रेषीय फलने

नमस्कार,
बर्याच काळानंतर ताजा लेख घेऊन पुन्हा हजर आहे! मागे व्हेक्टर स्पेसेस वरचा लेख लिहीला नि लिनीअर ट्रान्स्फॉर्मेशनस् चा हा लेख लिहीण्यासही सुरूवात केली. व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास लिनीअर ट्रान्सफॉर्मेशनस् नि मॅट्रीक्स् च्या अभ्यासाशिवाय पूर्ण होत नाही. प्रस्तुत लेखात लिनीअर मॅप म्हणजे काय हे सांगीतले आहे, नि लिनीअर मॅपस् ची काही अतिशय सोपी उदाहरणे दिली आहेत. आपल्या लेखमालिकेमधे आत्तापर्यांत मी फंक्शनस् ची= फलनांची व्याख्या दिली नव्हती. त्यामुळे या लेखामधे खरं तर फंक्शनस् नि लिनीअर फंक्शनस् या दोन संकल्पनांवर चर्चा केलेली आहे. बरीच उदाहरणे दिली आहेत, जेणेकरून वाचकांना या संकल्पना "पाहता" येतील. शिवाय बरीच चित्रेही काढली आहेत.
फार विचार करायची इच्छा नसेल  किंवा गणिताशी फारसा संबंध नसल्यास तर हा लेख वाचण्याच्या फंदात तुर्तास पडू नका. हा लेख बराच तांत्रिक आहे! :)

एक विनंती अशी, गणिती वाचकांना हा लेख एका बैठकीत वाचण्यायोग्य नाही, असे वाटले तर खाली तशी प्रतिक्रीया जरूर लिहा. मग याचे दोन भाग करीन.

हा लेख मी नि अभिजीत बेंद्रे (अभिजीतचे G+) ने मिळून लिहीलाय. माझे थिसीस लिखाण चालू असताना, मी लिहीलेल्या पहील्या प्रतीवरून त्याने हात फिरवला नि ती वाचेबल केली. प्रद्युम्नने काही महत्वाचे टंकणदोष दाखवले, याबद्दल धन्यवाद!

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा- ५ पैकी ५ मिरच्या!
जरा खबरदारीनेच वाचा. बराच तांत्रिक लेख आहे. सहज म्हणून वाचायचा असेल, तर थेट सोडून द्या, असा माझा सल्ला असेल!

फलने (Functions)

प्रथमतः फलन म्हणजे काय ते पाहू. फलन  म्हणजे इंग्रजीत function.

 असं समजा, की  “A” आणि “B” हे संच आहेत, तर A वरून B मध्ये जाणारे फलन  “f”, म्हणजे A मधील प्रत्येक घटकास B  मधला एका आणि एकाच घटकासोबत जोडी लावून द्यायची प्रक्रीया होय.

म्हणजेच“A” मधील प्रत्येक घटकास "B" मधे एक तरी जोड हवा नि तो जोड युनिक- एक आणि एकच हवा!

म्हणजे काय, तर A च्या घटकांच्या, B च्या घटकांसोबत जोड्या लावायच्या. नि त्या लावताना दोन नियम पाळायचे, एक तर हा की Aच्या प्रत्येक घटकाला Bमधे जोड मिळालाच पाहीजे नि दुसरा म्हणजे एका घटकाला एकाहून जास्त जोड द्यायचे नाहीत! लग्न ही प्रक्रीया फंक्शन म्हणून पहणे शक्य आहे. ती आजच्या पद्धतीप्रमाणे थोडी 'इम्प्रॅक्टीकल' होते, पण तरीही हे उदाहरण पहा-
 Aमधे जर विवाहेच्छूक अविववाहीत तरूण ठेवा नि B मधे विवाहेच्छूक अविवाहीत तरूणी. तर वरील व्याख्येतील पहिल्या अटीप्रमाणे सर्वच तरूणांना जोड मिळायला हवी नि नियम दोन म्हणतो की एका तरूणास एकाहून अधिक मुलींसोबत लग्न करता येणार नाही. जर पांडवांनी एकच लग्न केले असे मानले, तर (ते काही खरे नाही, मात्र उदाहरणाखातर तसे मानू!) B मधे द्रौपदीला स्थान आहे. म्हणजेच, B मधल्या एका घटकास A मधील एकाहून अधीक जोड मिळू शकतात. उलटपक्षी, B मधल्या एखादा घटक जोडीशिवायही राहू शकतो, उदाहरणार्थ एखादी अविवाहीत स्त्री.

लिहीताना आपण f: A → B असे लिहीतो. म्हणजे,  f हे A वरुन B वर जाणारे फलन,  म्हणजे इंग्रजीत फंक्शन, आहे.

उदाहरण १:  (समजायला सोपे जावे म्हणून ;-) ) "पैश्यांचे" उदाहरण घेऊ.

समजा, H हा जगातील माणसांचा संच आहे आणि R हा वास्तव संख्यांचा संच आहे, आपण H वरुन R मधे जाणारे “रुपये” नामक फलन बनवू . हे रुपयांचे फलन ₹ ने दर्शवू. उपरोधृत पद्धतीप्रमाणे, ₹ हे H वरुन R वर जाणारे फलन आहे, म्हणजेच, 

 ₹: H → R.

₹ काय करते, तर ते  माणसांचा संच असणार्या H मधील, एखाद्या माणसाकडे किती पैसे आहेत, हे सांगते. अमिताभ बच्चन हा H मधला माणूस घेतला, तर 

₹(अमिताभ बच्चन)= अमिताभ बच्चन कडील पैशांचा आकडा (तो नक्कीच शून्येतर आहे!).

 झिंगा-लाला-झिंग हा अमेझॉनच्या खोर्यातील, इतर जगासोबत संबंध नसलेला आदिवासी असेल, तर झिंगा-लाला-झिंगकडे काहीच पैसे असणार नाहीत, त्यामुळे

₹(झिंगा-लाला-झिंग)= ०.

एखाद्याकडे कर्ज असेल तर त्याला ऋण संख्या मिळेल, इ.इ.

उदाहरण २: फलनाचे गणिती उदाहरण घ्यायचे झाले तर f: R →R असे घ्यायचे की f हे  कोणत्याही वास्तव संख्येला तिचा वर्ग असणार्या संख्येकडे पाठवते, म्हणजेच 

f(x)= x^२.

हे फलन २ ला ४ वर पाठवेन, १.५ ला २.२५ वर , π ला π^२ वर इत्यादी. लिहीताना हे f(२)=४, f(१.५)= २.२५ व f(π)=π ^२ असे लिहीले जाते. 

उदाहरण ३: अजून एखादे उदाहरण म्हणजे h: Z → N, 

जर x ऋण संख्या असेल तर, h(x) = -x, 

जर x ऋणेतर (शून्य किंवा धन ) संख्या असेल तर h(x)= x.

या उदाहणामधे एकच सूत्र वापरून h ची व्याख्या दिलेली नाही, तर ती दोन वेगळ्या सूत्रांनी दिलेली आहे. मात्र फंक्शनच्या व्याख्येप्रमाणे Z मधील प्रत्येक घटकास N मधील एक नि एकच घटक नियुक्त केला आहे.  हे फंक्शन काय करते तर, सर्व संख्याना त्यांचे केवल मूल्य (absolute value) नियुक्त करते. थोड्या बाष्कळ भाषेत सांगायचं तर ते प्रत्येक पुर्णांकास त्याच्याशी संबंधीत ऋणेतर नैसर्गिक संख्येवर पाठवते. जसे की 

h(३)= ३,   h(०)=०,    h(-३४५२३)=३४५२३.

उदाहरण ४: एक अखेरचे उदाहरण म्हणजे, g: Z→ Z, 

g(x)= २+x 

हे फलन कोणत्याही संख्येत २ मिळवते. जसे की g(८०५)= २+८०५=८०७, g(-२३)=२+(-२३)=  २१, g(०)= २+० =२ असे.

उदाहरण ५: एक खास उदाहरण: वरील उदाहरणे तुम्ही कदाचित तुमच्या पाठ्यपुस्तकांतही पाहीली असतील. फलनाचे जास्त चांगले शास्त्रीय उदाहरण कोणते? भौतिकशास्त्रात गतीचा अभ्यास करतात. समजा एखादा कण त्रिमीत अवकाशात फिरतोय, उदाहरणार्थ, एखादा परागकण हवेत तरंगतोय. एखाद्या बिंदूस त्रिमीत अवकाशाचा मूलबिंदू= ओरीजीन ऑफ रेफरन्स फ्रेम ठरवा नि या मूलबिदूंपासून तीन अक्ष काढा, आपण भुमितीमधे नेहमी करतो तसे. त्यामुळे अवकाशातील प्रत्येक बिंदू (x, y, z) अशा तीन वास्तव संख्या वापरून दाखवता येइल.

परागकणाचे विस्थापन, मुलबिंदूपासूनचे अंतर नि विस्थापनाची दिशा

 परागकणाचे t या वेळीचे विस्थापन= displacement मोजूयात. आपणास माहीतच आहे की विस्थापन ही सदीश राशी आहे, म्हणजे तिला दिशा=डिरेक्शन आणि वजन=मॅग्निट्यूड असते. परागकणाच्या सर्व डिसप्लेसमेंटचा संच घ्या. हा कण त्रिमीत अवकाशात फिरत असल्याने प्रत्येक विस्थापन सदीश = डिसप्लेसमेंट व्हेक्टर त्रिमीत असेल नि ती (x, y, z) अशी दिसेल, इथे x, y नि z वास्तव संख्या आहेत नि त्या काळावर t वर अवलंबून आहेत. या संख्या t वर अवलंबून असल्याने काही वेळा लिहीताना (x, y, z) ऐवजी लोक

 (x(t), y(t), z(t)) असे लिहीतात. तर, या कणाचे एखादे विस्थापन घेतले (x, y, z) तर त्याच्या मॅग्नीट्यूडचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची मॅग्नीट्यूड = √(x^२ + y^२+ z^२).

प्रत्येक सदीशाची मॅग्नीट्यूड ही ऋणेतर धन संख्या असते. या उदाहरणात डिसप्लेसमेंटची मॅग्नीट्यूड म्हणजे बिंदूचे ओरीजीनपासूनचे अंतर= डिस्टन्स, बरं का!

नि (x, y, z) च्या दिशेचे सूत्र म्हणजे

(x, y, z)ची दिशा = (x, y, z)/ √(x^२ + y^२+ z^२).

आपल्याकडे आता दोन सुत्रे झालीत. एक सूत्र (x,y,z) अशी डिसप्लेसमेंट सदीश घेते नि तिचा आकार= मॅग्निट्यूड सांगते तर दुसरे सूत्र (x, y, z) ला तिची दिशा देते. पण नीट पाहीलेत तर लक्षात येइल ही सूत्रे सर्वच (x, y, z) अशा त्रिकूटांसाठी वापरता येतील. परागकणाची डिसप्लेसमेंट हे केवळ उदाहरण आहे. म्हणजेच त्रिमीत वास्तव अवकाशावरील प्रत्येक सदीशासाठी आपल्यालडे दोन सुत्रे आहेत. पहीले सुत्र त्रिमीत सदिशचा आकार सांगते नि दुसरे तिची दिशा.

या उदाहरणाच्या गणिती मॉडेल मधे दोन फलने आहेत.

१. वास्तव त्रिमीत अवकाशावरून R^३ वरून ऋणेतर वास्तव संख्यांत जाणारे एक फलन नि 

२. R^३ वरून R^३ मधे जाणारे एक फलन. 

कसे तर:

१.  M: R^३ → R

M((x, y, z)) = √(x^२ + y^२+ z^२).

२. D: R^३ → R^३

D((x, y, z)) = (x, y, z)/√(x^२ + y^२+ z^२).

रेषीय फलने

उदाहरण ६: आता फलनाचे एक खास उदाहरण देतो. ते म्हणजे `ताणणारे फलन’ किंवा scaling: समजा t ही वास्तव संख्या आहे. नि R^३ हे त्रिमीत वास्तव आवकाश. तर 

T: R^३ → R^३ असे आहे की, 

T((x, y, z)) = (tx, ty, tz).

T काय करते तर प्रत्येक व्हेक्टरची लांबी t या फॅक्टरने ‘स्केल’ करते.

घरचा अभ्यास: जर (अ) t= 0,  (ब) 0< t <1 ,  (क) -1> t > 0 आणि t< 0 असेल तर T काय करते, ते चित्र काढून पहा.

आता थोडी चर्चा करू. फलने ही संचांवर डिफाइन केलेली असतात. व्हेक्टर स्पेसेस् पण संच आहेत. मात्र व्हेक्टर स्पेसवर काही जास्तीचे स्ट्रक्चर असते, ते म्हणजे (छानशी) बेरीज नि अदिशांचा गुणाकार. त्यामुळे जर दोन सदिशावकाशांत एखादे “नम्र” फंक्शन दिले असेल नि ते फंक्शन बेरीज नि गुणाकाराचा ‘आदर’ करत असेल, ते पहिल्या व्हेक्टर स्पेसने बेरीज-गुणाकाराच्या स्वरूपात एनकोड केलेली माहिती, दुसर्या स्पेसवर नक्कीच नेउ शकते. मागील लेखात आपण पाहीले आहे की, कंटीन्यूअस सिग्नलची स्पेस घेतली तर बेरीज नि गुणाकार, यांचा अर्थ वेव्ह ओव्हरलॅपींग नि व्होल्टेज ऍम्प्लिट्यूट वाढवणे असा असतो. त्यामुळे सिग्नल स्पेसवरून तिच्यावर जाणारे नम्र फंक्शन ओव्हरलॅप झालेल्या वेव्हज् नि स्केल केलेल्या ऍमप्लिट्यूटसोबत निट वागतील. अशी नम्र फंक्शनस व्हेक्टर स्पेसेस् चा अभ्यास करताना महत्वाची ठरतील. या नम्र फंक्शंनस् ना “लिनीअर फंक्शनस्/ मॅप्स्/ ट्रान्सफॉर्मेशनस्”  किंवा केवळ “ट्रॅन्सफॉर्मेशनस्” म्हणतात. आपण त्यांना रेषीय फलने म्हणू शकतो. 

रेषीय फलने बेरीज-गुणाकाराचा आदर करतात म्हणजे काय, तर V नि W ही सदिशावकाशे असतील, T हे फलन असेल T: V → W तर T रेषीय आहे म्हणजे, जर u,v या सदिश असतील नि r ही वास्तव संख्या आहे तर:

१. T(u+v) = T(v) + T(v)    :  बेरजेचा आदर करणे

    २. T(r ×v) = r × T(u)          : गुणाकाराचा आदर करणे

ही झाली रेषीय फलनाची तांत्रिक व्याख्या. याला "रेषीय" म्हणतात कारण असं आहे की, सुरुवातील बरेच गणिती आणि भौतिकशस्त्रज्ञ सदिश अवकाशास  "रेषीय अवकाश" म्हणत. म्हणून रेषीय अवकाशातील फलन ते रेषीय फलन. अजून एक कारण असे कि, २ नि ३ मितीय सदिश अवकाशात रेषा काढता येतात, (आपली नित्याची coordinate geometry हो, पॅरामीटर फॉर्ममधे रेषेचे सूत्र लिहीणे!). जर V वरून V मधे एखादे रेषीय फलन जात असेल तर V मधील रेषेला ते V मधील रेषेवर नेते. त्यामुळेही या फलनास रेषीय फलन असे म्हणतात.

   वरील उदाहरण ६ मधील ताणणारे फलन रेषीय फलन आहे. कारण (x, y, z) नि (a,b,c) या सदीश असतील नि r ही वास्तव संख्या असेल तर, 

T((x, y, z)+ (a,b,c)) = T((x+a, y+b, z+z)) = (t(x+a), t(y+b), t(z+c)) = (tx+ta, ty+tb, tz+tz)= 

(tx, ty, tz)+ (ta, tb, tc) = T((x, y, z))+ T((a,b,c)).

नि

T(r(x, y, z))= T((rx, ry, rz)) = (trx, try, trz) = t (rx, ry, rz) = rT((x, y, z)).

घरचा अभ्यास: V= R^२ नि मग R^३ ठेवून वरील स्केलींग ट्रान्सफॉर्मेशन T वापरा नि पहा की पॅरामीटर फॉर्मधील रेषेस T रेषेवरच नेते.

रेषेचा पॅरामीटर फॉर्म पाहण्यासाठी इथे टिचकी मारा नि या विकीपानावरील Parametric equations पहा.

   रेषीय फलनाचा अजून एक गुणधर्म म्हणजे ते पहिल्या अवकाशाच्या मुलबिंदुला ( म्हणजे (०,०,…०) ह्या सदिशाला) दुसर्या अवकाशाच्या मुलबिंदुवर नेते.

उदाहरण ७: R^३ ➝ R^२ जाणारे एक फेमस उदाहरण पाहू. समजा R^३ म्हणजे त्रिमित अवकाश, म्हणजे आपल्या आजूबाजूचे अवकाश. त्याचा मुलाबिंदू हा जमिनीवरचा कोणताही एक बिंदू माना. तात्पुरते विसरू की पृथ्वी गोल अहे. समजा की ती द्विमित नि सपाट आहे. तर ती द्विमित अवकाश म्हणजेच XY-plane होइल. जमीनीवर एक काठी रोवून तिच्या रोवण्याचा बिंदू हा मूलबिंदू=ओरीजीन म्हणून घ्या. काठीचे हवेमध्ये असलेल्या टोकाचे स्थान सांगण्यासाठी तीन आकडे लागतील (कारण ते टोक त्रिमित अवकाशात आहे), तर (x, y, z) हे त्या टोकाचे R^३ मधले स्थान आहे. सुर्य माथ्यावर असताना त्या टोकाची सावली सपाट जमीनीवर, म्हणजेच, R^२ वर पडेल. तर त्या सावलीच्या टोकाचे कुऑर्डीनेट काय असतील?

 उत्तर सोपे आहे, ते (x, y, 0) असे असतील. त्यातील शून्य बिनकामी आहे. आपण तो काढला तर ते (x, y) असे दिसेल.

ही "सावली" हे त्रिमित अवकाशातल्या बिंदूंना द्विमित अवकाशात नेणारे फलन आहे: (x, y, x) → (x, y, ०). हे मुळात रेषीय फलन आहे, हे तपासणे सोपे आहे. या फ़लनास projection = छाया फलन  असेच म्हणतात.

कुऑर्डीनेट वापरून छाया फलनाचे वर्णन

अशाच प्रकारचे छाया फलन R^२ ➝ R^१ वरही देता येते.  इन जनरल, जर n≥m असेल तर Rⁿ➞ R^m वरून असे फलन बनवता येते. कोणत्या प्रतलावर छाया हवी हे ठरवायचे. नि मग जी व्हेक्टर आहे, तिचे त्या ठरवलेल्या प्रतलाचे अक्ष सोडून इतर अक्ष शून्य करायचे! 

कम्प्युटर वा गेमींग अनिमेशन करताना याच्यात थोडा बदल करून सावल्या बनवतात.

हा लेख लिहीण्यापूर्वी, प्रोजेक्शनचे उदाहरण सांगण्यासाठी, फार आधी, वरचे चित्र न काढता खालील व्यंगचित्र काढले होते.

अर्जुनाने मारलेल्या बाणाची सावली- इथे बाणाच्या विस्थापनाची ट्रॅजेक्टरी नि शेवटी दिशाही व सावलीही दिसते

आणि आता एक प्रश्न, वर परागकणाच्या उदाहरणात R^३ ➝ R^१ वर जाणारे, व्हेलोसिटीला म्यग्निट्युडवर नेणारे फलन दिलेय, 

(x, y, z)➞ √(x^२ +y^२ +z^२).

सांगा पाहू की हे रेषीय फलन आहे का?

∆  ∆

प्रस्तुत लेखातील फलन या शब्दावर बर्याच जणांनी आक्षेप घेतला आहे. त्या संदर्भात एक पुरवणी वजा टीप वाचण्यासाठी इथे टिचकी मारा.