Friday, April 19, 2013

प्रश्न (नैसर्गिक) संख्यांच्या अस्तित्वाचा


God gave us the integers, all else is the work of man
- Kronecker 


(मागील लेखावरून पुढे चालू)
मागे बरीच तात्विक चर्चा झाली. पण युद्ध आणि पीएच. डी. केल्याशिवाय त्याचा अर्थ कळत नाही, असा म्हणतात, कदाचित गणिताचेही तसेच आहे. गणित केल्याविना त्याचा अर्थ कळणे शक्य नाही. मी या लेखामध्ये "नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात असतात"  ( :-o ) हे सिद्ध करतोय. या साठी केवळ संच सिद्धांत आणि लॉजिक वापरतोय. शक्य तितक्या वाचकांना कळेलसा प्रुफ देण्याचा प्रयत्न आहे. या सिद्धातेमागिल विचार आणि तत्वज्ञान पूर्वीच्या लेखात सांगितले आहे आणि ते ध्यानात ठेऊन वाचले तर नक्कीच तुम्हाला वाचताना बोअर  होणार नाही, उलट "गणित कळल्याचा" आनंदच होईल, हे मी खात्रीने सांगतो! तर, हा आनंद उपभोगण्यासाठी मागील  लेखातील विचार हवे आणि मागील लेख नेमका कळण्यासाठी थोडे गणित हवे… रोजच्या आकडेमोडीसाठी ०,१,२,... अशा संख्या आपण वापरतो. त्यांचा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. या संख्या आपण वापरताना त्यांचं अस्तित्व आपल्यासाठी अगदीच स्पष्ट असतं. मात्र गणिती मात्र प्रश्न विचारतात की संच सिद्धांत नि तर्कशास्त्र वापरून अशी (संचीय+तर्कीय :P) सिस्टीम बनवता येईल का, की जीमधे नैसर्गिक संख्यांचे सर्व गुणधर्म असतील?
 लेखामध्ये अशील संचीय+तर्कीय सिस्टीम अस्तित्वात आहेत याची गणिती सिद्धता मी देतोय. याच सिस्टीमला नैसर्गिक संख्याचा संच म्हणतात.
चटपटीत भाषेत सांगायचं, तर "नैसर्गिक संख्यांच्या अस्तीत्वाची" गणिती सिद्धता मी देतोय.
तर करूयात सुरुवात… 
या लेखातील गणिताची तीव्रता: ५ पैकी २ मिरच्या

(नैसर्गिक) संख्या म्हणजे नेमकं काय?
     गणिताच्या खेळाचे नियम पाळूत मुळापासून विचार करू. खेळाची पहिली अट आहे  की प्रत्येक संख्या संचांच्या भाषेत 
लिहिता आले पाहिजे आणि प्रत्येकाची संचीय व्याख्या असायला हवी. इथे पहिला प्रश्न उभा राहतो तो असा की १ म्हणजे नेमके काय? किंवा २ म्हणजे काय? किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणजे काय?
१=एक सफरचंद, २= दोन सफरचंद,…?
१ म्हणजे "एक सफरचंद" काय? पण तसे असेल तर "एक आंबा" ही संकल्पना दाखवण्यासाठी वेगळे चिह्न वापरले पाहिजे. शिवाय सफरचंद, आंबा ह्या संकल्पना संचाच्या भाषेत लिहिणे अशक्य आहे! त्यामुळे मुळ प्रश्न बाजूला ठेवून पहिला प्रश्न सोडवावा लागेल, तो म्हणजे नैसर्गिक संख्यांची योग्य अशी व्याख्या करणे. मग संख्या दिल्या की दोन संख्यांची बेरीज कायची म्हणजे नेमके काय करायचे हे ठरवणे. आणि मग आपले विधान सिद्ध करणे आले. चला तर मग, नैसर्गिक संख्या म्हणजे नेमके काय हे संचांच्या राज्यामध्ये शोधूयात….!

                                                           १. नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या
नैसर्गिक संख्यांचा वापर मुळात मोजण्यासाठी होतो. त्यामुळे त्यांची व्याख्या देताना हा त्यांचा गुणधर्म लक्षात ठेवणे गरजेचे आहे. दुसरी बाब अशी की नैसर्गिक संख्यामध्ये क्रमवारीतेचा गुणधर्म (= वेल डिफ़ायिण्ड ऑर्डरिंग) असतो. म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्या दिल्या तर त्यामधील लहान कोणती, मोठी कोणती ते सांगता येते. शिवाय दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते. खरेतर, साधे सुधे काउण्टिङ्ग करताना केवळ आणि केवळ नैसर्गिक संख्यांच्या मुलभुत गुणधार्माचाच वापर होतो. अजून एक सांगायची बाब अशी की नैसर्गिक संख्या म्हणजे {१, २, ३, … } असे आपल्याला सांगितलेले असते, मात्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ्यांनी {०, १, २, ३, … } यांना नैसर्गिक संख्या म्हटले होते, आणि आज गणितामधेही यांनाच नैसर्गिक संख्या म्हणतात. याची काही महत्वाची कारणे आहेत (जिज्ञासुंनी  मेल लिहून कळवा, उत्तर दिले जाईल). आपणही ० ला घेणार आहोत. तर पहिले ठरवू ० म्हणजे काय.  याचे उत्तर सोपे आहे. जर ० म्हणून मला संच वापरायचा असेल तर नक्कीच मी रिक्त संच (एम्प्टी सेट) वापरेन! म्हणजेच रिक्त संचास नेहमी आपण ∅ असे लिहितो, ते आज ० म्हणून लिहायचे. तर,
० := ∅ 
मग प्रश्न येतो तो १ म्हणजे काय असा. इथे थोडे डोके लावावे लागेल. कारण १ साठी पण एक संचच लिहिण्याचा मानस आहे. आणि मग सारे नैसर्गिक आकडे मी असेच संच म्हणून लिहित जाईन. त्यांची बेरीज म्हणजे या संचांचा योग संच घेणे (युनियन घेणे)  अस विचार आहे. पण तो कितीपत यशस्वी ठरेल हे माहिती नाही. आता १ साठी कोणता संच घ्यायचा ते ठरवायचं आहे. पण संच सिद्धांतामध्ये फक्त एकाच संच "देवाने" दिला आहे, तो म्हणजे रिक्त संच ∅! नवे संच बनवायला नवी सिम्बल घ्यावी लागतील आणि मग ती सिम्बल्स काय आहेत हे सांगण्यासाठी नवी गृहीतके घ्यावी लागतील. हे तर आपल्याला नको आहे. म्हणून मग, ∅ वापरूनच नवे सिम्बल बनवावे लागेल. ते कसे बनवायचे? एक युक्ती आहे, तिला म्हणतात सक्सेसर सेट. दिलेल्या संचाचा सक्सेसर सेट म्हणजे तो संच आणि त्यामधील सारे घटक असणारा संच.  उदा. अ चा सक्सेसर संच = अ ∪ {अ}
तसेच,
∅ चा सक्सेसर संच =  ∅ ∪ {∅} = {∅}
लक्षात घ्या की ∅ आणि {∅} वेगळे आहेत. ∅ रिक्त आहे आणि {∅} मध्ये एक घटक आहे, त्यामुळे तो रिक्त नाही.
उत्तम, आता हिच क्लुप्ती वापरून नवे संच बनवू, 
म्हणजेच रिक्त संच, रिक्त संचास इनक्लुड करणारा संच, रिक्त संच आणि या मागील संचास इनक्लुड करणारा संच, … इत्यादी.

आता हे लिहिणे सुटसुटीत व्हावे म्हणून त्यांना नावे देवूयात, 
∅ ला नाव दिलेच आहे, शुन्य

∅ चा सक्सेसर संच =  {∅}  याला एक म्हणू 
{∅}  चा सक्सेसर संच = {∅,  {∅} } याला दोन म्हणू, 
आणि असेच पुढे. 
थोडक्यात काय तर 

०  := ∅

१  := {∅} 
 २ := {∅,  {∅} } ={ ०, १}
३ := {∅,  {∅},  {∅,  {∅}}  } = {०, १, २}
.
.
.
आणि असेच पुढे.
     ही झाली ० ,१ , २ ची संचीय व्याख्या. नैसर्गिक संख्यांचा अतिमहत्वाचा एक गुणधर्म म्हणजे दोन नैसर्गिक संख्यांची तुलना करता येते, म्हणजेच कोणती मोठी कोणती लहान हे सांगता येते. या सन्चीय व्याख्येमध्ये ही तुलना शक्य आहे का? तर होय! कसे? ते असे:
     न आणि म हे वरील प्रमाणे संच नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील दोन संच  (म्हणजेच दोन नैसर्गिक संख्याच ) घ्या. जर "न" हा "म" चा उपसंच असेल तर आपण न < म असे म्हणायचे . म्हणजेच "न" पुर्णपणे "म" च्या आत बसला असेल तर हा पेक्षा लहान आहे. ही व्याख्या फारच स्वाभाविक आहे. जसे पहा ∅ हा प्रत्येकच संचाचा उपसंच असतो, त्यामुळे ० = ∅ हा प्रत्येकच नैसर्गिक संख्येपेक्षा लहान ठरतो. तर १ = {∅} हा ∅ मध्ये नाहीये, त्यामुळे ० हा १ पेक्षा मोठा नाही. पण, १={∅} हा {∅,  {∅} } = २ चा उपसंच आहे. त्यामुळे  १ हा २ पेक्षा लहान होतो. त्यामुळे आपली व्याख्या बरीच योग्य आहे असे दिसते.
     आता वळू बेरजेकडे. संचाची युती म्हणजे बेरीज म्हणणे खूप स्वाभाविक वाटते, पण ते शक्य नाही. कारण ० ∪ १ = १ म्हणजेच ० + १ = १ किंवा ० ∪ २ = २ येते खरे, मात्र कोणत्याही संचाची त्याच्याच सोबत युती केली असता तोच संच परत मिळतो. त्यामुळे कोणतीही संख्या स्वतःमध्ये मिळवली असता आपल्याला तीच संख्या माघारी मिळेल! निसर्ग अशी बेरीज करत नाही! त्यामुळे दुसरे काहीतरी शोधणे भाग पडते.


२. संख्यांची बेरीज:

बरेच खटाटोप केल्यावर असे ध्यानात आले की,  सरळ सरळ बेरीज करणे शक्य नाही. सर्वच्या सर्व बेरजा देण्याऐवजी केवळ काही ठरावीक बेरजांची व्याख्या आपण करू नि मग त्यावरून इतर बेरजा करणे शक्य होईल. पहिली व्याख्या: शून्यासाठी नियम  ठरवायचा की ० +१ = १.  इतर संख्यांचे काय करायचे? आपण सक्सेसर वापरून संख्या बनवल्या आहेत. त्यामुळे ही बेरजेची व्याख्याही सक्सेसर वापरून करता आली तर गृहीतकं कमी होतील. एक छोटे निरीक्षण असे करता येईल की नित्याच्या आयुष्यात ०+१=१, १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असते. सक्सेसरची संकल्पना वापरून असे दिसेल की
१+१ := १ चा सक्सेसर संच = {० ,१} = २ . 
१+२ := २ चा सक्सेसर संच = ३
.  
१+  न := न चा सक्सेसर = न+१
म्हणजेच कोणत्याही नैसर्गिक संख्येमध्ये १ मिळवायचा म्हणचे त्या संख्याशी निगडीत संचाचा सक्सेसर घ्यायचा. अरेरे, पण आत्ता खूपच जास्त (म्हणजे, खरेतर, अनंत) व्याख्या झाल्या! इतकी अझम्पशन्स बरी नाहीत. परंतु, नीट पहिले असता ध्यानात येईल की ह्या व्याख्या जरी अनंत दिसत असल्या तरी त्या एका ओळीमध्ये लिहिता येतात. त्या अशा की " शुन्येतर नैसर्गिक संख्या न साठी १+  न = न चा सक्सेसर"
ही केवळ एकाच व्याख्या झाली! ही व्याख्या वापरून कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करता येते, गुणकारही करता येतो! दोन संख्या आणि  दिल्या असता त्यांची बेरीज  न + म = १+१+ … +१ ( वेळा) + ,  असे करून मग १+  अशी बेरीज करता करता मूळ बेरीज काढता येईल. आणि न x म =   वेळा   ची बेरीज असे करता येईल.
     म्हणजेच महत्वाची आकडेमोड आपल्याला संच वापरून करता येतेय!
म्हणजे आपण सिद्ध केले की नैसर्गिक संख्या म्हणजे काही संचांचा बनलेला संच आहे, आणि क्रमवारीता, बेरीज, गुणाकार ही सर्व संचीय ऑपरेशनस आहेत! मातृभाषा इंग्रजीमध्ये ;) बोलायचे तर Set of natural numbers is a set which consists of some other sets. The operations: comparison, addition and multiplication of two natural numbers are also given by set theoretic operations.

३. तात्पर्य:
आता जर तुमचे डोके ठिकाणावर असेल तर, या सर्व द्राविडी प्राणायामाचे तात्पर्य  सांगतो. 
  • पहिली बाब अशी की केवळ मुलभुत चिह्ने वापरून आपण  नैसर्गिक "संख्या" म्हणजे काय याचे उत्तर दिले.
  • संख्या म्हणजे काय, हे ठरवल्यावर आपण लहान मोठी संख्या सांगू शकलो. 
  • संख्यांचा बेरीज-गुणाकारही या मुलभुत स्वरुपात करता आला.
  • इंग्रजी-मराठी भाषा, पेरू-आंबा ही फळे अशा बाबी न वापरता अतिशय रिगरसली पक्की थिअरी बनवता आली, केवळ संच आणि लॉजिक वापरल्याने, या थिअरीचा वापर यंत्रे करू शकतात (कारण यंत्रांना सेट आणि लॉजिकच कळते).
  • गणित या शास्त्राची गृहीतके खूप कमी दिसत असली तरी निदान नित्याची आकडेमोड केवळ ही गृहीतके वापरून करता येते हे, सिद्ध झाले. त्यामुळे हे गणित नावाचे शास्त्र empty नाही हे सिद्ध होते ! :)
 ४. थोडीशी गंमत  
नैसर्गिक संख्या नावाची जी सिस्टीम एरवीच वापरली जाते, तिच्या अस्तीत्वासाठी जरा जास्तच गृहीतकं लागतात. म्हणजे की, प्रत्येक संख्या अस्तीत्वात असायलाच हवी (हे खरंतर खुप मोघम गृहीतक आहे. कारण संख्या अनंत आहेत नि कंटीनम हायपोथीसीस शिकलेल्यांना माहीतच असेल की अनंतची भानगड फार अंगाशी येणारी आहे!), शिवाय त्यांची बेरीज करताना १+१=२च हवे (१+१=० किंवा १ चालणार नाही). ही दोन गृहीतकंच या सिस्टीमच्या वापरावर मोठी बंधने आणतात (वापर म्हणजे कंप्युटींग किंवा संशोधनात इतरत्र). आपल्या रचनेमधे मात्र आपण अतिशय कमी गृहीतकं वापरली आहेत.

इथे सांगण्याची गंमत अशी की व्याख्येप्रमाणे १+१=२, २+१=३, ३+१=४,... असे असले तरी ३+४=७ हे इथे सिद्ध करावे लागते नि ते सिद्धही करता येते. कसे, तर
३+४ =(२+१)+४ =(१+१)+(१+४) =१+(१+५) =१+६=७ 

     अस्तु, रिगरस  गणिताची ही ओळख पुरे! अखेरीस सांगतो, गणित म्हणजे काय तर, दिलेला प्रश्न संच-लॉजिक-क्याटेगरी च्या भाषेत मांडणारे आणि त्याची उत्तरेही त्याच भाषेत शोधणारे  अन त्यासाठी नवनवीन कल्पना जन्माला घालणारे शास्त्र! कमीत कमी नियम वापरून  निसर्गाचा काटेकोरपणे अभ्यास करायचा प्रयत्न हा विषय करतो!
God gave us the integers, all else is the work of man

∆  ∆

हा लेख प्रूफरीड करायला भूषणने मदत केली. त्याबद्दल आभार :)

तळटीपा:
†नैसर्गिक संख्यांचे गणिताच्या दृष्टीने महत्वाचे गुणधर्म म्हणजे  त्यांची क्रमवार मांडणी करता येते, कोणताही रिक्त नसणारा उपसंच घेतला तर त्यामध्ये एक सर्वात लहान संख्या असते (= प्रिन्सिपल ऑफ वेल ऑर्डरींग ) आणि त्या काउण्टेबल (ही तांत्रिक संज्ञा आहे) आहेत.
१ . Kronecker- हा एक प्रसिद्ध जर्मन गणिती आहे. त्याने लिनिअर अल्जेब्रास दिलेले क्रोनेकर डेल्टा चिह्न प्रसिद्ध आहे. त्याचे विकी पेज हे आहे.
२. वरील पद्धतीशिवाय कर्डिन्यालिटी अर्ग्युमेंट,  पियानोची गृहीतके वापरून केलेली व्याख्या या रचनाही नैसर्गिक संख्या अस्तित्वात आहेत, हे सिद्ध करण्यासाठी वापरले जातात. मी पहिल्यांदा वाचलेली आणि अजूनही मला आवडणारी ही रचना आहे. शिवाय गणिताची बौद्धिक बैठक कमी असली तरीही ही सिद्धता देता येते. म्हणून लिहिली.

4 comments:

  1. वा! मला २ पेक्षा जास्त मिरच्या झोंबल्या. त्यामुळे खालची ६ सफरचंदे खाऊन देखील फार काही उपयोग झाला नाही. असो.

    मला मूळ प्रश्नाचं उत्तर "कारण व्याख्येमध्ये १ चा सक्सेसर २ येतो" एवढंच पटलं. कारण जेव्हा केव्हा १+१=२ हे ठरवलं गेलं, तेव्हा सेट थियरी अस्तित्वात होती का असा मला प्रश्न आहे. सेट थियरिने ते वेगळ्या प्रकारे सिद्ध करता येत असेल, पण ते "का" ह्या प्रश्नाचं उत्तर वाटत नाही. मुळात 0 म्हणजे काही नाही आणि {फी} मध्ये एक संख्या आहे - ही गृहितकं घेतल्या शिवाय आपण पुढे जाऊ शकत नाही. मग त्यासाठी सेट थियरी कशासाठी? उलट मी एखादी वस्तू एक आहे, म्हणजे ते एकक मी न तोडता आणखी वेळा मोजू शकत नाही - ह्याला 'एक' असं नाव दिलं. मग ती कुठलीही न तुटलेली वस्तू असेल (न तोडता येणारी असं नाही म्हणलेलं). मग ती एक आणि आणखीन एक वस्तू घेतली कि त्यांना एकत्रितपणे २ म्हणायचं. (पुढे १ किलो , १ फूट वगैरे गोष्टी आल्या, पण त्याचं मूळचं प्रमाण - त्या राजाचा पाय, किंवा कुठल्या तरी वस्तूच वजन ह्या एकेकच गोष्टी होत्या ना!)

    गृहीतकांबद्दल बोलायचं झालं तर ०+०=० का आणि ०-०=० का हे अशाच प्रकारे सिद्ध करता येईल जे मला अजिबात पटत नाही. पहा कसं ते -
    गृहीतक १: शून्य हे पूर्ण आहे
    गृहीतक २: खालचा श्लोक हि पूर्णाची व्याख्या आहे -
    पूर्णमद: पूर्णमिदं पूर्णात्पूर्णमुदच्यते।
    पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते॥

    पूर्ण is a subset of पूर्ण
    पूर्ण - पूर्ण = पूर्ण

    उपनिषदा मध्ये त्या पूर्णाची उपासना केली आहे. म्हणजेच पूर्ण हे पूज्य आहे. त्यामुळे मराठीत शून्याला "पूज्य" असेही म्हणतात.

    ReplyDelete
    Replies
    1. शंतनू: पहिल्या दोन ओळींबाबत-
      नैसर्गिक(आणि इतरही) संख्या आपण सेट थिअरी जन्माला येण्यापुर्वीपासूनच वापारतोय. त्यामुळे त्या तशाच का, हे सांगायचं झालं तर, कारण ते तसंच आहे, हे उत्तर योग्य आहे (म्हणूणच मी क्रोनेकरचे विधान आधी टाकले!). परंतु, जर त्यांना शास्त्रामधे बसवायचं, तर त्या त्या शास्त्राप्रमाणं त्यांचं कारण देणं गरजेचं आहे. गणिताची मुलभूत गृहितकं वापरुन नित्याच्या वापरात असणारी नैसर्गिक संख्याचे असत्व सिद्ध करता येइल का असा प्रश्न आहे. हे त्याचेच उत्तर आहे. शिवाय जर दुसरे एखादे आॅपरेशन दिले तर याच नैसर्गिक संख्या वेगळ्या पद्धतीने वागतील. म्हणून ही चॅाइस आॅफ आॅपरेशन महत्वाची आहे. त्यामुळे, गणिताबाहेर म्हणशील, क्रोनेकर साहेबांचे विधान नि तुझे विधान अगदीच खरं आहे! गणितामधे म्हणशील, तर ते सिद्ध करणे भाग आहे. त्यामुळे लेखतील प्रश्न गणिती स्वरुपाचा आहे.
      शिवाय,०= फी किंवा फी ही एक संख्या आहे, ही गृहीतकं नाहीत! मी सेट वापसरून एक अॅबस्ट्र्याक्ट सिस्टीम बनवली आहे, आणि या सिस्टीममधे नित्याच्या वापरातील नैसर्गिक संख्याचे गुणधर्म आहेत, म्हणून या सिस्टीमलाच नैसर्गिक संख्या म्हणले. त्यामुळे ही व्याख्या आहे, गृहीतक नाही.

      उरलेल्या भागासाठी- प्रश्न गणिताचे असल्याने, सेट थिअरी का, तर ते मागील लेखात सांगितले आहे.नक्कीच ०+०=० हे असेच सिद्ध करता येइल, पण ०-० बद्दल 'या सेटींग' मधे बोलणे शक्य नाही, कारण "-" म्हणजे काय, हे इथे दिसत नाही.

      आता तुझ्या व्याखेबद्दल: इथे तू शून्यची व्याख्या (=गृहीतक१, ही व्याख्या आहे, गृहीतक नाही) दिलीस, तरी पूर्ण म्हणजे काय (गृहीतक२), हे गणिताच्या भाषेत सांगता येईल का? जेणेकरून ती गणितीय व्याख्या होइल. तत्वज्न्यानासाठी ही व्याख्या ठिक आहे. गम्मत अशी की, हीच व्याख्या "अनंत" या संकल्पनेसाठीही वापरता येते, अनंत+अनंत=अनंत, अनंत-अनंत=अनंत. या श्लोकामधे गुणाकार-भागाकाराचा उल्लेख नाहीये. (किंबहूना पुर्णत्व=सर्व बाबींचे अस्तीत्व, कशाचीही उणीव नाही,हे शून्यत्व=संपुर्ण अभाव, पेक्षा अनंतत्वाच्या जास्त जवळ जाते!). शिवाय,यम-नचिकेताच्या उपनिषदारंभीचा हा श्लोक ब्रह्माच्या स्तुतीपर आहे. शास्रीय लेखात, हा कुठे आले आहे का ते मला माहीत नाही. आदी भास्करांनी सुद्धा शून्याची व्याख्या बहुपद्यांचे गणित वापरून देतात.
      अस्तु. गणित नि तत्वज्न्यान यातील कॅामन भागावरचा हा प्रश्न असल्याने, बर्याच बाजूंनी उत्तरे येणे आपेक्षीत आहे. आपण निवडताना, कोणत्या विषयासाठी निवडायचे हे ठरवणे गरजेचे. :)

      पुढील वेळी मी मिरच्यांबाबत काळजी घेइन. उगाच गोडाच्या नावावर बुकणा नको! :)

      Delete
    2. क्षमस्व, मी खूपच उशिरा प्रतिक्रिया लिहितोय! 'सिस्टीम नैसर्गिक संख्यांची बनली आहे आणि तिला नैसर्गिक संख्यांचे गुणधर्म आहेत म्हणून सिस्टिमलाही नैसर्गिक संख्या म्हणले' हे कळले नाही आणि (कदाचित त्यामुळे) पटलेही नाही. असे असेल तर 'सिस्टीम' या शब्दाचा उपद्व्याप कशाला? सरळ नैसर्गिक संख्या घेतल्या त्या घेऊन पुढे जायचं. नाही तर आधीच म्हणायचं की नैसर्गिक संख्या ही मुळात एक सिस्टीम आहे. असो.

      पुढे शून्य आणि पूर्ण वगैरे मी जे लिहिलं आहे, ते माझ्या मनातले विचार नसून एक प्रकारच्या खोडसाळपणे लिहिलं आहे (ते लक्षात नाही आलं हेच बर झालं म्हणा!). आता सविस्तर सांगतो, पण मारू नकोस.

      माझा आक्षेप असा होता की आधी काही तरी गृहितकं आपणच करायची आणि आपल्याला पाहिजे ती व्याख्या तयार करायची आणि मग मूळचे गृहीतक हे एक गृहीतक होते हे विसरून ते सिद्धांत रुपाने सिद्ध करायचे! हे पटत नाही. म्हणून मी म्हणालो की '०+०=० आणि ०-०=० हे अश्या प्रकारे सिद्ध करता येईल जे पटत नाही'... काय पटत नाही? तर त्याचं उदाहरण म्हणून मीच स्वतः खाली काही तरी अद्व-तद्वा गृहीतक-सिद्धांत वगैरे गोंधळ घातलाय. आणि मग पूर्ण हेच पूज्य आहे आणि वरती शून्याला पूज्य म्हणतात वगैरे सिद्ध करून उचललेली जीभ टाळ्यापर्यंत नेली आहे. माझं असं म्हणणं आहे, की हे असं गृहीतक- शब्दांचा गोंधळ घालून काही पण सिद्ध करता येतं.

      आता मी वर लिहिलेलं फारच उन्मदात्मक वाटतं आहे, त्याबद्दल तू खुल्या दिलाने क्षमा करशील अशी खात्री आहे, आणि नसली तरी मी शेकडो योजने लांब असल्याने शारीरिक दुखापतीपासून सध्या तरी लांब आहे. तू एक वेळ 'प्रभू याला क्षमा कर, ह्याला कळत नाहीये हा काय बोलतोय' असं काही तरी बोलून मग शांत हो आणि मग माझं शंका-निरसन कर

      Delete
    3. 'सिस्टीम नैसर्गिक संख्यांची बनली आहे आणि तिला नैसर्गिक संख्यांचे गुणधर्म आहेत म्हणून सिस्टिमलाही नैसर्गिक संख्या म्हणले'
      -> ही ओळ चुकीची लिहीली होती.
      " या सिस्टीमला नैसर्गिक संख्या म्हणू. नि नैसर्गिक संख्यांस जे प्राथमिक गुणधर्म असणे आपेक्षित आहेत, ते या सिस्टीम मधे आहेत ही महत्वाची बाबा." असे वाचावे.

      पुढे शून्य आणि पूर्ण वगैरे मी जे लिहिलं आहे, ते माझ्या मनातले विचार नसून एक प्रकारच्या खोडसाळपणे लिहिलं आहे (ते लक्षात नाही आलं हेच बर झालं म्हणा!).
      -> हाहाहाहा!

      माझा आक्षेप असा होता की आधी काही तरी गृहितकं आपणच करायची आणि आपल्याला पाहिजे ती व्याख्या तयार करायची आणि मग मूळचे गृहीतक हे एक गृहीतक होते हे विसरून ते सिद्धांत रुपाने सिद्ध करायचे! हे पटत नाही. म्हणून मी म्हणालो की '०+०=० आणि ०-०=० हे अश्या प्रकारे सिद्ध करता येईल जे पटत नाही'... काय पटत नाही? तर त्याचं उदाहरण म्हणून मीच स्वतः खाली काही तरी अद्व-तद्वा गृहीतक-सिद्धांत वगैरे गोंधळ घातलाय. आणि मग पूर्ण हेच पूज्य आहे आणि वरती शून्याला पूज्य म्हणतात वगैरे सिद्ध करून उचललेली जीभ टाळ्यापर्यंत नेली आहे. माझं असं म्हणणं आहे, की हे असं गृहीतक- शब्दांचा गोंधळ घालून काही पण सिद्ध करता येतं.
      -> मी पुन्हा लेख वाचला आणि मला मी केलेला गोंधळ लक्षात आला. १+१=२ हे Trivial उदाहरण होते. या लेखासाठी ती Logical fallacy झाली होती. तर्कशास्त्रीय लिखाण हे कायमच उत्तम नसते याचे ते उदाहरण म्हणून वापरता येइल. अस्तु, तर मी १+१=२ हे trivial उदाहरण बदलून ३+४ चे उदाहरण टाकलेय. ३+४ = ७ = ६चा सक्सेसर संच हे मात्र पिअनोची गृहीतकं वापरून "सिद्ध" करावं लागतं. तुला ते पटेलशी आपेक्षा.

      आता मी वर लिहिलेलं फारच उन्मदात्मक वाटतं आहे, त्याबद्दल तू खुल्या दिलाने क्षमा करशील अशी खात्री आहे, आणि नसली तरी मी शेकडो योजने लांब असल्याने शारीरिक दुखापतीपासून सध्या तरी लांब आहे. तू एक वेळ 'प्रभू याला क्षमा कर, ह्याला कळत नाहीये हा काय बोलतोय' असं काही तरी बोलून मग शांत हो आणि मग माझं शंका-निरसन कर
      -> हाहाहा! मी थोडा संतापी आहेच (तुला कसं कळलं? :P) पण कामावरील आक्षेप ़फार गांभीर्याने घेतो. मी खरंच एक चुक केली होती नि ते उदाहरण या लेखासाठी खरंच खूप चुकीचे होते. ते दाखवून दिल्याबद्दल आभारी आहे!
      तुला इ-पत्राने लिहील्याप्रमाणे लेखाचे नाव बदलले आहे, थोडा मजकूर बदलला आहे. अजूनही काही पटले नाही तर नक्की कळव!

      Delete