नाय, असाच वाचा!  

थोडीफार फ़ेमस फिजीक्साची उदाहरणे आहेत तेवढी.

शाळेमधे गुरुजी कायम सांगायचे की ज्ञानार्थींनी कायम का, कसे आणि कुठे हे प्रश्न विचारात राहिले पाहिजे. पण आता वाटते ज्ञानार्जन करणे हाच एकमेव हेतू आयुष्यभर असण्याला अर्थ नाही! आपणही कुठेतरी या ज्ञानभांडारात भर घालायला हवी. त्यामुळे ज्ञानार्थीपाणानंतर येते ती दशा म्हणजे संशोधन करणे. संशोधक हे वरील प्रश्नांची उत्तरे देतात. पण ही उत्तरे देण्याची प्रत्येक विषयाची स्वतःची पद्धती असते. म्हणजे, एखाद्या श्रद्धाळू आस्तिकाला प्रश्न केला की "झाडाची पाने हिरवी का असतात?" तर यावर उत्तर म्हणून "कारण ते देवाने तसे केला आहे" असा तो म्हणायला बसलाय. परंतु हे उत्तर जीवशास्त्रज्ञ मान्य करू शकत नाही. जर देवभक्ती हे शास्त्र मानले तर (मित्रहो, हा मोठा वादाचा मुद्दा आहे, मात्र मी जर-तर ची रचना केली आहे, हे ध्यानात असू द्या!) तर पहिले उत्तर या शास्त्राप्रमाणे बरोबर आहे. मात्र जीवशास्त्राची काम करण्याची रीत वेगळी आहे. ते लोक हे कारण मान्य करू शकत नाहीत. आज प्रत्येकच विषयातील संशोधनाची पद्धती आणि तत्वज्ञान जवळ जवळ ठरले आहे. यामध्ये तर्काशास्त्रानुरूप अर्ग्युमेंट देणे तर भाग आहेच, पण एखाद्या प्रश्नाचे उत्तर कसे द्यायचे हे ही क्यरेक्टराईज केले आहे. उदा. रसायनशास्त्रामध्ये (ढोबळमानाने) एखादी रासायनिक प्रक्रिया फ़ोरकास्ट केली तरी पण जोवर ती ल्याबामध्ये केली जात नाही आणि आउट-पुट तपासले जात नाही, तोवर त्या थिरिओटीकल फ़ोरकास्टचा काही उपयोग नाही! असे एक प्रसिद्ध उदाहरण म्हणजे आइनस्टाईनने त्याची "जनरल थिअरि ऑफ रिलटिव्हीटी" पब्लिश केल्यावरही जोपर्यंत एडिंगटनने सुर्यग्रहणामधे ती तपासली नाही तोवर ती मान्य केली नव्हती. आणि आत्ताचे उदाहरण म्हणजे लय लय फ़ेमस स्ट्रिंग  थिअरीचे! कागदोपत्री या थिअरीने बरेच प्रश्न सोडवलेत, पण तिला अजून प्रयोगांमधून यश आले नाहीये. त्यामुळे तिच्याबद्दल ठामपणे कोणी बोलत नाही.

एडिङ्गटनने आईन्स्टाइनचा सिद्धांत तपासताना
केलेल्या प्रयोगामागील कल्पना दाखवणारे चित्र

      अस्तु, तर गणित विषयामध्ये काय चालते? आकडा एक, की गणितामध्येही प्रश्न असतात, हे मागील लेखामधेच मी सांगितलेय (१+ १ = २ च का इ.इ.). आता याची उत्तरे कशी द्यायची? १+१=२ चा का, याचे मला शाळेतल्या एका मुलाकडून ऐकायला मिळालेले एक उत्तर म्हणजे, जर एक पेरू आणि अजून एक पेरू जवळ जवळ ठेवले तर दोन पेरू होतात, म्हणून! लहान मुलांसाठी हे ठीक आहे. पण थोडा विचार करा, खरेतर १+१=२ होतात म्हणून एक आणि एक पेरू मिळून दोन पेरू होतात! बरोबर ना?

     फार उदाहरणे न देत आता सांगतो. बराच काळ गणितामध्ये कोणते उत्तर खरे मानायचे यावर घोळ होता! महान गणल्या गेलेल्या लोकांनी एक प्रथा पाडून दिली होती की ज्या ज्या थिअरी वापरल्या आहेत त्यांची "Axioms" पाळणारे, सेट थिअरिचे नियम वापरून आणि इतर चिह्ने वापरून लिहिता येणारे, लॉजिकला पळणारे असे जर उत्तर असेल तर ते मान्य केले जाईल. परंतु अति-काटेकोर असणाऱ्या सार्याच गणितज्ञांना हे नियम अ-लिखित आहेत, ह्याचा फार त्रास होत असावा कदाचित! १९४० च्या सुमारास "एका" फ्रेंच गाणितज्ञाने† हा त्रास संपवला आणि एका महान पुस्तकामध्ये हे सारे नियम एकत्र केले. हे नियम वरील तीन नियमांप्रमाणेच होते, परंतु या गणितज्ञाने लॉजिकचे नेमके कोणते नियम वापरायचे, नेमकी कोणती चिह्ने=सिंबल्स वापरायची आणि त्यांचे अर्थ काय याची यादी केली, महत्वाची गृहीतके मांडली. इथेच मग पहिल्या लेखामध्ये म्हटल्याप्रमाणे तर्कशास्त्र = गणिताचे व्याकरण आणि त्याने दिलेली यादी = गणिताची मुळाक्षरे असे ऒफ़िशिअली ठरवले गेले. हे नियम जगभर मान्य केले गेले. आज आपण जे गणित शिकतो त्यामध्ये इतकी सारी !, -> , =, ϵ ही चिह्ने, सेट थिअरी आणि लॉजिकमधील चिह्ने, कंस वापरण्याचे नियम का आहेत आणि तसेच का आहेत यांचा उगम या पुस्तकात आहे! गम्मत म्हणा किंवा दुर्दैव म्हणा, मला ज्यांनी शिकवले त्यापैकी एकही हायस्कूल मास्तरांना किंवा १२वी च्या ही शिक्षकांना हे माहिती नव्हते. यामुळे गणितामधील कॉन्सेप्ट राहतात दूर, पण चिह्नान्चाच बागुलबुवा उभा राहतो! तर हे झाले गणित आणि गणितातील उत्तरे लिहिण्याबद्दलाचे विवेचन. 

 

गणिताच्या लिपीतील काही अक्षरे

नाऊ लेट्स डिस्कस सम आयडीयाज!

       प्रश्न सोडवायचा कसा? याचा प्लान ऑफ अट्याक हा असा की: प्रश्न सोडवण्यासाठी मग आधी विचार केला जातो तो हा, की हाताशी असलेल्या काही थिअरिज आहेत का की ज्या वापरून हा प्रश्न सोडवता येईल. जर हे झाले तर ठीक. नाहीतर, हा प्रश्न कोणकोणत्या विषयांसोबत जोडला गेलेला आहे, त्यांचा परस्पर संबंध काय आहे आणि तो संबंध वापरून हा सोडवता येईल का का असा विचार होतो. यामुळे नवीन गृहीतके टाकावी लागत नाहीत. आणि हाताशी असणार्याच बाबी वापरून उत्तर मिळते. पण हे नाही नाही झाले तर बराच काथ्याकुट करावा लागल्याची उदाहरणे इतिहासात आहेत. उदाहरणार्थ, गर्ल/बॉय फ्रेंड जुना झाला असेल तर ती(तो) रुसली(ला) की फारसा विचार न करता आपण नेमका काय गुन्हा केला हे ध्यानात येते. कारण आजवरच्या अनुभावान्मुळे "रुसण्याची कारणे" हा डेटा अनालिसिस केला की एकतरी कारण सापडून जाते. पण तीच/तोच जेव्हा धर्मपत्नी/ पती होते/तो तेव्हा "माझे माहेर" वा "सकाळचे थंड पोहे" हे रुसव्याचे कारण असते नि ते शोधायला आत्ता पर्यंतचा डेटा नक्कीच पुरेसा नसतो! अशीच काहीशी गणितामध्ये ही स्थिती! उदाहरणार्थ, आइन्स्टाइनला त्याच्या कल्पना त्यावेळी वापरत असणारे गणित वापरून मांडता आल्या नाहीत. त्याने शोध घेतला तेव्हा त्याला मिन्कोव्हास्कीच्या भूमिती बद्दल कळाले आणि ही भूमिती वापरून त्याने काम केले. हे झाले पहिल्या प्रकाराचे उदाहरण, की जिथे असलेली साधनेच वापरली. नवीन थिअरी शोधाव्या लागल्याचे उदाहरण म्हणजे,: क्षेत्रफळ काढण्यासाठी न्युटनला त्या काळामध्ये जी गणिती अवजारे उपलब्ध होती, म्हणजे बेरीज-वजाबाकी-गुणाकार-भागाकार-युक्लिडची भूमिती, ही काही पुरेशी पडली नाहीत. त्याला मग क्याल्कुलस=कलनाशास्त्र शोधून काढावे लागले.

      थोडे बाजूला जाउन, मला एका महत्वाच्या बाबीवर थोडे भाष्य करायचे आहे. ते म्हणजे "गणितामध्ये सगळ काही assume च करतात" ही टिका किंवा टिप्पणी वा ती जी काही असेल, तीवर थोडे विवरण. प्रत्येक प्रूफ किंवा थिअरम पूर्वी "समजा….", "असे मानूयात की…" "Let's assume…" किंवा "Let, ..." असे असते. शिवाय असंख्य व्याख्याही असतात. मग अशी टर उडवली जाते की गणितामध्ये सगळे समजूनच घ्यायचे असते. पण खरेतर या शब्दांचा शब्दशः अर्थ घ्यावयाचा नाही! एखादे उत्तर देण्यापूर्वी किंवा सिद्धांत मांडण्यापूर्वी आपल्या काय मर्यादा आहेत आणि आपल्याला नेमक्या कोणकोणत्या गोष्टी लागताहेत हे सांगण्यासाठी वापरले जाणारे ते शब्द आहेत. "माझी सिस्टिम अशी आहे, त्यामध्ये याचा अर्थ हा आहे,…" ही लांबलचक रचना टाळण्यासाठी "समजा…." असा साधा शब्द वापरला जातो. थोडक्यात तो एक syntax आहे. मोबाइल फोन वर काट मारलेली पाटी मंदिर किंवा हापिसासमोर असेल तर त्याचा अर्थ फोन घेऊन जाण्यास मनाई किंवा सायलेण्ट वर टाका असा असतो, फोन फोडा असा नाही! तशीच ही प्रथा††! 

याचा अर्थ फोन फोडा असा नाही!

आणि लिखाण करताना कायम सगळ्याच कन्स्ट्रेण्ट लिहित बसणे जिकीरीचे असते, त्यामुळे एखादी बाबा सारखी येत असेल तर त्या बाबीस किंवा संकल्पनेस नाव देऊन लिखाण सुलभ करावे म्हणून व्याख्या लिहिल्या जातात. उदा. 

 "वाहनाचे त्वरण (= acceleration) क्ष किमी/तास^२ आहे" 

हे लिहिणे 

"वाहनाने मागील तासामध्ये क्ष किमी अंतर कापले असून पुढील तासात ते क्ष^२ किमी अंतर कापेन आणि अशाच प्रकारे… (हुश्श… विचार करतानाच दम लागला!)" 

यापेक्षा कित्तीतरी पटीने सोपे आहे. 

म्हणून त्वरणची व्याख्या देणे गरजेचे आहे! शिवाय लेखकाने/ संशोधकाने नवी संकल्पना जन्माला घातली असेल आणि तिला नाव द्यायचे आहे, असे असेल तर त्या संकल्पनेची व्याख्या केली जाते. 

     तर हे झाले तात्विक विवेचन. लेख इथेच संपत नाही! पुढील पानावर ही सगळी फिलोसोफी वापरून नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय आणि त्यांची बेरीज करायची म्हणजे नेमके काय करायचे, हयांची उत्तरे सिद्ध केली आहेत. त्यामध्येच १+१=२ चे कारणही मिळेल. हि सिद्धता देताना सेट थिअरी सोडून इतर काहीही वापरलेले नाही! खरे सांगायचे तर प्रस्तुत लेख म्हणजे नंदीच्या शेपटाचे दर्शन आहे, शिवलिंग तर पुढे आहे!

∆  ∆

†एका फ्रेंच गाणितज्ञाने - याचे नाव मुद्दामच गाळलेय. या माणसावर एक मस्त खमंग लेख होऊ शकतो म्हणून! गाणिताभ्यासाकांनो Théorie des ensembles उर्फ Set Theory नामक अद्य पुस्तकाच्या महान लेखाकासंदार्भातच मी बोलतोय. या माणसाविषयीचे सत्य मला माहिती आहे, पण आवर्जून उल्लेख टाळतोय. :)

††खरेतर प्रथेपेक्षाही महत्वाचे कारण म्हणजे लॉजिकल अनालिसिस आहे. लॉजिक आवडणार्यांसाठी- समजा किंवा If (वा assume) मधील सर्व वाक्ये, हा लॉजिक डेटा मनाला जातो आणि ह्या डेटा मधील सर्व विधाने परस्परांशी ∧ ने जोडलेली आहेत असे समजले जाते. थिअरमचा रिझल्ट किंवा थिअरिचा रिझल्ट हा o/p मानला जातो.
आणि If ची विधाने imply  रिझल्ट अशी रचना असते. त्यामुळे डाटा बदलला तर o/p ही बदलले पाहिजे. म्हणून "समजा" किंवा if ची रचना केली जाते. हि रचना डाटा क्लेरीफाय करते.

The images are downloaded from Google. No copyright infringement intended. Thank you for allowing to download the images.